集合与关系

第三章集合与关系

3.1 第2题(2)(3)(5),

第3题(2)(4),（广义并，广义交）

第4题(1)(4)(5),

第5题(1)(2)(3),

第8题(2)(4)，

3.2 第11题，第12题

3.3第19题, 第20题，第23题，

第26题，第27题，

第31题(2)(5)

3.4 第33题，第37题,

3.5 第47题，第49题(2)

3.6 第53题，第54题，第57题

3-1

2. 设有集合A={x| x是小于等于6的质数} B={ x| 4≤x≤12 ，x是偶整数}

C={ x| x=1,4,5,7,8} ,并设全集为A∪ B∪C。求下列集合表达式的结果。

解: 根据题目所给的集合,先求得集合

A={2,3,5},B={4,6,8,10,12},C={1,4,5,7,8}

(2)(B∩C)–(A∪B)

= ({4,6,8,10,12}∩{1,4,5,7,8})–({2,3,5}∪{4,6,8,10,12})

={4,8}-{2,3,4,5,6,8,10,12}

=φ

(3) (A⊕B)–(A⊕C)

=( {2,3,5}⊕{4,6,8,10,12})–({2,3,5}⊕{1,4,5,7,8})

= {2，3，4，5，6，8，10，12}-{1，2，3，4，7，8}

={5，6，10，12}

(5)A∪～(C∩B)

= {2,3,5}∪～({1,4,5,7,8}∩{4,6,8,10,12})

= {2,3,5}∪～{4，8}

={ 1，2，3，5，6，7，10，12}

3. 设A={{1,2}，{1}，{1，0} } , B={{1,3}，{2,3}，{1，0}}，计算下列并集和交集。

(2)∩∪A

(4)∩∪B

解：（2）

∩∪A

=∩{0，1，2}

=φ

(4)

∩∪B

=∩{}

=φ

4.求下列集合的幂集，并用下标子集表示。

(1)φ

(4)2φ

(5){x,y,z}

解：(1)设A=φ，A的幂集为{φ}，ρ（A）的下标子集表示为{A0}。

(4) 设A=2φ，A是空集的幂集{φ}，A的幂集ρ（A）为{φ，{φ}}，

ρ（A）的下标子集表示为{A0，A1}。

(5) 设A={x,y,z}，A的幂集ρ（A）为{φ,{x},{y},{z},{x,y},{x,z},{y,z},{x,y,z}}，

ρ（A）的下标子集表示为{A0,A4,A2,A1,A6,A5,A3,A7}。

5.设集合A有5个元素，根据子集的下标，写出子集的列举表示。

(1)A12

(2)A23

(3)A0

解：设A={a,b,c,d,e}，则

A12=A01100 ={b,c}

A23= A10111 ={a,c,d,e}

A0= A00000 = φ

8. 设A,B,C都是集合，证明下列命题。

(2)如果对一切集合A都有A∪B=A ,那么必有B=φ

（3）如果 A ⊆B 那么ρ（A）⊆Aρ（B）

(4)ρ（A）∩ρ(B) =ρ(A∩B)

证明：

(2)反证法：

∵已知B⊆A∪B，A∪B=A ∴B⊆A 对一切集合A成立，假定B不等于φ，那么必有B的非空真子集C, C ⊂B⊆A , 由于C是集合，满足

C∪B=C （替换已知条件中的A）, 由定理六可得B⊆C ,此与C ⊂B 矛盾。

由反证法可得B=φ。

直接证法：

构造式子(A∪B)∩(～A∪B) 由已知A∪B=A可得：

=A∩～A

=φ

而(A∪B)∩(～A∪B)=（A∩～A）∪B, 由已知条件得

=B

所以：(A∪B)∩(～A∪B) =（A∩～A）∪B=B =φ

(3) 任取α∈ρ(A)，得α⊆A，

由于A⊆B，则α⊆A ⊆ B，由包含关系的传递性知α是B的子集，可得α∈ρ(B)，故ρ（A）⊆ρ(B)。

(4)一方面，由（3）的结果可得：如果A∩B⊆A和A∩B⊆B

那么有ρ（A∩B）⊆ρ(A) 和ρ（A∩B）⊆ρ(B)

（由A⊆B, C⊆D可得A∩C⊆B∩D）

于是得ρ(A∩B)⊆ρ（A）∩ρ（B）

另一方面，任取α∈ρ(A) ∩ρ（B）,得α∈ρ(A)且α∈ρ(B) ，

即α⊆A 且α⊆B , 于是得α⊆ A∩B ，α∈ρ(A∩B) ，故得

ρ（A）∩ρ(B) ⊆ρ(A∩B)

综合此两方面

∴ρ（A）∩ρ(B) =ρ(A∩B)

3-2

11．200名学生中有120 人选网络课程，130 名选人工智能课程，110 人选多媒体制作课程。已知同时选网络课程和人工智能课程的有80人，同时选媒体制作课程与网络课的有90人，同时选人工智能和多媒体制作的人有70人，同时选三门课的学生有60人。是否能算出一门课都没有选的人数？

解: 根据包含排斥原理,

设选网络课程的同学组成A集合，|A|=120

设选人工智能课程的同学组成B集合，|B|=130

设选多媒体制作课程的同学组成C集合，|C|=110

设没选任何课程的同学组成D集合，|D| = y

| A∩B|=80

| C∩B| =70