非正态总体参数假设检验
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2
(1)总 体 方 差 已 知 ： 检验统计量U X 0
0 /
n
~ N (0,1) 在 H 0 成 立 的 条 件 下 ） （
X 0 给 定 显 著 水 平 ， 拒 绝 域 为 u 1 0 / n 2 ( 2 )总 体 方 差 未 知 ： 检验统计量T X 0 S/ n
1 0 第 二 类 错 误 的 概 率 P {U | H 1 } 0 / n 越 大 ,因 而 在 样 本 容 量 一 定 的 情 况 下 ,我 们 不 可 能 同 时 使 犯 两 类 错 误 的 概 率 都 达 到 最 小 .一 般 采 取 控 制 第 一 类 错 误 的 概 率 在 某 一 显 著 水 平 内 ,对 于 固 定 的 n, 使 第 二 类 错 误 尽 可 能 小 ,并 且 以 此 建 立 评 价 检 验 是 否 最 优 的 标 准 .
1 1 .6 4 5
U 0 .5 1 .6 4 5, 则 接 受 原 假 设 ， 即 认 为 1 对于以上两种提法，在同一显著性水平下，作出了截然 不同的判断。这种矛盾现象可以解释为试验结果既不否定
0 也 不 否 定 1， 那 么 应 认 为 0 还 是 1, 则 要 看
对 于 第 (1)中 提 法 ， 检 验 统 计 量 U 检 验 的 拒 绝 域 为 {U u 1 } , u 1 u 0 .9 5
0 .5 0
0 .5
来自百度文库
1 1 .6 4 5 0 .5 1
而 U 0 .5 1 .6 4 5, 则 接 受 原 假 设 ， 即 认 为 0 对 于 第 (2)中 提 法 ， 检 验 统 计 量 U 检 验 的 拒 绝 域 为 {U u } , u u 0 .0 5 0 .5
注： 1、检验水平和势函数之间的关系。
P { X W } , 当 0时 。
检验水平 实质上度量了小概率事件发生概率小的程度。 2、由势函数定义可知：当
当 0时 ， 势 函 数 就 是 犯 第 一 类 错 误 的 概 率 。
3、由前面例子的分析我们知道，在样本容量固定的情形下， 难以给出一个检验方法使得犯两类错误的概率都很小，所 以我们可以寻求增大样本容量的方法。但是样本容量不可 能无限制地增大，所以采取将第一类错误的概率控制在一 定的水平(检验水平)内，使犯第二类错误的概率尽可能小。
（四）检验的实际意义和两类错误
在假设检验中，显著性水平α起什么作用，有何实际意义？ 给定显著性水平，检验方法是否唯一？又是不是最优的？最 优准则是什么？
• 检验的实际意义
1、检验的原理：小概率事件在一次试验中不可能发生，如 果发生了，则拒绝原假设H0,否则接受原假设。
这个原理只是在概率意义下成立，并不是严格成立，即不能
n
X i ~ b ( n , p ), 但 是 二 项 分 布 的 分 位 数 不 易 计 算 ， 我 们
i 1
采用大样本方法
检验统计量为U 检验的拒绝域为
X p0 p 0 (1 p 0 ) / n X p0 p 0 (1 p 0 ) / n
， U ~ N (0,1)
• 指数总体均值的检验
ex , x 0 设 X ~ E ( ), 密 度 函 数 f ( x ) x0 0,
n x 1 1 x2 e 2,x 0 n n 2 ( n )分 布 的 密 度 函 数 f ( x ) 2 2 2 0, x0
我们可以把两类错误的概率用一个函数表示，这个函数称为 检验的势函数。 定义： 设 W 为 H 0 (
0 )的 拒 绝 域 ， 称 由 下 面 式 子 定 义 的 函 数 为 拒绝域为W的检验的势函数。 ( ), 0 g ( ) P ( X W ) c 1 ( ), 0
~ N (0,1) 在 H 0 成 立 的 条 件 下 ） （
X 0 给 定 显 著 水 平 ， 拒 绝 域 为 u 1 S/ n 2
注：(1) 如果是正态总体，则 X 0
S / n
～ t ( n 1)
(2)如果是单侧检验，即备择假设为 H 1 : 0 或 者 0 在方差已知的情形下，相应的拒绝域为
‘保护’谁，所以原假设的提法至关重要。
在假设检验中，原假设是受保护的，受保护的程度取决于显 著性水平α， α越小，以α为概率的小概率事件就越难发 生，则原假设H0就越难被拒绝，所以在应用中，要用假设检 验说明某个结论，则一般设H0为该结论不成立，即把该结论 作为备择假设。如果检验作出的判断拒绝原假设H0，则认为 某个结论显著成立。这种方法类似于数学证明中的反证法， 但是两者不同，假设检验是在概率意义下作出判断，而反证 法则是在确定意义下作出判断。
设 检 验 水 平 ＝ 0 .0 5, 1 0 0 .5 , 要 使 犯 第 二 类 错 误 的 概 率 0 .1， 样 本 容 量 n 应 取 多 大 ？
1 0 解 ： u1 , u 0 .9 5 1 .6 4 5, 0 / n 由 题 意 ： 要 使 1 .6 4 5 0 .5 n 0 .1, 则 1 .6 4 5 0 .5 n 1 .2 8, 解 得 n 3 4 .2 2, 所 以 样 本 容 量 应 取 35。
例：
设 总 体 X ~ N ( ,1), 样 本 均 值 X 0 .5, 样 本 容 量 n 1, 显 著 性 水 平 ＝ 0 .0 5, 检 验 0 还 是 1 两 种 提 出 假 设 的 方 法 ： ( 1 ) H 0 : 0， H 1 : 1 ( 2 ) H 0 : 1， H 1 : 0
u
1
2
2、普阿松分布总体的均值检验
设 X ~ P ( ), 检 验 H 0 : 0 E(X ) V (X ) ,所以可取统计量为 U X 0 ,也 可 取 U X 0 X /n
0 / n
这 两 个 统 计 量 在 假 设 H 0下 都 近 似 服 从 标 准 正 态 分 布 。 相 应 的 拒 绝 域 为 | U | u 1 2
• 检验中的两类错误
第一类错误是实际上H0成立而作出的判断是拒绝原假设，这 类错误也称为 “拒真”；第二类错误是实际上H0不成立而作 出的判断是接受原假设，这类错误也称为 “受伪”
我们关注的是犯两类错误的概率。 犯第一类错误的概率
P {T B | H 0 } P { ( X 1 , X 2 , , X n ) W | H 0 }
(三) 非正态总体参数的假设检验
对于非正态总体，抽样分布不容易求得，而且分位数难以查 到，因此一般我们采用大样本方法，主要是利用中心极限定 理，对于指数分布的总体除外。 • 非正态总体均值检验的大样本方法
设 X 1 , X 2 , X n是 总 体 X 的 样 本 总体均值为E(X ) , 方差V (X ) 检 验 假 设 ： H 0 : 0， H 1 : 0 X 由中心极限定理可知： ~ N (0,1) / n 在 总 体 方 差 已 知 和 未 知 两 种 情 形 下 检 验 假 设 H 0 : 0
犯第二类错误的概率
P {T B | H 1 } P { ( X 1 , X 2 , X n ) W | H 0 }
注：这里的T是检验统计量。 由前面拒绝域的构造可知犯第一类错误的概率和显著性水平 α之间关系满足下面不等式： P {T B | H 0 } P { ( X 1 , X 2 , , X n ) W | H 0 } 以下通过一个例子说明这犯两类错误概率之间的关系。 例： 设 总 体 X ~ N ( , 2 ), 2已 知 ， X , X , X 为 样 本 ， 0 0 1 2 n
0 /
所 以 P {U u 1
1 0 | H 1 } u1 0 / n
由此可见，在样本容量固定的情况下，要同时是的 两类错误的概率都很小很难实现，因为要使第一类 错 误 很 小 ， 则 检 验 的 否 定 域 应 取 为 {U }， 是 大 于 u 1 的 数 , 这 样 才 能 保 证 P {U | H 0 } , 而 越 大 , 则
说小概率事件在一次试验中绝对不可能发生，所以在假设检 验作出拒绝原假设或者接受原假设的判断可能会产生错误。
2、在假设检验中，原假设H0和备择(备选)假设的地位不对等。 一般显著性水平α较小，所以作出的判断是‘偏向’原假设 的。因为要否定原假设，需要有显著性的事实，即小概率事 件发生，否则接受原假设。在检验中接受原假设，并不等于 从逻辑上证明了原假设成立，而是找不到原假设不成立的有 力证据。
考 虑 检 验 H 0 : 0 , H 1 : 1 0的 两 类 错 误 的 概 率 。
解： 检 验 的 否 定 域 为 {U u }， 其 中 U X 0 1
0 /
n
则 犯 第 一 类 错 误 的 概 率 为 P {U u 1 | H 0 } 犯 第 二 类 错 误 的 概 率 为 P {U u 1 | H 1 } 在 H 1成 立 的 条 件 下 ， U X 0 1 0 ～N ,1 / n n 0
2 X ~ ( 2 )， X 1 , X 2 , X n 是 样 本 ， 则 有
2
2 X i 2 n X ~ (2 n )
2 i 1
n
则检验统计量为
2
2 n 0 X ~ ( 2 n )( 在 假 设 H 0 成 立 下 )
2
2 2 所 以 检 验 的 拒 绝 域 为 2 n0 X 2 n0 X 1 2 2
当 0时 ， 1 - g ( ) ( ) 是 犯 第 二 类 错 误 的 概 率 。
c
样本容量的确定： 在前面的例子种，所给定的检验犯第二类错误的概率为
P {U u 1 1 0 | H 1 } u1 0 / n
X 0 u 1 0 / n 或者 X 0 u 0 / n
方差未知情形的拒绝域将方差已知时的总体标准差更换为样 本标准差即可。 1、0－1分布总体均值检验
总 体 X ~ b (1, p )( 或 者 B (1, p )), 即 P { X 1} p , P { X 0} 1 p , 0 p 1 检 验 假 设 H 0 : p p0 , H 1 : p p0 总 体 均 值 E ( X ) p , 方 差 V ( X ) p (1 p )
(1)总 体 方 差 已 知 ： 检验统计量U X 0
0 /
n
~ N (0,1) 在 H 0 成 立 的 条 件 下 ） （
X 0 给 定 显 著 水 平 ， 拒 绝 域 为 u 1 0 / n 2 ( 2 )总 体 方 差 未 知 ： 检验统计量T X 0 S/ n
1 0 第 二 类 错 误 的 概 率 P {U | H 1 } 0 / n 越 大 ,因 而 在 样 本 容 量 一 定 的 情 况 下 ,我 们 不 可 能 同 时 使 犯 两 类 错 误 的 概 率 都 达 到 最 小 .一 般 采 取 控 制 第 一 类 错 误 的 概 率 在 某 一 显 著 水 平 内 ,对 于 固 定 的 n, 使 第 二 类 错 误 尽 可 能 小 ,并 且 以 此 建 立 评 价 检 验 是 否 最 优 的 标 准 .
1 1 .6 4 5
U 0 .5 1 .6 4 5, 则 接 受 原 假 设 ， 即 认 为 1 对于以上两种提法，在同一显著性水平下，作出了截然 不同的判断。这种矛盾现象可以解释为试验结果既不否定
0 也 不 否 定 1， 那 么 应 认 为 0 还 是 1, 则 要 看
对 于 第 (1)中 提 法 ， 检 验 统 计 量 U 检 验 的 拒 绝 域 为 {U u 1 } , u 1 u 0 .9 5
0 .5 0
0 .5
来自百度文库
1 1 .6 4 5 0 .5 1
而 U 0 .5 1 .6 4 5, 则 接 受 原 假 设 ， 即 认 为 0 对 于 第 (2)中 提 法 ， 检 验 统 计 量 U 检 验 的 拒 绝 域 为 {U u } , u u 0 .0 5 0 .5
注： 1、检验水平和势函数之间的关系。
P { X W } , 当 0时 。
检验水平 实质上度量了小概率事件发生概率小的程度。 2、由势函数定义可知：当
当 0时 ， 势 函 数 就 是 犯 第 一 类 错 误 的 概 率 。
3、由前面例子的分析我们知道，在样本容量固定的情形下， 难以给出一个检验方法使得犯两类错误的概率都很小，所 以我们可以寻求增大样本容量的方法。但是样本容量不可 能无限制地增大，所以采取将第一类错误的概率控制在一 定的水平(检验水平)内，使犯第二类错误的概率尽可能小。
（四）检验的实际意义和两类错误
在假设检验中，显著性水平α起什么作用，有何实际意义？ 给定显著性水平，检验方法是否唯一？又是不是最优的？最 优准则是什么？
• 检验的实际意义
1、检验的原理：小概率事件在一次试验中不可能发生，如 果发生了，则拒绝原假设H0,否则接受原假设。
这个原理只是在概率意义下成立，并不是严格成立，即不能
n
X i ~ b ( n , p ), 但 是 二 项 分 布 的 分 位 数 不 易 计 算 ， 我 们
i 1
采用大样本方法
检验统计量为U 检验的拒绝域为
X p0 p 0 (1 p 0 ) / n X p0 p 0 (1 p 0 ) / n
， U ~ N (0,1)
• 指数总体均值的检验
ex , x 0 设 X ~ E ( ), 密 度 函 数 f ( x ) x0 0,
n x 1 1 x2 e 2,x 0 n n 2 ( n )分 布 的 密 度 函 数 f ( x ) 2 2 2 0, x0
我们可以把两类错误的概率用一个函数表示，这个函数称为 检验的势函数。 定义： 设 W 为 H 0 (
0 )的 拒 绝 域 ， 称 由 下 面 式 子 定 义 的 函 数 为 拒绝域为W的检验的势函数。 ( ), 0 g ( ) P ( X W ) c 1 ( ), 0
~ N (0,1) 在 H 0 成 立 的 条 件 下 ） （
X 0 给 定 显 著 水 平 ， 拒 绝 域 为 u 1 S/ n 2
注：(1) 如果是正态总体，则 X 0
S / n
～ t ( n 1)
(2)如果是单侧检验，即备择假设为 H 1 : 0 或 者 0 在方差已知的情形下，相应的拒绝域为
‘保护’谁，所以原假设的提法至关重要。
在假设检验中，原假设是受保护的，受保护的程度取决于显 著性水平α， α越小，以α为概率的小概率事件就越难发 生，则原假设H0就越难被拒绝，所以在应用中，要用假设检 验说明某个结论，则一般设H0为该结论不成立，即把该结论 作为备择假设。如果检验作出的判断拒绝原假设H0，则认为 某个结论显著成立。这种方法类似于数学证明中的反证法， 但是两者不同，假设检验是在概率意义下作出判断，而反证 法则是在确定意义下作出判断。
设 检 验 水 平 ＝ 0 .0 5, 1 0 0 .5 , 要 使 犯 第 二 类 错 误 的 概 率 0 .1， 样 本 容 量 n 应 取 多 大 ？
1 0 解 ： u1 , u 0 .9 5 1 .6 4 5, 0 / n 由 题 意 ： 要 使 1 .6 4 5 0 .5 n 0 .1, 则 1 .6 4 5 0 .5 n 1 .2 8, 解 得 n 3 4 .2 2, 所 以 样 本 容 量 应 取 35。
例：
设 总 体 X ~ N ( ,1), 样 本 均 值 X 0 .5, 样 本 容 量 n 1, 显 著 性 水 平 ＝ 0 .0 5, 检 验 0 还 是 1 两 种 提 出 假 设 的 方 法 ： ( 1 ) H 0 : 0， H 1 : 1 ( 2 ) H 0 : 1， H 1 : 0
u
1
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2、普阿松分布总体的均值检验
设 X ~ P ( ), 检 验 H 0 : 0 E(X ) V (X ) ,所以可取统计量为 U X 0 ,也 可 取 U X 0 X /n
0 / n
这 两 个 统 计 量 在 假 设 H 0下 都 近 似 服 从 标 准 正 态 分 布 。 相 应 的 拒 绝 域 为 | U | u 1 2
• 检验中的两类错误
第一类错误是实际上H0成立而作出的判断是拒绝原假设，这 类错误也称为 “拒真”；第二类错误是实际上H0不成立而作 出的判断是接受原假设，这类错误也称为 “受伪”
我们关注的是犯两类错误的概率。 犯第一类错误的概率
P {T B | H 0 } P { ( X 1 , X 2 , , X n ) W | H 0 }
(三) 非正态总体参数的假设检验
对于非正态总体，抽样分布不容易求得，而且分位数难以查 到，因此一般我们采用大样本方法，主要是利用中心极限定 理，对于指数分布的总体除外。 • 非正态总体均值检验的大样本方法
设 X 1 , X 2 , X n是 总 体 X 的 样 本 总体均值为E(X ) , 方差V (X ) 检 验 假 设 ： H 0 : 0， H 1 : 0 X 由中心极限定理可知： ~ N (0,1) / n 在 总 体 方 差 已 知 和 未 知 两 种 情 形 下 检 验 假 设 H 0 : 0
犯第二类错误的概率
P {T B | H 1 } P { ( X 1 , X 2 , X n ) W | H 0 }
注：这里的T是检验统计量。 由前面拒绝域的构造可知犯第一类错误的概率和显著性水平 α之间关系满足下面不等式： P {T B | H 0 } P { ( X 1 , X 2 , , X n ) W | H 0 } 以下通过一个例子说明这犯两类错误概率之间的关系。 例： 设 总 体 X ~ N ( , 2 ), 2已 知 ， X , X , X 为 样 本 ， 0 0 1 2 n
0 /
所 以 P {U u 1
1 0 | H 1 } u1 0 / n
由此可见，在样本容量固定的情况下，要同时是的 两类错误的概率都很小很难实现，因为要使第一类 错 误 很 小 ， 则 检 验 的 否 定 域 应 取 为 {U }， 是 大 于 u 1 的 数 , 这 样 才 能 保 证 P {U | H 0 } , 而 越 大 , 则
说小概率事件在一次试验中绝对不可能发生，所以在假设检 验作出拒绝原假设或者接受原假设的判断可能会产生错误。
2、在假设检验中，原假设H0和备择(备选)假设的地位不对等。 一般显著性水平α较小，所以作出的判断是‘偏向’原假设 的。因为要否定原假设，需要有显著性的事实，即小概率事 件发生，否则接受原假设。在检验中接受原假设，并不等于 从逻辑上证明了原假设成立，而是找不到原假设不成立的有 力证据。
考 虑 检 验 H 0 : 0 , H 1 : 1 0的 两 类 错 误 的 概 率 。
解： 检 验 的 否 定 域 为 {U u }， 其 中 U X 0 1
0 /
n
则 犯 第 一 类 错 误 的 概 率 为 P {U u 1 | H 0 } 犯 第 二 类 错 误 的 概 率 为 P {U u 1 | H 1 } 在 H 1成 立 的 条 件 下 ， U X 0 1 0 ～N ,1 / n n 0
2 X ~ ( 2 )， X 1 , X 2 , X n 是 样 本 ， 则 有
2
2 X i 2 n X ~ (2 n )
2 i 1
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则检验统计量为
2
2 n 0 X ~ ( 2 n )( 在 假 设 H 0 成 立 下 )
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2 2 所 以 检 验 的 拒 绝 域 为 2 n0 X 2 n0 X 1 2 2
当 0时 ， 1 - g ( ) ( ) 是 犯 第 二 类 错 误 的 概 率 。
c
样本容量的确定： 在前面的例子种，所给定的检验犯第二类错误的概率为
P {U u 1 1 0 | H 1 } u1 0 / n
X 0 u 1 0 / n 或者 X 0 u 0 / n
方差未知情形的拒绝域将方差已知时的总体标准差更换为样 本标准差即可。 1、0－1分布总体均值检验
总 体 X ~ b (1, p )( 或 者 B (1, p )), 即 P { X 1} p , P { X 0} 1 p , 0 p 1 检 验 假 设 H 0 : p p0 , H 1 : p p0 总 体 均 值 E ( X ) p , 方 差 V ( X ) p (1 p )