对称性与守恒定律

A
WAB = EPA − EPB WAB = EPA
定义了势能差
选参考点（势能零点）， ），设 选参考点（势能零点），设 EPB = 0
WG = mgza − mgzb
Mm Mm Wf = (−G0 ) − (−G0 ) ra rb
W保 = ∫ F保 • dr
a
b
1 2 1 2 Ws = kxa − kxb 2 2
a rb
b
r ⋅ dr = r dr cos θ = rdr
b dr dr m
1 m = ∫ − GM 2 dr ra r 1 1 m = −GM − ra rb
可见万有引力是保守力。 可见万有引力是保守力。
rb
M
r F ra
a
势能、 2、势能、势函数
B
在受保守力的作用下， 在受保守力的作用下，质点 从A-->B，所做的功与路径无关， ，所做的功与路径无关， 而只与这两点的位置有关。 而只与这两点的位置有关。可引 入一个只与位置有关的函数， 入一个只与位置有关的函数，A点 与位置有关的函数 的函数值减去B点的函数值， 的函数值减去B点的函数值，定义 为从A -->B保守力所做的功，该函 保守力所做的功， 为从 保守力所做的功 数就是势能函数。 数就是势能函数。
y
0
弹性势能（以弹簧原长为零势能点） 弹性势能（以弹簧原长为零势能点）
1 2 1 2 Ep = ∫ − kx • dx = −(0 − kx ) = kx x 2 2 引力势能（以无穷远为零势能点） 引力势能（以无穷远为零势能点）
0
Mm 1 EP ∫ － ＝ G 2 dr = −GMm r r r
∞
dEP ∴Fl = − dl
势能是位置的函数， 表示， 势能是位置的函数，用U=U(x,y,z)=EP ( x,y,z)表示， 表示 称为势函数
∂U ∂U ∂U Fx = − , Fy = − , Fz = − ∂x ∂y ∂z
∂U ∂U ∂U F = Fxi + Fy j + Fzk = (− i ) + (− j ) + (− k) ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ = −( i + j + k)U = −∇U ∂x ∂y ∂z
•
对中心对称 对称性破缺
状态A与状态 相同或等价 状态 与状态B相同或等价 与状态
三、几种对称操作 空间对称操作--1、空间对称操作--- 空间变换 1)平移 1)平移 2)旋转 3)镜象反射 4)空间反演 2)旋转 3)镜象反射 4)空间反演
2、时间变换 1)时间平移 2)时间反演 1)时间平移 2)时间反演 3、时空联合操作 伽利略变换--伽利略变换--- 力学定律具有不变性 洛仑兹变换---物理定律具有不变性 洛仑兹变换---物理定律具有不变性 ---
O
X
WAB = ∫ F ⋅ dr = ∫ Fxd x + Fydy + Fzdz
A A
B
B
Y
F = 2 yi + 4 j ( N)
W =∫
x2 , y2
x1 , y1 3
(F dx + F dy) = ∫
x y
O
X 做 功 与 路 径 有 关
x2
x1
2ydx + ∫ 4dy
y1
y2
94 x2 =∫ dx + ∫ 4dy =10.8J −2 2 1
(SI) 例3、质量为 、质量为2kg的质点在力 的质点在力 的作用下，从静止出发， 轴正向作直线运动。 的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。 轴正向作直线运动 求前三秒内该力所作的功。 求前三秒内该力所作的功。 一维运动可以用标量） 解：（一维运动可以用标量） ：（一维运动可以用标量
一对作用力和反作用力的功 m1、m2组成一个封闭系统 在dt 时间内 dr1 m1 f1 r1 o r2 r21 f2
第2章 对称性与守恒定律
2-1 系统的对称性概述
一、系统
物质世界
系 统
外 界
孤立系统
封闭系统
开放系统
外力 内力 作用在系统上 的合力 状态量
· ·i
∑f =0
F合 = F
· fi j · · · fj i
· · j
Fi
动量、角动量、能量 动量、角动量、
状态量与系统经历的过程无关。 状态量与系统经历的过程无关。 状态量是系统自身所具有的物理量，与外界无关。 状态量是系统自身所具有的物理量，与外界无关。 过程量 冲量、 冲量、功 过程量与系统自身没有必然的联系， 过程量与系统自身没有必然的联系， 过程量是由外界对系统过程产生作用的物理量。 过程量是由外界对系统过程产生作用的物理量。
那勃勒算符 质点所受保守力等于质点 势能梯度的负值
注意： 注意：
1、只要有保守力，就可引入相应的势能。 、只要有保守力，就可引入相应的势能。 2、计算势能必须规定零势能参考点。质点在某一 、计算势能必须规定零势能参考点。 点的势能大小等于在相应的保守力的作用下， 点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所 在点移动到零势能点时保守力所做的功。 在点移动到零势能点时保守力所做的功。 3、势能仅有相对意义，所以必须指出零势能参考 、势能仅有相对意义， 两点间的势能差是绝对的， 点。两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相 对位置的单值函数。 对位置的单值函数。 4、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。 、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。
刚体的转动动能 刚体的转动动能
1 2 Ek = Jω 2
质点的动能定理 物体受外力作用 运动状态变化 动能变化
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。 做的功等于质点动能的增量
∆ ri
fi A
1 2 WAB = ∫ f ⋅ dr = ∫ d( mv ) A v1 2 B 1 1 2 2 = mv2 − mv1 = EKB − EKA 2 2 末态动能 初态动能
外力做正功等于相应动能的增加； 外力做正功等于相应动能的增加； 做正功等于相应动能的增加 外力做负功等于相应动能的减少。 外力做负功等于相应动能的减少。 做负功等于相应动能的减少
重力势能（以地面为零势能点） 重力势能（以地面为零势能点）
EP = ∫ − mgdy = −mg(0 − y) = mgy
对称性与守恒定律
问题的提出
宏观 经典力学理论的局限性 守恒定律的普适性 低速 宏观、微观、低速、高速 宏观、微观、低速、
守恒定律具有比力学理论更深厚的基础吗？ 守恒定律具有比力学理论更深厚的基础吗？ 守恒定律是与宇宙中某些对称性相联系的。 守恒定律是与宇宙中某些对称性相联系的。 对称性是统治物理规律的规律。 对称性是统治物理规律的规律。
保守力做正功等于相应势能的减少； 保守力做正功等于相应势能的减少； 做正功等于相应势能的减少 保守力做负功等于相应势能的增加。 保守力做负功等于相应势能的增加。 做负功等于相应势能的增加
= Epa − Epb = −∆Ep
比 较
1 1 2 2 W = mv2 − mv1 = EKB − EKA = ∆EK 2 2
A A B B
对于定轴转动的刚体
Z
O dθ α F r P
dW = F ⋅ dr = Fl ds = Fl rdθ
M = Fl r
dW = M θ d
WAB = ∫ F ⋅ dr = ∫ M θ d
A θ1 B θ2
力矩的功是力做功的角量表述 单位： 单位：焦耳 J ； 千瓦时
例1 作用在质点上的力为 在下列情况下求质点从 处该力作的功： 处该力作的功： 1. 质点的运动轨道为抛物线 2. 质点的运动轨道为直线 Y 处运动到
二、对称性 定义:某一研究对象(体系、事物;物理规律) 定义:某一研究对象(体系、事物;物理规律) 对其状态进行某种操作,使其状态由 到 。 对其状态进行某种操作,使其状态由A到B。若 某种操作 两状态等价(相同) 就说该研究对象对该操作 两状态等价(相同)，就说该研究对象对该操作 等价 具有对称性。 具有对称性。 例 操作 状态A 状态 绕中心旋 任意角 状态B 状态
时间反演 (t → -t) ) 相当于时间倒流 物理上: 物理上:运动方向反向 即: 速度对时间反演变号 牛顿第二定律 对保守系统-对保守系统-时间反演不变 如 无阻尼的单摆
非保守系统 不具有时间 反演不变性 联合操作
武打片
动作的真实性
紧身衣
真实
大袍
不真实
阴阳图
2-2
功、动能和势能
r2
B
一、功和功率
物理矢量的镜面反射 极矢量 轴矢量
M
′ ∆r⊥ ∆r⊥
M
′ ω⊥
′ ωΙΙ
ω⊥
ωΙΙ
∆r ′
′ ∆rΙΙ∆rΙΙ
ω′ ∆r
ω
平行于镜面的分 量方向相同， 量方向相同， 垂直于镜面的分 量方向相反。 量方向相反。 v a F
平行于镜面的分 量方向相反， 量方向相反， 垂直于镜面的分 LM 量方向相同。 量方向相同。
•引力的功 引力的功 两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以 M所在处为原点 指向 的方向为矢径的正方向。 所在处为原点,M指向 的方向为矢径的正方向。 所在处为原点 指向m的方向为矢径的正方向 m受的引力方向与矢径方向相反。 受的引力方向与矢径方向相反。 受的引力方向与矢径方向相反
W = ∫ f ⋅ dr
•重力的功 重力的功 m在重力作用下由 运动到 ，取地面为坐标原点 在重力作用下由a运动到 在重力作用下由 运动到b，取地面为坐标原点.
Z
dr
• •
b
初态量
末态量
a•
O
mg
Y
可见，重力是保守力。 可见，重力是保守力。
X
•弹力的功 弹力的功
弹簧振子 初态量 末态量
• • •
可见，弹性力是保守力。 可见，弹性力是保守力。
F
E＝ F • dl P ∫
a
b
A
φ
dl B Fl l
保守力所做元功
− dEP = F • dl = F cosφdl = F dl l
dEP ∴Fl = − dl
保守力沿某一给定的l方向的分量等于与此保守 保守力沿某一给定的 方向的分量等于与此保守 力相应的势能函数沿l方向的空间变化率 方向的空间变化率。 力相应的势能函数沿 方向的空间变化率。
W =∫
x2 , y2
x1 , y1 3
(Fxdx + Fydy) = ∫ 2 ydx + ∫ 4dy
x1 y1
x2
y2
94 1 = ∫ ( x + 6)dx + ∫ 4dy = 21.25J 1 −2 2
处由静止开始落向地面， 例2、一陨石从距地面高为 处由静止开始落向地面， 、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面 忽略空气阻力，求陨石下落过程中， 忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功 是多少？ 是多少？ a 取地心为原点， 解：取地心为原点，引力与矢径方向相反 h b R o
∆ri
θ
Fi
W = ∫ dW = ∫ F ⋅ dr
Γ
r1
A 功——力的空间积累 力的空间积累 外力作功是外界对系统过程的一个作用量
微分形式 dW = F ⋅ dr = F cosθds 直角坐标系中 F = Fxi + Fy j + Fzk
dr = dxi + dyj + dzk
WAB = ∫ F ⋅ dr = ∫ Fxd x + Fydy + Fzdz
dr2 m2
功率 力在单位时间内所作的功
瞬时功率等与力与物体速度的标积 单位： 单位：瓦特 W
二、动能 质点的动能 质点的动能
1 Ek = m 2 v 2
1 2 i = 1,2,…, n 质点系统的动能 质点系统的动能 Ek = ∑Eki = ∑ mi vi i i 2
定轴转动的刚体
1 2 1 2 2 Ek = ∫ v dm = ∫ ω r dm 2 2Ω Ω 1 2 2 1 2 = ∫ r dmω = Jω 2Ω 2
B v2
动能是 相对量
动能变化的量度 功是质点动能变化的量度 是质点动能 过程量wenku.baidu.com状态量
三、势能 1、保守力
W = ∫ F ⋅ dr = 0
某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关， 某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关， 与质点的始末位置有关 与路径无关。这种力称为保守力。 而与路径无关。这种力称为保守力。 典型的保守力： 重力、万有引力、 典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力 与保守力相对应的是耗散力 与保守力相对应的是耗散力 典型的耗散力： 典型的耗散力： 摩擦力
势 能 只 具 有 相 对 意 义
质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用 质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用 由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。 下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。 系统的机械能
E = Ek + Ep
•势能和保守力的关系： 势能和保守力的关系： 势能和保守力的关系 势能是保守力对路径的线积分