图像频域变换

u , v = 0,1,..., N - 1 19）
1 N -1 f ( x, y) exp[- j 2pvy / N ] F ( x, v) = N y =0
1 N -1 F ( x , v ) exp[ - j 2pux / N ] F (u , v ) = N x =0
18)
y
v
v
x
灰度图像
频谱图像
灰度变化剧烈程度小,对 低频 应图像中平坦的区域。变 换越平缓，能量越小，则 在频谱图像中显示黑色 灰度变化剧烈程度小，对 高频 应图像的边缘或噪声。变 换月剧烈能量就越大，则 在频谱图像中显示白色
频谱图像
• 从能量与频率两部分来看： • 1、变换之后的图像四角是低频，最亮，平移之后 中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量 大（幅值比较大）
被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为
F(u)=
1 N
f ( x )e
x =0
N -1
- j 2pux / N
式中u=0，1，2，…，N﹣1。反变换为
j 2pux / N F ( u ) e f(x)= x =0 N -1
式中x=0，1，2，…，N-1。
• 傅立叶变换F(u)通 常是复函数。F(u)的实 部、虚部、振幅、能量 和相位分别表示如下：
假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一 个序列{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}，如图所示。
将序列表示成 f(x)=f(x0+x△x) () 即用序列{f(0)，f(1)，f(2)，…，f(N-1)}代替{f(x0)，f(x0+△x)，… ，f[x0+(N-1)△x]}。
-
p ( ux + vy )
dudv
二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为
|F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2 (u，v)]1/2
φ(u，v)=tan-1 [I(u，v)／R(u，v)] E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v) 13)
(11)
(12)
3 离散函数的傅立叶变换 1.一维离散函数的傅立叶变换
傅立叶变换的性质
1.分离性
例如式(14)可分成下面两式:
1 F u, v ) = M
M -1
1 N -1 vy ux ( f x, y ) exp- j 2p ( )) exp[- j 2p ( )] N M x =0 N y =0
v = 0， 1， ...，N - 1
F(u)=
=Af(x)
-1
2.二维离散函数的傅立叶变换(图像的傅立叶变换) 数字图像是二维离散函数，在二维离散的情况下，傅立 叶变换对表示为
M -1 N -1
F(u，v)=
1 MN
f ( x, y)e
x =0 y =0
- j 2p ( ux / M + vy / N )
(14)
式中u=0，1，2，…，M-1；v=0，1，2，…，N-1。
2. 二维连续函数的傅立叶变换 傅立叶变换很容易推广到二维的情况。图像是二维的， 如果f(x，y)是连续和可积的，且F(u，v)是可积的，则二维 傅立叶变换对为
F (u, v) = f ( x, y )e
-

- j 2p ( ux + vy )
dxdy
9) 10)
f ( x, y ) = F (u, v)e j 2
1 4
x =0
- j 3πx / 2 =1 [1 f ( x)e 4
3
在N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为
1 1 1 1 1 1 - j - 1 j 0 1 4 1 - 1 1 - 1 1 1 j - 1 - j 0
y j 1 -j x
3．周期性和共轭对称性 若离散的傅立叶变换和它的反变换周期为N，则有 F(u，v)=F(u+N，v)=F(u，v+N)=F(u+N，v+N) （16) 傅立叶变换存在共轭对称性 F(u，v)=F*(-u，-v) (17) 这种周期性和共轭对称性对图像的频谱分析和显示带来 很大益处。
4.旋转性质 平面直角坐标改写成极坐标形式：
-1
例如：对一维信号f(x)=[1 0 1 由 N -1
0]进行傅立叶变换。
- j 2pux / N
F (u ) =
1 N
x =0
f ( x )e
得 u=0时，
f (0) f (1) 3 3 - 2πx0 / 4 1 1 = 1/ 2 F (0) = 1 f ( x ) e = f ( x ) = [1 1 1 1] 4 4 4 f (2) x =0 x =0 ( f ( 3 )
F (u ) = [ R 2 (u ) + I 2 (u )]
2
1 2

3)
4)
5)

能量 E(u) = F(u) = R2 (u) + I 2 (u)
相位
6)
7)
f (u) = tan-1[ I (u) ]
R(u)
e
- j 2pux
= cos 2pux - j sin 2pux
8)
傅立叶变换中出现的变量u 通常称为频率变量。
• 傅立叶频谱的获得：S = abs(F); • 将变换的原点移到中心：Fc = fftshift(F); • 颠倒居中：F = ifftshift(Fc); [即：将最初位 于矩形中心的函数转换为中心位于左上角 的函数] • 傅里叶逆变换：f = real(ifft2(F));
• imshow(I,n) 显示灰度级为n的图像，n缺省为256。 • imshow(I,[low,high]) 以灰度范围[low,high]显示图像，如果不知道 灰度范围，可以用imshow(I,[])显示。
图像频域变换
图像变换
• 图像可以看作是一个矩阵，所谓图像变换， 就是通过变换矩阵，将图像矩阵变换成另 一个矩阵。变换后的矩阵能得到某些图像 的信息。 • 图像变换必需满足一下三个条件： (1) 变换是可逆的 (2) 变换后能给图像的进一步运算带来方便 (3) 变换的算法简单，最好有快速算法
常用的图像变换方法
x
x
1-D离散傅 立叶变换
F u, v )
• 一个二维傅立叶变换可由连续两次一维傅 立叶变换来实现。 • 先沿f(x,y)列方向求一维离散傅立叶变换得 到F(x,v)，再对F(x,v)沿行的方向求一维离 散傅立叶变换得到F(u,v)
• 2 平移性 当空域中f(x,y)产生移动时，在频域中只发生相移， 傅立叶变换的幅值不变 当频域F(u,v)产生相移时，相应的f(x,y)在空域中也 只发生相移，而幅值不变 结论：如果将图像的频谱原点从起始点(0,0)移到图 像的中心点(N/2,N/2)，只要将f(x,y)乘上(-1)x+y进 行傅立叶变换即可 在数字图像处理中，为了清楚分析傅立叶变换情况， 常常需要将F(u,v)的原点移到NXN方阵的中心
1 R (u , v) = N 1 I (u ) = N

x =0 y =0
N -1 M -1
2 vy ux f ( x, y ) cos( 2 + N M )

x =0 y =0
N -1 M -1
2 vy ux f ( x, y ) sin( 2 + N M )
F (u ) = ( R 2 (u ) + I 2 (u )) E (u ) = ( R 2 (u ) + I 2 (u )) I (u ) (u ) = tan ( ) R (u )
显示图像傅立叶变换频谱
读取图像 图像矩阵格式转换
快速傅立叶变换到频域(或将零点移到中心)
求幅值，并对幅值做归一化处理
数据格式转换，显示频谱
傅立叶逆变换
获得傅立叶变换矩阵F
f=ifft2(F)
求f的实部或模
数据格式转换，显示图像
傅立叶变换的物理意义
• 傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率 域，其逆变换是将图像从频率域转换到空 间域。 • 傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分 布函数变换为图像的频率分布函数，傅立 叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为 灰度分布函数 • 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程 度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。
3
f (0) f (1) = 1/ 2 =1 [1 - 1 1 - 1] 4 f (2) ( f ( 3 )
f (0) f (1) =0 j - 1 - j ] f (2) ( f ( 3 )
u=3时,
F (3) =
傅立叶变换 离散余弦变换 沃尔什变换 小波变换 Hough变换 Radon变换
空间域变换域
傅立叶变换
• 傅立叶是法国科学家，生于1768年，因为 他的任何一个周期函数都可以通过正弦函 数组合而来理论而出名。 • 傅立叶变换将空间域与频率域联系起来， 一个空间域的序列通过傅立叶变换得到对 应的频域的序列。通过反变换亦能得到原 始的序列。
-1
• DFT:discrete Fourier transform • FFT:fast Fourier transform • 快速傅立叶变换 对图像的尺寸要求： M=2n N=2n
Y=fft2(X) Y=fft2(X,m,n)
Matlab提供的函数
• Matlab提供了傅立叶变换函数，格式为： Y = fft2(X) ：快速傅立叶变换函数 X:输入图像 Y：二维傅立叶变换矩阵， 输入图像X和输出图像Y大小相同。 Y = ifft2(X)：快速傅立叶逆变换函数 X:输入图像 Y：二维傅立叶变换矩阵， 输入图像X和输出图像Y大小相同。 举例
u=1时,
f (0) f (1) 3 - jππ / 2 1 =0 F (1) = 1 f ( x ) e = [ 1 j 1 j ] 4 4 f (2) x =0 ( f ( 3 )
u=2时,
F (2) =
1 4
x =0
- jππ f ( x)e
1 R(u ) = N
f ( x) cos(
x =0
N -1
2 ux N
)
1 I (u ) = N

x =0
N -1
ux f ( x) sin( 2 N )
F (u ) = ( R 2 (u ) + I 2 (u )) E (u ) = ( R 2 (u ) + I 2 (u )) I (u ) (u ) = t an ( ) R(u )
M -1 N -1
f(x，y)=
u =0 v =0
F (u , v )e
j 2p ( ux / M + vy / N )
(15)
式中 x=0，1，2，…，M-1；y=0，1，2，…，N-1。
一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，不 直接利用以上公式计算。现在都采用傅立叶变换快速算法， 这样可大大减少计算量。
x = r cos y = r sin
u = cos v = sin
做代换有：
f x, y ) f r, ) F , )
如果
对：
f x, y ) 被旋转 0 ,则 F u, v )被旋转同一角度。即有傅立叶变换
• 2、若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集 中分布在变换系数短阵的中心附近。若所用的二 维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图 像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。
• 如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图 像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都 不大，梯度相对较小），反之，如果频谱 图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖 锐的，边界分明且边界两边像素差异较大 的。
2)
式（1）和（2）称为傅立叶变换对。 f（x)是原函数； F(u)是f(x)的频谱函数
这里f(x)是实函数，它的傅立叶变换F(u)通常是复函 数。 F(u) 的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如 下：
实部
虚部
振幅
R(u) = - f (x) cos( 2pux)dx
I (u) = -- f (x) sin(2pux)dx
连续函数的傅立叶变换 1. 一维连续函数的傅立叶变换
令 f(x) 为实变量 x的连续函数， f(x) 的傅立叶变换用 F(u)表示，则定义式为
F (u ) =

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-
f ( x )e
- j 2 pux
dx
1)
若已知F(u)，则傅立叶反变换为
f ( x) =


-
F (u ) e
j 2 pux
du