考虑滑脱效应的煤层气渗流数学模型及数值模拟
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kg
∂p = f ( x，t ) ∂n Γ1
(12)
式(9)和上述边界条件联立得到如下弱形式：
∂p ∂δ p ∂p ∂δ p ∂p δ p dΩ1 + ∫ k ( p) ∫Ω1 φ ( p) ∂x ∂x + ∂y ∂y dΩ1 + Ω1 ∂ t
图2 Fig.2 数值模拟网格剖分的 1/4 模型 Quarter model for the mesh of numerical simulation
摘要：在千米深度下赋存煤层气的煤层处于高地层压力作用，因此可认为是致密的多孔介质。煤层的渗透率低， 对于致密的多孔介质渗流，滑脱效应将十分显著。据此，建立了低渗透率情况下考虑高地层压力作用和滑脱效应 的煤层气渗流数学模型，并采用有限元方法对建立的数学模型进行了数值求解；比较低渗透率情况下考虑高地层 压力作用的滑脱流和原有的达西流对压力分布的影响。建立的煤层气滑脱数学模型为研究煤层气非线性渗流问题 奠定基础，对高地层压力作用下低渗透率储层的煤层气产量估算具有重要的理论价值。 关键词：采矿工程；滑脱效应；渗流方程；多孔介质；地层压力 中图分类号：TD 821；O 242 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2005)16–2966–05
第 24 卷 第 16 期 2005 年 8 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
Vol.24 No.16 Aug.，2005
考虑滑脱效应的煤层气渗流数学模型及数值模拟
肖晓春，潘一山
(辽宁工程技术大学 力学与工程科学系，辽宁 阜新 123000)
渗透性极低储集层 ＜0.1 渗透性低储集层 0.1～1.0 渗透性中等储层 1.0～5.0
表1 不同渗透率的储集层
图 3 垂直方向数值为压力分析的高斯节点编 号。按照图 3 所给的节点进行滑脱流和达西流的压 力分析，图 4～6 分别给出了 3 个不同渗透率储集层 的压力变化情况，由压力分布反应出滑脱渗流条件 下气体压力大于达西渗流条件下的气体压力。在两
Table 1 Preserving layer with different permibilities mD
1
引
言
达西的约为 28%[1]。煤层气资源有 2/3 贮存于千米 以下，在千米深度下赋存煤层气的煤层要受到高地 应力作用，因此，煤层可认为是致密的多孔介质， 对于致密的多孔介质中的渗流，滑脱效应尤为显著。
我国煤层普遍属于低渗透煤层，特别是晚古生 代煤层渗透率小于１毫达西(mD，渗透率的单位，
收稿日期：2005–05–13；修回日期：2005–06–20 基金项目：国家自然科学基金重大项目(50490275)
煤层气渗流的状态方程为 p ρ= RT 煤层气渗流的连续方程为 ∂p =0 ∇( ρ vi ) + φ ( p ) ∂t
(7)
不再适用。气体的密度可以用平均自由程来表征， 定义气体分子运动过程中与其他分子两次碰撞之间 的距离称为一个自由程。当气体分子的平均自由程 接近毛细管管径的尺寸时，会出现滑脱现象，即管 壁上各个分子都处于运动状态，其运动速度不再 是 0。这样与连续流相比相当于多出一个附加的流 量。在渗流力学中把这种效应称为 KlinKenberg 效 应[7]，是 KlinKenberg L J 于 1941 年提出的。其渗透 率表达式为
(8)
把式(6)，(7)代入到连续方程式式(8)中，vi 和 ρ 都以 p 表示，可以得到考虑滑脱效应的煤层气渗流 方程：
φ ( p)
b ∂ ∂p k g∞ p ∂p 1+ = p m ∂xi µg ∂t ∂x j
+ RTq s
(9)
4cλ k g = k g∞ 1 + r
Abstract：Under the depth of about one kilometer in the deep mining，the pressure of the coal-bed is considerably high and the permeability of the coal-bed is comparatively low， in which the porous media is regarded to be highly compacted. Considering the percolation in this pre-pressing porous media， the slippage effects are remarkable. The model of coal-bed methane percolation equation under high pressure condition，which considers the slippage effects of coal-bed methane，is proposed；and finite element method(FEM) is employed to calculate the numerical value of mathematic model. The pressure gradient calculated by FEM，which is influenced by slippage effects under high pressure condition，is compared with that of mathematic model. The foundation of mathematics model for coal-bed methane slippage is established to study the nonlinear percolation problems of coal-bed methane. The simulated results can provide significant references to the evaluation of the output of the coal-bed methane with low permeability under high pressure condition. Key words：mining engineering；slippage effects；percolation flow equation；porous media；stratum pressure 且 1 cm2 = 9.81×1010 mD)的大约占 70%，大于１毫
p ( x，y，t ) t =0 = p 0 ( x，y )
(10)
b k g = k g∞ (2) 1 + p m 式中： p m = ( pi + p 0 ) / 2 ， p i 和 p0 分别为进口和出
在 t = 0 时刻， 给定 Ω1 域的初值为 p 0 ( x，y ) ， 在
数值模拟中为给定的一常数。 边界条件为
・2968・
岩石力学与工程学报
2005 年
kg
∂p = f ( x，t ) ∂n Γ1
(11)
式中： f (x，t) = ea ( p − eb ) ， ea 为系数，且 ea = 1.4 ，
eb = 8.0 MPa。 式(11)在边界 Γ 1 上给出对流边界条件。式(7)在 补充了式(10)，(11)后，就建立了考虑滑脱效应的煤 层气渗流的数学模型。
作者简介：肖晓春(1979–)，男，2005 年于辽宁工程技术大学固体力学专业获硕士学位，现为博士研究生，主要从事煤层瓦斯渗流理论方面的研究工 作。E-mail：xxc7902@163.com。
第 24 卷
第 16 期
肖晓春等. 考虑滑脱效应的煤层气渗流数学模型及数值模拟
• 2967 •
对于滑脱效应的研究，文[2]通过试验的方法给出了 渗透率和滑脱因子的变化规律，发现了渗透率越小， 滑脱因子越大，滑脱现象愈显著的现象。文[3]建立 了低渗透气藏的数学模型并提出了一种数值求解的 方法；最近几年，文[4]通过理论计算和试验研究得 出了渗流气体滑脱现象和渗透率的变化关系；文[5] 建立了考虑滑脱效应的低渗、特低渗气藏模型，认 为滑脱现象与压力、渗透率等有关；文[6]通过大量 试验研究，确定了低渗透情况下非达西渗流临界条 件的方法。上述是考虑滑脱效应的气体渗流理论、 试验以及数值算法方面的研究进展。这些研究多是 针对于赋存于岩石中的天然气藏，而对赋存在煤岩 中的煤层气资源研究很少，且多是在地层压力较低 条件下进行的，没有考虑深部气藏高地层压力情况 下滑脱效应对煤层气渗流规律和煤层气井产量的影 响。因此，本文建立了高地层压力低渗透率条件下 考虑滑脱效应的煤层气渗流数学模型，并利用有 限元数值方法分析了考虑滑脱效应的煤层气渗流 规律和滑脱效应对煤层气井产量的影响，这对于煤 层气渗流的理论研究和实际开采都具有重要的意 义。
MATHEMATICAL MODEL AND NUMERICAL SIMULATION OF COAL-BED METHANE PERCOLATION FLOW EQUATION CONSIDERING SLIPPAGE EFFECTS
XIAO Xiao-chun，PAN Yi-shan
(Department of Mechanics and Engineering Sciences，Liaoning Technical University，Fuxin 123000，China)
(1)
式中：φ 为煤层孔隙度， µ g 为气体粘度， qs 为内部 源项。 3.3 考虑滑脱效应的煤层气渗流数学模型 补充如下特定问题的初值条件和边界条件。在 千米深度下取一截面为 Ω1 的研究范围，给出初值条 件：
式中：k g 为平均压力 p m 下气体渗透率，k g∞ 为气体 克氏渗透率， c 为比例因子， λ 为气体分子平均自 由程， r 为孔隙的平均半径。 根据 KlinKenberg L J 试验，气体分子平均自由 度与平均压力 p m 成反比，则式(1)可变为
z ( p) = 1 。 (2) 假设煤层的孔隙度 φ 为压力 p 的函数，即
φ = φ ( p)
3.2 考虑滑脱效应的煤层气渗流微分方程 考虑滑脱效应时，煤层气渗流运动方程为
vi = − k g∞ b gradp 1+ pm µg
(5)
(6)
2
气体渗流的滑脱机制
对于气体渗流，在低密度状态下，达西定律已
图1 煤层气数值模拟几何模型
4
考虑滑脱效应的煤层气渗流数学模 型及数值模拟
对于上述建立的数学模型采用有限元方法进行
Fig.1
Geometry model for numerical simulation of coal-bed methane
数值模拟。对于考虑了滑脱流( b ≠ 0 )的数学模型按 照非线性动态问题进行模拟。对于达西流的数学模 ( b = 0 )的数学模型采用线性动态问题进行模拟。基 于虚位移原理(即弱形式)弱化微分方程表达式。 对式(11)，其边界条件(对流边界)为
口压力；b 为滑脱因子，其定义为 4c b = λpm r 当 b = 0 时，就是达西流。
(3)
3
考虑滑脱效应的煤层气渗流数学模 型
3.1 基本假设 (1) 假设煤层气符合下述状态方程： p ρ= RTz ( p )
(4)
式中：p 为气体压力；R 为煤层气气体常数；T 为多 孔 介 质内 部温 度 ； z ( p) 为 气体 的 压缩 因子 ， 且
∫
Leabharlann Baidu
Γ1
ea pδ pdΓ 1 = ∫ qsδ pdΩ1 + ∫ ea ebδ pdΓ 1
Ω1 Γ1
(13)
4.2 不同渗透率情况下煤层气滑脱流模型和达西 流模型压力分布
式中： δ p 为压力的微小变分； µ g 为参数，且 µ g = 0.01 mPa・s； k g∞ 取表 1 中的 3 个等级范围；其他 参数意义和式(9)，(11)中的参数相同。
∂p = f ( x，t ) ∂n Γ1
(12)
式(9)和上述边界条件联立得到如下弱形式：
∂p ∂δ p ∂p ∂δ p ∂p δ p dΩ1 + ∫ k ( p) ∫Ω1 φ ( p) ∂x ∂x + ∂y ∂y dΩ1 + Ω1 ∂ t
图2 Fig.2 数值模拟网格剖分的 1/4 模型 Quarter model for the mesh of numerical simulation
摘要：在千米深度下赋存煤层气的煤层处于高地层压力作用，因此可认为是致密的多孔介质。煤层的渗透率低， 对于致密的多孔介质渗流，滑脱效应将十分显著。据此，建立了低渗透率情况下考虑高地层压力作用和滑脱效应 的煤层气渗流数学模型，并采用有限元方法对建立的数学模型进行了数值求解；比较低渗透率情况下考虑高地层 压力作用的滑脱流和原有的达西流对压力分布的影响。建立的煤层气滑脱数学模型为研究煤层气非线性渗流问题 奠定基础，对高地层压力作用下低渗透率储层的煤层气产量估算具有重要的理论价值。 关键词：采矿工程；滑脱效应；渗流方程；多孔介质；地层压力 中图分类号：TD 821；O 242 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2005)16–2966–05
第 24 卷 第 16 期 2005 年 8 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
Vol.24 No.16 Aug.，2005
考虑滑脱效应的煤层气渗流数学模型及数值模拟
肖晓春，潘一山
(辽宁工程技术大学 力学与工程科学系，辽宁 阜新 123000)
渗透性极低储集层 ＜0.1 渗透性低储集层 0.1～1.0 渗透性中等储层 1.0～5.0
表1 不同渗透率的储集层
图 3 垂直方向数值为压力分析的高斯节点编 号。按照图 3 所给的节点进行滑脱流和达西流的压 力分析，图 4～6 分别给出了 3 个不同渗透率储集层 的压力变化情况，由压力分布反应出滑脱渗流条件 下气体压力大于达西渗流条件下的气体压力。在两
Table 1 Preserving layer with different permibilities mD
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引
言
达西的约为 28%[1]。煤层气资源有 2/3 贮存于千米 以下，在千米深度下赋存煤层气的煤层要受到高地 应力作用，因此，煤层可认为是致密的多孔介质， 对于致密的多孔介质中的渗流，滑脱效应尤为显著。
我国煤层普遍属于低渗透煤层，特别是晚古生 代煤层渗透率小于１毫达西(mD，渗透率的单位，
收稿日期：2005–05–13；修回日期：2005–06–20 基金项目：国家自然科学基金重大项目(50490275)
煤层气渗流的状态方程为 p ρ= RT 煤层气渗流的连续方程为 ∂p =0 ∇( ρ vi ) + φ ( p ) ∂t
(7)
不再适用。气体的密度可以用平均自由程来表征， 定义气体分子运动过程中与其他分子两次碰撞之间 的距离称为一个自由程。当气体分子的平均自由程 接近毛细管管径的尺寸时，会出现滑脱现象，即管 壁上各个分子都处于运动状态，其运动速度不再 是 0。这样与连续流相比相当于多出一个附加的流 量。在渗流力学中把这种效应称为 KlinKenberg 效 应[7]，是 KlinKenberg L J 于 1941 年提出的。其渗透 率表达式为
(8)
把式(6)，(7)代入到连续方程式式(8)中，vi 和 ρ 都以 p 表示，可以得到考虑滑脱效应的煤层气渗流 方程：
φ ( p)
b ∂ ∂p k g∞ p ∂p 1+ = p m ∂xi µg ∂t ∂x j
+ RTq s
(9)
4cλ k g = k g∞ 1 + r
Abstract：Under the depth of about one kilometer in the deep mining，the pressure of the coal-bed is considerably high and the permeability of the coal-bed is comparatively low， in which the porous media is regarded to be highly compacted. Considering the percolation in this pre-pressing porous media， the slippage effects are remarkable. The model of coal-bed methane percolation equation under high pressure condition，which considers the slippage effects of coal-bed methane，is proposed；and finite element method(FEM) is employed to calculate the numerical value of mathematic model. The pressure gradient calculated by FEM，which is influenced by slippage effects under high pressure condition，is compared with that of mathematic model. The foundation of mathematics model for coal-bed methane slippage is established to study the nonlinear percolation problems of coal-bed methane. The simulated results can provide significant references to the evaluation of the output of the coal-bed methane with low permeability under high pressure condition. Key words：mining engineering；slippage effects；percolation flow equation；porous media；stratum pressure 且 1 cm2 = 9.81×1010 mD)的大约占 70%，大于１毫
p ( x，y，t ) t =0 = p 0 ( x，y )
(10)
b k g = k g∞ (2) 1 + p m 式中： p m = ( pi + p 0 ) / 2 ， p i 和 p0 分别为进口和出
在 t = 0 时刻， 给定 Ω1 域的初值为 p 0 ( x，y ) ， 在
数值模拟中为给定的一常数。 边界条件为
・2968・
岩石力学与工程学报
2005 年
kg
∂p = f ( x，t ) ∂n Γ1
(11)
式中： f (x，t) = ea ( p − eb ) ， ea 为系数，且 ea = 1.4 ，
eb = 8.0 MPa。 式(11)在边界 Γ 1 上给出对流边界条件。式(7)在 补充了式(10)，(11)后，就建立了考虑滑脱效应的煤 层气渗流的数学模型。
作者简介：肖晓春(1979–)，男，2005 年于辽宁工程技术大学固体力学专业获硕士学位，现为博士研究生，主要从事煤层瓦斯渗流理论方面的研究工 作。E-mail：xxc7902@163.com。
第 24 卷
第 16 期
肖晓春等. 考虑滑脱效应的煤层气渗流数学模型及数值模拟
• 2967 •
对于滑脱效应的研究，文[2]通过试验的方法给出了 渗透率和滑脱因子的变化规律，发现了渗透率越小， 滑脱因子越大，滑脱现象愈显著的现象。文[3]建立 了低渗透气藏的数学模型并提出了一种数值求解的 方法；最近几年，文[4]通过理论计算和试验研究得 出了渗流气体滑脱现象和渗透率的变化关系；文[5] 建立了考虑滑脱效应的低渗、特低渗气藏模型，认 为滑脱现象与压力、渗透率等有关；文[6]通过大量 试验研究，确定了低渗透情况下非达西渗流临界条 件的方法。上述是考虑滑脱效应的气体渗流理论、 试验以及数值算法方面的研究进展。这些研究多是 针对于赋存于岩石中的天然气藏，而对赋存在煤岩 中的煤层气资源研究很少，且多是在地层压力较低 条件下进行的，没有考虑深部气藏高地层压力情况 下滑脱效应对煤层气渗流规律和煤层气井产量的影 响。因此，本文建立了高地层压力低渗透率条件下 考虑滑脱效应的煤层气渗流数学模型，并利用有 限元数值方法分析了考虑滑脱效应的煤层气渗流 规律和滑脱效应对煤层气井产量的影响，这对于煤 层气渗流的理论研究和实际开采都具有重要的意 义。
MATHEMATICAL MODEL AND NUMERICAL SIMULATION OF COAL-BED METHANE PERCOLATION FLOW EQUATION CONSIDERING SLIPPAGE EFFECTS
XIAO Xiao-chun，PAN Yi-shan
(Department of Mechanics and Engineering Sciences，Liaoning Technical University，Fuxin 123000，China)
(1)
式中：φ 为煤层孔隙度， µ g 为气体粘度， qs 为内部 源项。 3.3 考虑滑脱效应的煤层气渗流数学模型 补充如下特定问题的初值条件和边界条件。在 千米深度下取一截面为 Ω1 的研究范围，给出初值条 件：
式中：k g 为平均压力 p m 下气体渗透率，k g∞ 为气体 克氏渗透率， c 为比例因子， λ 为气体分子平均自 由程， r 为孔隙的平均半径。 根据 KlinKenberg L J 试验，气体分子平均自由 度与平均压力 p m 成反比，则式(1)可变为
z ( p) = 1 。 (2) 假设煤层的孔隙度 φ 为压力 p 的函数，即
φ = φ ( p)
3.2 考虑滑脱效应的煤层气渗流微分方程 考虑滑脱效应时，煤层气渗流运动方程为
vi = − k g∞ b gradp 1+ pm µg
(5)
(6)
2
气体渗流的滑脱机制
对于气体渗流，在低密度状态下，达西定律已
图1 煤层气数值模拟几何模型
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考虑滑脱效应的煤层气渗流数学模 型及数值模拟
对于上述建立的数学模型采用有限元方法进行
Fig.1
Geometry model for numerical simulation of coal-bed methane
数值模拟。对于考虑了滑脱流( b ≠ 0 )的数学模型按 照非线性动态问题进行模拟。对于达西流的数学模 ( b = 0 )的数学模型采用线性动态问题进行模拟。基 于虚位移原理(即弱形式)弱化微分方程表达式。 对式(11)，其边界条件(对流边界)为
口压力；b 为滑脱因子，其定义为 4c b = λpm r 当 b = 0 时，就是达西流。
(3)
3
考虑滑脱效应的煤层气渗流数学模 型
3.1 基本假设 (1) 假设煤层气符合下述状态方程： p ρ= RTz ( p )
(4)
式中：p 为气体压力；R 为煤层气气体常数；T 为多 孔 介 质内 部温 度 ； z ( p) 为 气体 的 压缩 因子 ， 且
∫
Leabharlann Baidu
Γ1
ea pδ pdΓ 1 = ∫ qsδ pdΩ1 + ∫ ea ebδ pdΓ 1
Ω1 Γ1
(13)
4.2 不同渗透率情况下煤层气滑脱流模型和达西 流模型压力分布
式中： δ p 为压力的微小变分； µ g 为参数，且 µ g = 0.01 mPa・s； k g∞ 取表 1 中的 3 个等级范围；其他 参数意义和式(9)，(11)中的参数相同。