不等式中的三角代换

适合高三年级

不等式中的三角代换

在解证不等式的问题中，若根据不等式的特点以及三角函数的有界性和三角函数基本关系式，巧用三角代换，能使问题大大简化，起到事半功倍的效果，下面试举几例说明。

例1．已知m 2+n 2＝2，x 2+y 2＝2，求证－6≤mx+ny ≤6。

解析：∵m 2+n 2＝2，x 2+y 2＝2

∴可设m ＝2αsin ，n ＝2αcos ，x ＝3sin β，y ＝3cos β

∴mx+ny ＝6αsin sin β+6αcos cos β＝6)cos(

βα- ∵－1≤)cos(

βα-≤1，∴－6≤6)cos(βα-≤6， 即－6≤mx+ny ≤6。

例2．已知a 2+b 2≤1，求证｜a 3b －ab 3｜≤4

1。 解析：∵a 2+b 2≤1，∴可设a ＝m αsin ，b ＝m αcos ，｜m ｜≤1

∴｜a 3b －ab 3｜＝｜ab ｜｜a 2－b 2｜

＝m 2｜αsin αcos ｜｜m 2（cos 2α－sin 2α）｜ ＝24m ｜α2sin α2cos ｜＝4

4

m ｜α4sin ｜≤41。 例3．若1≤x 2+y 2≤2，求证：2

1≤x 2－xy+y 2≤3。 解析：设x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，（1≤r ≤2，0≤θ＜2π)

∴x 2－xy+y 2＝r 2 cos 2θ－r cos θ r sin θ+ r 2sin 2θ＝r 2（1－

21 sin2θ） ∵21≤1－21 sin2θ≤23，1≤r 2≤2，∴21≤r 2（1－2

1 sin2θ）≤3， 即

2

1≤x 2－xy+y 2≤3。 例4．求证－1≤x+21x -≤2。

解：∵1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1，∴设x ＝cos θ，θ∈［0，π］ 则y ＝x+21x -＝cos θ+sin θ＝2sin （θ+4

π），

∵θ∈［0，π］，∴θ+

4π∈［4π，45π］，∴sin （θ+4π）∈［－22，1］， ∴2sin （θ+4

π）∈［－1，2］，∴－1≤x+21x -≤2。 例5．已知a ＞0，b ＞0，a+b ＝1，求证：（a+a 1）（b+b 1）≥4

25。 解析：∵a ＞0，b ＞0，a+b ＝1，∴可令a ＝sin 2α，b ＝cos 2α，α∈（0，2π） 于是有（a+a 1）（b+b 1）＝（sin 2α+α2sin 1）（cos 2α+α

2cos 1） ＝α

ααααα224444cos sin 1cos sin cos sin +++ ＝α

ααααααα222222244cos sin 1cos sin 2)cos (sin cos sin +-++ ＝ααα2sin 4322sin 82sin 224+-＝α

α2sin 416)42(sin 222+- ∵0＜sin 22α≤1，∴（sin 22α－4）2+16≥25，又α

2sin 412≥41 ∴α

α2sin 416)42(sin 222+-≥425，即（a+a 1）（b+b 1）≥425。 例6．设x ，y ∈R ，3x 2+2y 2＝6x ，求x 2+y 2的最值。

解析：将3x 2+2y 2＝6x 化为（x －1）2+23

2

y ＝1，这是一个椭圆方程，引入参数θ，令 x ＝1+ cos θ

y ＝2

3sin θ （ 0≤θ＜2π)，于是 x 2+y 2＝（1+ cos θ）2+（

23sin θ）2＝－29)2(cos 212+-θ ∵0≤θ＜2π，∴当θ＝0和π时，x 2+y 2有最小值0，最大值4。

例7．解不等式15+--x x ＞2

1 解：因为22)1()5(++-x x =6，

故可令 x -5 =6 sin θ，1+x ＝6 cos θ，θ∈［0，2π］ 则原不等式化为 6 sin θ－6 cos θ ＞2

1 所以6 sin θ ＞2

1+6 cos θ 由θ∈［0，2

π］知21+6 cos θ＞0， 将上式两边平方并整理，得

48 cos 2

θ+46 cos θ－23＜0 解得0≤cos θ＜24

6282- 所以x ＝6cos 2θ－1＜12

4724-，且x ≥－1， 故原不等式的解集是｛x|-1≤x ＜12

4724-} .