证明应力张量对称
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1. 证明应力张量是对称张量 ij ji 。 解：即证明 xi 轴方向面元的应力在x j 轴方向的分量等于x j 轴方向面元的
应力在 xi 轴方向的分量。 取连续弹性介质内任意一块，其体积为 V，对 V 内介质 作用的外力矩为体力 f 的力矩的体积分和 V 表面 S 上的
ˆ 的力矩在 S 上的面积分，而动量矩为 a 在 V 应力 n
v
kj xk
) ijl dV
Байду номын сангаас
由此可得
V
ijl xi (
由连续介质的运动微分方程可知上式中第一项为零， 且由于 V 为任取， 所以有 ijl ij 0 。 该式的等号左边只有 i j 的项不等于零，展开便得 ij ji 。
内的体积分，由动量矩定理得：
(n) r adV r T dS r f dV S V
x3
V
在笛卡尔坐标系中可写为：
x1
x2
V
ijl i
x a j dV ijl xi nk kj dS ijl xi f j dV
S V
由高斯定理
S
ijl i k
x n kj dS
V
kj ( xi kj ijl )dV ( ik kj xi ) ijl dV xk x k V kj xk f j a j )dV ijl ij dV 0
V
( ij xi
应力在 xi 轴方向的分量。 取连续弹性介质内任意一块，其体积为 V，对 V 内介质 作用的外力矩为体力 f 的力矩的体积分和 V 表面 S 上的
ˆ 的力矩在 S 上的面积分，而动量矩为 a 在 V 应力 n
v
kj xk
) ijl dV
Байду номын сангаас
由此可得
V
ijl xi (
由连续介质的运动微分方程可知上式中第一项为零， 且由于 V 为任取， 所以有 ijl ij 0 。 该式的等号左边只有 i j 的项不等于零，展开便得 ij ji 。
内的体积分，由动量矩定理得：
(n) r adV r T dS r f dV S V
x3
V
在笛卡尔坐标系中可写为：
x1
x2
V
ijl i
x a j dV ijl xi nk kj dS ijl xi f j dV
S V
由高斯定理
S
ijl i k
x n kj dS
V
kj ( xi kj ijl )dV ( ik kj xi ) ijl dV xk x k V kj xk f j a j )dV ijl ij dV 0
V
( ij xi