高等数学课件-讲义-D12数列的极限
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《高数》数列极限》课件
详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固 定比例的数列。数列极限的概念用于计算几 何级数的和，帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列，可以表 示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时 ，数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序 性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则 该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列，如无界且无周 期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用， 如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意 给定的正数$varepsilon$，存在 正整数$N$，使得当$n,m>N$时 ，有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限，包 括将函数展开为幂级数，并利用幂级数 的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限 ，如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。
D12数列的极限9937754页PPT
第 n天 剩 下 的 杖 长 为 Xn2 1n;
1 Xn 2n 0
0
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二 、数列极限的定义
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
例1 先观察几个数列
xn
1 xn
1 n
O
n
xn
1
2
xn
1
1 n
O
n
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xn
3 xn n
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
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一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
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一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
xn 1
成立。
nN1,n11 n
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1、定义 ( ε—N 语言)
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列 的极限为 a , 记作
nl im xn a 或 xna(n)
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .
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1
lim
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（二）精确定义
对数列(5)
(1)n1
xn 1
n
n, 时，x n 无限接近1
1、 xn n 1 的实质
数列的极限ppt
恒有 f ( x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
注意:{x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
{ x 0 x x0 } { x x x0 0}
. Sept. 26 Mon
Review
1.数列极限性质：唯一性，有界性，夹逼性， 保号性；
定理 : lim f ( x) A x x0
f ( x0 0) f ( x0 0) A.
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1. 不等式 xn a 刻划了 xn 与 a 的无限接近;
2. N 与任意给定的正数 有关.
极限的 N 定义:
lim
n
xn
a
0, N 0,使 n N 时,恒有 xn a .
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x1 , x2 ,, xi ,xn ,
xn1 , xn2 ,, xnk ,
xn
1
(1)n 2
子列 1，1，
0，0，
0, 1, 0, 1,
定义3. 设有序列{ xn }，若 M 0，对一切n 都有： | xn | M 则称 {xn} 是有界序列。
例： 0,1,0,1,
为有界序列。
二. 数列极限的定义
有界，几个特殊数列的极限; 。
12数列的极限
定义 设数列{ xn }, 若存在常数a , 对于 e>0
正整数 N，使得当 n > N 时，不等式
|xna|e
都成立，则称a
是数列
xn
的极限，记为
lim
n
xn
a
说明1 e 是任意给定的一个小正数, 只有这样
|xna|e才能刻画 xn a.
说明2 N 一般是和e有关的 , 常随着e的减小而增大.
2 3
解 原式 lim n
n 13
n
lim2 lim 3
n
n n
lim 1 lim 3
2 0
0 3
2 3
n n
n
1. n li m (x n y n ) n li m x n n li m y n
2. n li m x nynn li m xnn li m yn
例1. 已知
xn
(1)n (n 1)2
,
证明 nli mxn 0.
证:
xn 0
(1)n (n 1)2
0
1 (n 1)2
1 n
1
e(0,1),欲使
取 N 1 1 ,
xn 0
e, 只要
n
1
则当 n>N时, 就有
e
(1)n
e , 1 xn 0
数列 { xn 2n } 无界.
注 数列的通项 xn 实质上是n的函数, 即
xnf(n), n N
数列{ xn }有界即为 f (n) 有界!
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定理2. 收敛数列一定有界 说明: 1) 逆命题不成立. 例如, 数列 1,0,1,0, 虽有界但不收敛 . 2) 逆否命题成立. 即：无界数列一定发散
D12数列的极限99760课件
当无限增大时，无限接近于数列的极限观察数列的变化趋势。姓拙恳
例如
数列极限的通俗定义
问题:
如何用数学语言刻画它？
或者称
记为
趋势不定
意思？
闰窜候添篓北屠芯抓诗磷号皿截完盼尹荷逆汾胎台队稀报饼谭叮蠕的默册D12数列的极限99760D12数列的极限99760
例如数列极限的通俗定义问题:如何用数学语言刻画它？当无限增大
记为
第 项
叫做数列
的通项（一般项）.
数列举例:
注：
摈各酗送荤梯温麻纫字象迎汝卫逃贤验秩毕绦紫铰邀唇刹柯替缺暴护沉舞D12数列的极限99760D12数列的极限99760
数列的概念如果按照某一法则,对每一对应着一个确定的实数则得到
数列的概念
如果按照某一法则,对每一
对应着一个
确定的实数
则得到一个序列
这一序列称为数列,
数列的极限观察数列的变化趋势。猖镍掂恼农丑栽组叼底浑紫最堤患
数列的极限
等旁倔着垄挛糖扛憾渭协啊明达萎迁起冷甫棚哀聚悠瀑茹准畸痢姥菜委示D12数列的极限99760D12数列的极限99760
数列的极限观察数列的变化趋势。等旁倔着垄挛扛憾渭协啊明达萎数列的极限
聊振综贝索烘吓川拘功痘县廊坚砖豺坤费裸鳃赎擅蒜涪魁澈再懂抢磷铰肛D12数列的极限99760D12数列的极限99760
例2. 已知
证明
证:
欲使
只要
即
取
则当
时, 就有
故
故也可取
也可由
N 与 有关, 但不唯一.
不一定取最小的 N .
说明:
取
虱耶婚叮甸晋绦闲枉雁客症或云峭嘎嘱蒙每悸铂苏吼丛炎藉谍詹恶胰议赁D12数列的极限99760D12数列的极限99760
例如
数列极限的通俗定义
问题:
如何用数学语言刻画它？
或者称
记为
趋势不定
意思？
闰窜候添篓北屠芯抓诗磷号皿截完盼尹荷逆汾胎台队稀报饼谭叮蠕的默册D12数列的极限99760D12数列的极限99760
例如数列极限的通俗定义问题:如何用数学语言刻画它？当无限增大
记为
第 项
叫做数列
的通项（一般项）.
数列举例:
注：
摈各酗送荤梯温麻纫字象迎汝卫逃贤验秩毕绦紫铰邀唇刹柯替缺暴护沉舞D12数列的极限99760D12数列的极限99760
数列的概念如果按照某一法则,对每一对应着一个确定的实数则得到
数列的概念
如果按照某一法则,对每一
对应着一个
确定的实数
则得到一个序列
这一序列称为数列,
数列的极限观察数列的变化趋势。猖镍掂恼农丑栽组叼底浑紫最堤患
数列的极限
等旁倔着垄挛糖扛憾渭协啊明达萎迁起冷甫棚哀聚悠瀑茹准畸痢姥菜委示D12数列的极限99760D12数列的极限99760
数列的极限观察数列的变化趋势。等旁倔着垄挛扛憾渭协啊明达萎数列的极限
聊振综贝索烘吓川拘功痘县廊坚砖豺坤费裸鳃赎擅蒜涪魁澈再懂抢磷铰肛D12数列的极限99760D12数列的极限99760
例2. 已知
证明
证:
欲使
只要
即
取
则当
时, 就有
故
故也可取
也可由
N 与 有关, 但不唯一.
不一定取最小的 N .
说明:
取
虱耶婚叮甸晋绦闲枉雁客症或云峭嘎嘱蒙每悸铂苏吼丛炎藉谍詹恶胰议赁D12数列的极限99760D12数列的极限99760
高数D12数列的极限
(1
1n)
(1
n2)
n1!(1
1n)
(1
2 n
)
(1
nn1)
xn1
11
1 2!
(1
n11)
31! (1
n11)(1
n21)
大
大
(n11)!(1 n11)(1 n21)(1 nn1)
正
比较可知 xn xn1 ( n 1, 2, )
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
, 则存在 N ,
使当 n
>N
时,有
a
1 2
xn
a
1 2
但因 xn交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为
1
的开区间 (
a
1 2
,
a
1 2
)
内,
因此该数列发散
.
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2. 收敛数列一定有界.
数学语言描述: 0, 正整数 N, 当 n > N 时, 总有
An S
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作
lim
n
n (1)n 1 n
0 , 欲使
即
只要
n
《数列的极限 》课件
极限时，常常需要利用数列极限的知识， 将函数极限转化为数列极限进行处理，如利用单调有 界定理证明极限的存在性等。
在微积分中的应用
定积分与不定积分
定积分和不定积分是微积分的重要组成部分，它们的 计算和证明都涉及到数列极限的应用。例如，在计算 定积分时，需要用到极限来估计积分的误差；在证明 不定积分的性质时，也需要用到数列极限。
04
无穷小与无穷大
无穷小的性质
无穷小是极限为0的变量。
1
2
无穷小具有可交换性、可结合性、可分解性。
3
无穷小是相对于自变量变化的趋势，可以是x趋 向于无穷大或x趋向于某一常数。
无穷大的性质
无穷大是极限不存在的变量。
无穷大具有可交换性、可结合性、可分解性。
无穷大可以是正无穷大或负无穷大，取决于自变 量的变化趋势。
《数列的极限》PPT课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性 • 无穷小与无穷大 • 数列极限的应用
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当数列的项数n趋于 无穷大时，数列的项x_n趋于某一固 定值A的性质。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保号 性、局部不等式性质等。
级数理论
级数是微积分的一个重要分支，它与数列极限有着密切 的联系。通过数列极限，我们可以研究级数的收敛性和 求和问题，如利用比较审敛法、p-级数等。
在实际问题中的应用
金融数学
在金融数学中，许多问题涉及到数列极限的应用。例如，在研究资产价格的波动时，我们需要用到大数定律和中 心极限定理等数列极限的知识。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理表明，如果一个数列的项落在 不断缩小的闭区间内，则该数列收敛。
在微积分中的应用
定积分与不定积分
定积分和不定积分是微积分的重要组成部分，它们的 计算和证明都涉及到数列极限的应用。例如，在计算 定积分时，需要用到极限来估计积分的误差；在证明 不定积分的性质时，也需要用到数列极限。
04
无穷小与无穷大
无穷小的性质
无穷小是极限为0的变量。
1
2
无穷小具有可交换性、可结合性、可分解性。
3
无穷小是相对于自变量变化的趋势，可以是x趋 向于无穷大或x趋向于某一常数。
无穷大的性质
无穷大是极限不存在的变量。
无穷大具有可交换性、可结合性、可分解性。
无穷大可以是正无穷大或负无穷大，取决于自变 量的变化趋势。
《数列的极限》PPT课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性 • 无穷小与无穷大 • 数列极限的应用
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当数列的项数n趋于 无穷大时，数列的项x_n趋于某一固 定值A的性质。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保号 性、局部不等式性质等。
级数理论
级数是微积分的一个重要分支，它与数列极限有着密切 的联系。通过数列极限，我们可以研究级数的收敛性和 求和问题，如利用比较审敛法、p-级数等。
在实际问题中的应用
金融数学
在金融数学中，许多问题涉及到数列极限的应用。例如，在研究资产价格的波动时，我们需要用到大数定律和中 心极限定理等数列极限的知识。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理表明，如果一个数列的项落在 不断缩小的闭区间内，则该数列收敛。
(同济大学)高等数学课件D12数列的极限
*3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P55)
数列 极限存在的充要条件是:
0,存在正整数 N , 使当 mN,nN时,
有
xnxm
证: “必要性”.设nl im xna,则
使当
时, 有
xna2, xma2
因此
xnxm
xnaxma
“充分性” 证明从略 .
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
限 , 则原数列一定发散 .
例如，
发散 !
kl i mx2k 1
三、极限存在准则
夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .
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1. 夹逼准则 (准则1) (P50)
(( 2 1 ) )n y l n i y m x n n n lz n i ( z m n n 1 a , 2 , ) nl im xn a
xn1121!(1 1n) 31!(11n) (1 n2)
n1!(11n)(1 n2) (1nn1)
xn11121!(1n11) 3 1!(1n1 1)1(n2 1)
大
大
( n 1 1 ) ! ( 1 n 1 1 )1 (n 2 1 ) ( 1 n n 1 )
正
比较可知 x n x n 1 ( n 1 ,2 , )
又 xn(11 n)n11
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又 xn(11 n)n11 11
3
1 2n1
3
根据准则 2 可知数列 xn 有极限 .
记此极限为 e , 即
nl i m(11n)n e
e 为无理数 , 其值为
e2 .7182 58 9 1 08 42 584
高等数学(第二版)上册课件：数列的极限
n
n
n
若 0< q 1, 要使 xn 0
,只要 | q |n 即可
取自然对数，得n ln | q | ln ,
因 | q | 1, 故 n
ln
取 N 1
ln | q
则
,
|
则当n N 时 | q
lim q n 0
若数列 xn 收敛，则数列 xn 有界.
定理2
如
2,
3 4
n1
, ,...,
2 3
n
推论
无界数列必发散.
如 2, 4,8, , 2n ,
定理3（保号性） 若 lim xn a，a 0 （或a 0），则
n
正整数 N 0，当n N 时有 xn 0 （或xn 0）.
如 lim q n 0, 其中 | q | 1.
n
定义1.3 设有数列 xn ，若M 0，使对一切n 1, 2, ,
有 xn M，则称数列 xn 是有界的，否则称它为无界的.
1
例如数列 2
(-1)n 有界，数列n 2 无界.
、
n 1
定义1.2’
如果对于任意给定的正数 ，总存在正整数 N ,使得对于 n N 的
一切
xn
,都有不等式
|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxn A | 成立，则称常数A为数列
x n 当 n 时的极限，或称数列{xn } 收敛于A，记作
lim xn A
n
，或者 x A n
数列极限的几何意义：
n
2
1
1
又如 xn n , xn 0, lim n 0
n
n
若 0< q 1, 要使 xn 0
,只要 | q |n 即可
取自然对数，得n ln | q | ln ,
因 | q | 1, 故 n
ln
取 N 1
ln | q
则
,
|
则当n N 时 | q
lim q n 0
若数列 xn 收敛，则数列 xn 有界.
定理2
如
2,
3 4
n1
, ,...,
2 3
n
推论
无界数列必发散.
如 2, 4,8, , 2n ,
定理3（保号性） 若 lim xn a，a 0 （或a 0），则
n
正整数 N 0，当n N 时有 xn 0 （或xn 0）.
如 lim q n 0, 其中 | q | 1.
n
定义1.3 设有数列 xn ，若M 0，使对一切n 1, 2, ,
有 xn M，则称数列 xn 是有界的，否则称它为无界的.
1
例如数列 2
(-1)n 有界，数列n 2 无界.
、
n 1
定义1.2’
如果对于任意给定的正数 ，总存在正整数 N ,使得对于 n N 的
一切
xn
,都有不等式
|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxn A | 成立，则称常数A为数列
x n 当 n 时的极限，或称数列{xn } 收敛于A，记作
lim xn A
n
，或者 x A n
数列极限的几何意义：
n
2
1
1
又如 xn n , xn 0, lim n 0
高等数学之数列的极限PPT课件
§2 数列的极限
一、概念的引入 二、数列的概念 三、数列极限的定义 四、数列极限的性质
1
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
2
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A 2
R
正62n1形的面积 A n
A 1,A 2,A 3, ,A n,S
随着 n 的无限增大而无限趋于 0 .
4
二、数列的概念
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
（1）
称为实数列,简称数列.其中的每个数称为数列
的项, xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn }.
例如 2,4,8, ,2n, ;
{2 n }
12,14,18,,21n,;
则对一切 n,皆 自有 xn然 M 数 , 故 xn有.界
推论 无界数列必定发散.
13
例 数x列 n(1)n1.
事实 ,{xn}是 上有 ,但 界却 的 . 发散
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
14
3、保号性 定理3 若 ln imxn a, 且a >0( 或a <0)，则存在
证 设数 x n k 是 列数 x n 的 列 任一子
ln i m xna,
0 , N 0 , 使 n N 时 , 恒 x n a 有 . 取KN,
则k 当 K时 , n k n k n KN .
xnk a. k l i m xnk a.
证毕．
21
说明: 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 , 则原数列一定发散 . 例如，
一、概念的引入 二、数列的概念 三、数列极限的定义 四、数列极限的性质
1
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
2
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A 2
R
正62n1形的面积 A n
A 1,A 2,A 3, ,A n,S
随着 n 的无限增大而无限趋于 0 .
4
二、数列的概念
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
（1）
称为实数列,简称数列.其中的每个数称为数列
的项, xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn }.
例如 2,4,8, ,2n, ;
{2 n }
12,14,18,,21n,;
则对一切 n,皆 自有 xn然 M 数 , 故 xn有.界
推论 无界数列必定发散.
13
例 数x列 n(1)n1.
事实 ,{xn}是 上有 ,但 界却 的 . 发散
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
14
3、保号性 定理3 若 ln imxn a, 且a >0( 或a <0)，则存在
证 设数 x n k 是 列数 x n 的 列 任一子
ln i m xna,
0 , N 0 , 使 n N 时 , 恒 x n a 有 . 取KN,
则k 当 K时 , n k n k n KN .
xnk a. k l i m xnk a.
证毕．
21
说明: 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 , 则原数列一定发散 . 例如，
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定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列 的极限为 a , 记作
nl im xn a 或 xn a(n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . ax n a
(nN)
几何解释 :
即 xn U (a,)
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2. 收敛数列一定有界.
证: 设
取 1, 则 N , 当 nN 时, 有
xna1,从而有 xnaa1 a
取 M m x 1 ,a x 2 , x ,x N ,1 a
则有 x n M (n 1 ,2 , ) . 由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立. 例如,
从而
xn
ab 2
同理, 因 nl im xn b, 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有 从而 xn a2b
矛盾取 , 故 N b 假 2 a设m 不xn 真 N b a 1 ! , 因N a b b 2 2 2 此a a , 收则x 敛当数n列3a>a22的bNb极时x限nx, nx必n3满唯ba22a足一b 的. 不等式
证: xn0
欲使
只要
即
亦即 n 1 ln .
ln q
因此 , 取 N1llnnq
,
则当
n
>
N
时,
就有
qn10
故
limqn1 0
n
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二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一.
证: 用反证法. 假设
及
且 ab.
取
因nl im xna, 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
(
a x N 1
)
x N 2 a
(nN)
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例如,
1,2,3, , n , 2 3 4 n1
xn
n n 1
1(n )
收
敛
xn
n(1)n1 n
1(n )
2,4,8, ,2 n, xn 2n (n ) 发
散 xn(1)n1 趋势不定
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例1. 已知
例如，
发散 !
kl i mx2k 1
三、极限存在准则
夹逼准则; 单调有界准则; *柯西审敛准则 .Βιβλιοθήκη 目录 上页 下页 返回 结束
1. 夹逼准则 (准则1) (P50)
(( 2 1 ) )n y l n i y m x n n n lz n i ( z m n n 1 a , 2 , ) nl im xn a
数列 (1)n1 虽有界但不收敛 .
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3. 收敛数列具有保号性.
若
且
则
( 0)
证: 对 a > 0 , 取
则
有 ( 0)
推论: 若数列从某项起 ( 0)
(用反证法证明)
(0).
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4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列
是数列 的任一子数列 .
精品
高等数学课件--D12数列的极限
一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆, 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S . π
如图所示 , 可知
n
r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S . (刘徽割圆术)
数学语言描述: 0, 正整数 N, 当 n > N 时, 总有
AnS
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
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例4. 证明数列
是发散的.
证: 用反证法.
假设数列
收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
,
则存在 N ,
使当 n > N
时, 有
a1 2xna1 2
但因 x n 交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间(a1 2,a1 2)内, 因此该数列发散 .
若
则 0, N , 当
时, 有
现取正整数 K , 使
于是当 k K时, 有
xN nk N *********************
N
从而有 xnk a , 由此证明 kl imxnk a.
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说明:
由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极
限 , 则原数列一定发散 .
n2 n2
π
且
lim
n
n
n2 2
π
lim n1
1
π n2
1
nl imn n21 πn2 12π n2 1nπ 1
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2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 )
n l i m xna(M) a
n l i m xnb(m) b
( 证明略 )
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例6. 设
证明数列
极限存在 . (P53～P54)
证: 利用二项式公式 , 有
xn(11n)n
11n !
1 n
n(n1) 2!
1 n2
n(n13)!(n2)n13
n(n1) n(!nn1)n1n
1121!(1 1n) 31!(11n) (1 n2)
n1!(11n)(1 n2) (1nn1)
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证: 由条件 (2) , 0,N1, N 2 ,
当
时,
当
时,
令 N m N 1 a ,N 2 x ,则当 nN时, 有
由条件 (1) aynxnzna
即 xna, 故 nl im xn a.
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例5. 证明
证: 利用夹逼准则 .由
n n 21 πn 2 12π n 2 1nπ
xn1121!(1 1n)
31!(1
1n)
(1
2 n
)
n1!(11n)(1 n2) (1nn1)
xn11121!(1n11) 3 1!(1n1 1)1(n2 1)
大
大
( n 1 1 ) ! ( 1 n 1 1 )1 (n 2 1 ) ( 1 n n 1 )
正
n 1
1 n
1
.
取
N [11],
则当
nN时, 就有
xn0,
故 nl im xnnl im (n(11)n)20 也可由 xn0(n11)2
说明: N 与 有关, 但不唯一. 取 N11
不一定取最小的故N也. 可取
N[
1
]
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例3. 设 q 1, 证明等比数列
的极限为0 .
证明数列
的极限为1.
证:
xn1
n (1)n n
1
0,欲使
即
只要
n
1
因此 ,
取
N
[1 ],
则当
nN时, 就有
n(1)n 1
n
故
nl i m xnnl i m n(n1)n1
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例2. 已知
证明
证: xn0
(n
1 1)2
1 n 1
(0,1),欲使
只要 1 , 即