金融保险专业中的随机过程课程的教学体会
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中国西部科技 ２０１０年０９月（中旬）第０９卷第２６期总第２２３期
金融保险专业中的随机过程课程的教学体会
董迎辉
（苏州科技学院，江苏 苏州 ２１５００９）
摘 要：本文介绍了几类特殊的随机过程的定义与性质，并结合实际阐述了这几类随机过程在金融与保险中的重要应用。 关键词：复合泊松过程；维纳过程；破产概率；违约 ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１－６３９６．２０１０．２６．０４２
的一些简单的模型来阐述随机过程理论在金融与保险领域
的重要应用。
１ 预备知识
随机过程是研究随机现象与发展过程的理论，在建立
经济模型中最常见的是以下三类过程：泊松过程，复合泊
松过程，维纳过程。我们首先分别给出它们的定义。
定义１：称记数过程
是参数为
的泊松
过程，如果：（１）Ｎ（０）＝０；（２）
是平稳独立
增量过程；（３）对于任意的
，
若上述集合为空，则 ，有限时破产概率定义为
。由于随机变量的分布与其拉普拉斯变换是
唯一确定，且可以通过反演随机变量的拉普拉斯变换来得
到其分布，因此我们可以先求出破产时间 的拉普拉斯变
换。定义 的拉普拉斯变换为
。利
用鞅方法我们可以很容易地求出模型（１）下的Ｌ（ｕ）。首先
可以看出Ｕ（ｔ）为平稳独立增量过程，且根据鞅的定义可知
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｓｅｖｅｒａｌ Ｉｍｐｏｒｔａｎｔ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｉｎ Ｆｉｎａｎｃｅ ａｎｄ Ｉｎｓｕｒａｎｃｅ ＤＯＮＧ Ｙｉｎｇ－ｈｕｉ
（Ｓｕｚｈｏｕ Ｓｃｉｅｎｃｅ ＆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉａｎｇｓｕ，Ｓｕｚｈｏｕ ２１５００９） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｓｅｖｅｒａｌ ｓｐｅｃｉａｌ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，ａｎｄ ｗｅ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｉｎ ｆｉｎａｎｃｅ ａｎｄ ｉｎｓｕｒａｎｃｅ ｉｎ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｐｒａｔｉｃｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｃｏｍｐｏｕｎｄ ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ；Ｗｉｎｅｒ ｐｒｏｃｅｓｓ；Ｒｕｉｎ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ；Ｄｅｆａｕｌｔ
收稿日期：２０１０－０８－０７ 修回日期：２０１０－０９－０３ 基金项目：苏州学院院基金。 作者简介：董迎辉（１９７８－），女，江苏镇江籍，硕士，讲师，从事金融数学的研究工作。
82
教育与人才
人们所关心的是保险公司的偿付能力，破产概率正是
衡量一个保险机构金融风险和偿付能力的重要指标。保险
数学里一般把保险公司的破产时间定义为
对所有
；（２）
对所有
，其中
。
定理：（最优停时定理）设
为关于过滤
的右连续鞅，Ｓ，Ｔ为关于过滤
的停时，且
若Ｘ右闭于 ，则
。
显然维纳过程是一个鞅，泊松过程与复合泊松过程均不
是鞅，但我们可以利用这三类过程来构造鞅，进而解决一些
金融与保险领域内的热点问题。下面我们将结合实际来具体
阐述这几类过程在金融与保险中的应用。
违约时间定义为泊松过程的第一次跳时刻，即
，则有限时违约概率
若Ｎ（ｔ）的强
度为λ，则
结构化模型则把违约与公司价值
过程联系起来，通常把违约时间定义为公司资产价值首次
低于与债务有关的某一水平的时刻，假设公司的负债为Ｄ，
公司的价值过程描述为：
——（２）
其中
为公司的初始价值，Ｘ（ｔ）为参数为 的
维纳过程。
违约时间定义为公司价值首次低于负债的时刻，即：
服从参数为 的泊
松分布。
定义２：称
是一复合Ｐｏｉｓｓｏｎ过程，若有
其中
是强度为 的泊松过程，
是一列独立同分布的随机变量，且与
独立。
定义３：称
是参数为 的维纳过程，若：
（１）Ｗ（０）＝０；（２）
是平稳独立增量过程；
（３）对于任意的
。
可以看出泊松过程，复合泊松过程和维纳过程的相同
之处在于它们都是平稳的独立增量过程，因此这几类过程
杜生明就‘十二五’生命科学部及跨学部交叉优先发 展领域做了专题报告，着重介绍了重点项目资助及立项的 原则与进程，与会人员开拓了视野，深受启发和鼓舞，会 上还就学科发展方向及如何更有效地发挥基金作用展开了
简短而热烈的交流。 随后，许瑞明以“研究所学科布局与规划”为题介绍
了研究所近年来的发展，着重展示了在基金支持下，研究 所所取得的一系列重大创新成果，并畅谈了研究所面向创 新２０２０的“十二五”学科布局框架和科技规划。然后由研 究所各领域专家代表分别从不同学科方向做研究所学科前 沿及进展专题学术报告。最后与会人员一同参观了７Ｔ脑成 像装置和生物成像技术实验室设施与自动化系统。
随机数学方法被广泛地应用到计算机科学，管理科
学，技术经济等等各个领域。随机过程课程也成为金融相
关专业学生的必修课程。自２００８年全球金融危机以来，公
司违约事件频发，有关信用风险方面的研究引起了金融与
保险业内人士的关注，使得风险量化管理将成为金融管理
领域一个重要的极具挑战性的课题，建立合理的随机模型
也成为最热点的问题。本文将结合金融与保险理论研究中
实际经营情况要比模型（１）复杂得多，但我们可以在此基
础上利用随机过程理论去加以完善，从而给保险行业的健
康发展提供一些有价值的风险量化管理手段。
例２：（公司的违约问题）自全球金融危机爆发以来，
公司违约事件频发，因此对公司信用违约问题的研究引起
了人们的高度重视。信用风险模型的研究主要分为两类：
结构化模型和约化模型。约化模型比较简单，它把公司的
参考文献： ［１］ Ｓ．Ｍ．劳斯．随机过程［Ｍ］．北京：中国统计出版社，２００５． ［２］ 陈木法，毛永华．随机过程导论［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７． ［３］ 赫 尔．期权、期货和其他衍生品［Ｍ］．北京：清华大学出版
社，２００６．
科技短讯
生命科学前沿进展学术研讨会在生物物理所召开
［生物物理研究所］ 在研究所全面启动面向创新 ２０２０的“十二五”科技规划之际，９月２０日，国家自然科学 基金委生命科学部—中科院生物物理研究所“生命科学前 沿进展学术研讨会”在中科院生物物理研究所召开。基金 委生命科学部常务副主任杜生明、相关科学部处长及项目 主任一行十一人，以及研究所研究组长及科研骨干等代表 三十余人参加了会议。会议由生物物理所副所长许瑞明主 持。
过程
为一鞅必须满足下列等式：
。
上式可化简为：
显然该方程有两个
根分别为： 。
取
所以对
有
因此
。
由于过程
是有界的，所以可利用最优停
时定理得到：
。
由指数分布的无记忆性可知
服从均值为 的指数
分布且与 独立，因此可得到：
。
本例利用复合泊松过程描述保险公司的盈余过程并巧
妙地运用鞅理论来研究破产概率问题。当然，保险公司的
（ 转 载 自 ： ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃａｓ．ｃｎ／中 国 科 学 院 《 学 术 活 动》）
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被广泛用来建立各种经济模型。如我们常用泊松过程和复
合泊松过程来分别描述保险公司在一段时间内的理赔发生
的次数和总理赔量，用维纳过程来描述股票价格变化过
程，在我们利用以上三类过程建立经济模型来解决一些实
际问题时，还会利用到另一个特殊的过程：鞅过程，我们
也给出它的定义以及一个重要的定理。
定义４：称
为鞅，公司的破产问题）２００８年，美国保险巨头
ＡＩＧ陷入了财务困境，几乎面临破产，因此保险公司的破产问题
引起了人们的关注。如何定量地给出保险公司破产的可能性，
我们可以通过建立随机模型来解决这个问题，模型如下。
假设保险公司在ｔ时刻的盈余Ｕ（ｔ）可表示为 ：
——（１） 其中ｕ＞０为保险公司的初始盈余，ｃ＞０为年保费收入率， Ｎ（ｔ）为强度为λ的泊松过程，表示［０，ｔ）时间内保险公司 发生的理赔次数，Ｘ１，Ｘ２，…为一列独立同分布的均值为 的 指数随机变量序列，Ｘｉ表示公司的第ｉ次理赔量大小。显然 Ｓ（ｔ）为复合泊松过程，描述了保险公司［０，ｔ） 时 间 内 总 的理赔支出过程。
，其中 。则在结构化模型下公司有限时违约概率为：
其中 为标准正态分布的累积函数。 由上例可以看出，结构化模型和约化模型分别建立在 维纳过程和泊松过程的框架之上，由这两类过程的性质解 决了公司的违约问题，从而给经营者以及投资者提供一个 风险度量的参考工具。 ３ 结论 综上所述，随机过程理论在风险量化管理模型中起着 举足轻重的作用，泊松过程，复合泊松过程，维纳过程更 是建立合理的经济模型的基石，熟悉这些特殊的随机过程 的性质有利于我们为风险管理和风险控制提供更好的度量 方法．随着金融创新工具的快速发展，掌握随机过程理论对 于开发合理的金融产品，促进金融市场稳定发展是非常有 利的。
金融保险专业中的随机过程课程的教学体会
董迎辉
（苏州科技学院，江苏 苏州 ２１５００９）
摘 要：本文介绍了几类特殊的随机过程的定义与性质，并结合实际阐述了这几类随机过程在金融与保险中的重要应用。 关键词：复合泊松过程；维纳过程；破产概率；违约 ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１－６３９６．２０１０．２６．０４２
的一些简单的模型来阐述随机过程理论在金融与保险领域
的重要应用。
１ 预备知识
随机过程是研究随机现象与发展过程的理论，在建立
经济模型中最常见的是以下三类过程：泊松过程，复合泊
松过程，维纳过程。我们首先分别给出它们的定义。
定义１：称记数过程
是参数为
的泊松
过程，如果：（１）Ｎ（０）＝０；（２）
是平稳独立
增量过程；（３）对于任意的
，
若上述集合为空，则 ，有限时破产概率定义为
。由于随机变量的分布与其拉普拉斯变换是
唯一确定，且可以通过反演随机变量的拉普拉斯变换来得
到其分布，因此我们可以先求出破产时间 的拉普拉斯变
换。定义 的拉普拉斯变换为
。利
用鞅方法我们可以很容易地求出模型（１）下的Ｌ（ｕ）。首先
可以看出Ｕ（ｔ）为平稳独立增量过程，且根据鞅的定义可知
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｓｅｖｅｒａｌ Ｉｍｐｏｒｔａｎｔ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｉｎ Ｆｉｎａｎｃｅ ａｎｄ Ｉｎｓｕｒａｎｃｅ ＤＯＮＧ Ｙｉｎｇ－ｈｕｉ
（Ｓｕｚｈｏｕ Ｓｃｉｅｎｃｅ ＆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉａｎｇｓｕ，Ｓｕｚｈｏｕ ２１５００９） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｓｅｖｅｒａｌ ｓｐｅｃｉａｌ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，ａｎｄ ｗｅ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｉｎ ｆｉｎａｎｃｅ ａｎｄ ｉｎｓｕｒａｎｃｅ ｉｎ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｐｒａｔｉｃｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｃｏｍｐｏｕｎｄ ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ；Ｗｉｎｅｒ ｐｒｏｃｅｓｓ；Ｒｕｉｎ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ；Ｄｅｆａｕｌｔ
收稿日期：２０１０－０８－０７ 修回日期：２０１０－０９－０３ 基金项目：苏州学院院基金。 作者简介：董迎辉（１９７８－），女，江苏镇江籍，硕士，讲师，从事金融数学的研究工作。
82
教育与人才
人们所关心的是保险公司的偿付能力，破产概率正是
衡量一个保险机构金融风险和偿付能力的重要指标。保险
数学里一般把保险公司的破产时间定义为
对所有
；（２）
对所有
，其中
。
定理：（最优停时定理）设
为关于过滤
的右连续鞅，Ｓ，Ｔ为关于过滤
的停时，且
若Ｘ右闭于 ，则
。
显然维纳过程是一个鞅，泊松过程与复合泊松过程均不
是鞅，但我们可以利用这三类过程来构造鞅，进而解决一些
金融与保险领域内的热点问题。下面我们将结合实际来具体
阐述这几类过程在金融与保险中的应用。
违约时间定义为泊松过程的第一次跳时刻，即
，则有限时违约概率
若Ｎ（ｔ）的强
度为λ，则
结构化模型则把违约与公司价值
过程联系起来，通常把违约时间定义为公司资产价值首次
低于与债务有关的某一水平的时刻，假设公司的负债为Ｄ，
公司的价值过程描述为：
——（２）
其中
为公司的初始价值，Ｘ（ｔ）为参数为 的
维纳过程。
违约时间定义为公司价值首次低于负债的时刻，即：
服从参数为 的泊
松分布。
定义２：称
是一复合Ｐｏｉｓｓｏｎ过程，若有
其中
是强度为 的泊松过程，
是一列独立同分布的随机变量，且与
独立。
定义３：称
是参数为 的维纳过程，若：
（１）Ｗ（０）＝０；（２）
是平稳独立增量过程；
（３）对于任意的
。
可以看出泊松过程，复合泊松过程和维纳过程的相同
之处在于它们都是平稳的独立增量过程，因此这几类过程
杜生明就‘十二五’生命科学部及跨学部交叉优先发 展领域做了专题报告，着重介绍了重点项目资助及立项的 原则与进程，与会人员开拓了视野，深受启发和鼓舞，会 上还就学科发展方向及如何更有效地发挥基金作用展开了
简短而热烈的交流。 随后，许瑞明以“研究所学科布局与规划”为题介绍
了研究所近年来的发展，着重展示了在基金支持下，研究 所所取得的一系列重大创新成果，并畅谈了研究所面向创 新２０２０的“十二五”学科布局框架和科技规划。然后由研 究所各领域专家代表分别从不同学科方向做研究所学科前 沿及进展专题学术报告。最后与会人员一同参观了７Ｔ脑成 像装置和生物成像技术实验室设施与自动化系统。
随机数学方法被广泛地应用到计算机科学，管理科
学，技术经济等等各个领域。随机过程课程也成为金融相
关专业学生的必修课程。自２００８年全球金融危机以来，公
司违约事件频发，有关信用风险方面的研究引起了金融与
保险业内人士的关注，使得风险量化管理将成为金融管理
领域一个重要的极具挑战性的课题，建立合理的随机模型
也成为最热点的问题。本文将结合金融与保险理论研究中
实际经营情况要比模型（１）复杂得多，但我们可以在此基
础上利用随机过程理论去加以完善，从而给保险行业的健
康发展提供一些有价值的风险量化管理手段。
例２：（公司的违约问题）自全球金融危机爆发以来，
公司违约事件频发，因此对公司信用违约问题的研究引起
了人们的高度重视。信用风险模型的研究主要分为两类：
结构化模型和约化模型。约化模型比较简单，它把公司的
参考文献： ［１］ Ｓ．Ｍ．劳斯．随机过程［Ｍ］．北京：中国统计出版社，２００５． ［２］ 陈木法，毛永华．随机过程导论［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７． ［３］ 赫 尔．期权、期货和其他衍生品［Ｍ］．北京：清华大学出版
社，２００６．
科技短讯
生命科学前沿进展学术研讨会在生物物理所召开
［生物物理研究所］ 在研究所全面启动面向创新 ２０２０的“十二五”科技规划之际，９月２０日，国家自然科学 基金委生命科学部—中科院生物物理研究所“生命科学前 沿进展学术研讨会”在中科院生物物理研究所召开。基金 委生命科学部常务副主任杜生明、相关科学部处长及项目 主任一行十一人，以及研究所研究组长及科研骨干等代表 三十余人参加了会议。会议由生物物理所副所长许瑞明主 持。
过程
为一鞅必须满足下列等式：
。
上式可化简为：
显然该方程有两个
根分别为： 。
取
所以对
有
因此
。
由于过程
是有界的，所以可利用最优停
时定理得到：
。
由指数分布的无记忆性可知
服从均值为 的指数
分布且与 独立，因此可得到：
。
本例利用复合泊松过程描述保险公司的盈余过程并巧
妙地运用鞅理论来研究破产概率问题。当然，保险公司的
（ 转 载 自 ： ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃａｓ．ｃｎ／中 国 科 学 院 《 学 术 活 动》）
83
被广泛用来建立各种经济模型。如我们常用泊松过程和复
合泊松过程来分别描述保险公司在一段时间内的理赔发生
的次数和总理赔量，用维纳过程来描述股票价格变化过
程，在我们利用以上三类过程建立经济模型来解决一些实
际问题时，还会利用到另一个特殊的过程：鞅过程，我们
也给出它的定义以及一个重要的定理。
定义４：称
为鞅，公司的破产问题）２００８年，美国保险巨头
ＡＩＧ陷入了财务困境，几乎面临破产，因此保险公司的破产问题
引起了人们的关注。如何定量地给出保险公司破产的可能性，
我们可以通过建立随机模型来解决这个问题，模型如下。
假设保险公司在ｔ时刻的盈余Ｕ（ｔ）可表示为 ：
——（１） 其中ｕ＞０为保险公司的初始盈余，ｃ＞０为年保费收入率， Ｎ（ｔ）为强度为λ的泊松过程，表示［０，ｔ）时间内保险公司 发生的理赔次数，Ｘ１，Ｘ２，…为一列独立同分布的均值为 的 指数随机变量序列，Ｘｉ表示公司的第ｉ次理赔量大小。显然 Ｓ（ｔ）为复合泊松过程，描述了保险公司［０，ｔ） 时 间 内 总 的理赔支出过程。
，其中 。则在结构化模型下公司有限时违约概率为：
其中 为标准正态分布的累积函数。 由上例可以看出，结构化模型和约化模型分别建立在 维纳过程和泊松过程的框架之上，由这两类过程的性质解 决了公司的违约问题，从而给经营者以及投资者提供一个 风险度量的参考工具。 ３ 结论 综上所述，随机过程理论在风险量化管理模型中起着 举足轻重的作用，泊松过程，复合泊松过程，维纳过程更 是建立合理的经济模型的基石，熟悉这些特殊的随机过程 的性质有利于我们为风险管理和风险控制提供更好的度量 方法．随着金融创新工具的快速发展，掌握随机过程理论对 于开发合理的金融产品，促进金融市场稳定发展是非常有 利的。