第六章 可压缩流体一元流动

注意：在流动过程中声速是变化的， a kRT
6.4.3 最大速度状态
温度降至绝对零度，气流速度达到最大值的极限状态
V A
dp
则
d
VdV dp
d


VdV a2
M 2
dV V
得压缩性气体流动连续性方程：
M 2 dV dV dA 0 VV A
或 dA (M 2 1) dV
A
V
▽ 讨论
在公式：
dA A
(M 2
1) dV V
中
① M<1,亚声速流动，A↓则V↑
② M>1,超声速流动，A↑则V↑
p

de dT

p
dv dT
p
C p CV R
CV


1
1
R，
C
p

R 1
因此，可得压缩气体作绝热流动时的能量方程：
p V 2 常数 1 2
可改写成：
1 p p V 2 常数
1 2
对于流动方向上的任意两截面，则有：
CV
T

p

V2 2
常数
此式表明，可压缩性气体流动与不可压缩流体流动的能量转换关系有显
著差别：
在不可压缩流动中，不考虑流体的温度变化；但在可压缩气体流动时，
当流速增大时，流体内能减少，引起温度相应地降低。
若速度增大很多，往往使气体温度降低到水的冰点以下。这种效应可用
于喷射式制冷装置。
6.3 压缩流体的连续性方程
与不可压缩气体流动 相反
原因是：气体密度减小（膨胀）d

M
2
dV V
③ M=1, 临界状态：流速达到声速时A为极小 值 （临界截面）
▽ 应用：收缩性喷嘴，流速最大可达声速。要想得到超声
速必须是缩放型喷管—拉瓦尔管。
“拉伐尔喷管”（Laval nozzle）
图 渐缩型喷管与渐缩渐扩型喷管
6.4 压缩性气流中各参数的变化规律 6.4.1 滞止参数（流体速度为零的热力学状态）

1
♦ 热力学基本公式
•
状态方程：p R0 T 或 p RT
M
•
热力学第一定律： dq

de

pdv

de

pd
1


（加入系统的能量=内能的增加+系统对外界所作的功）
等容比热：CV
dq dT V

de dT
等压比热：C p


dq dT
连续方程： VA const
或 d dV dA 0 V A
由
dp


d

V2 2


dp

VdV

0
（理想流体的欧拉运动方程）
1 VdV
dp
定义：声速 a
dp
d
kRT
马赫数 M V / a
d dV dA 0 1 VdV
在考虑气体的可压缩性后，其流动参数必然产生新的变化 （如沿程的速度变化、压力变化、密度变化、温度变化，等等）， 也会产生新的现象（如气体激波）。
热力学中从热力学原理出发完整地学习了等熵 流动
稳定流动体系能量方程 等熵过程关系式 理想气体状态方程
本章介绍从流体力学原理出发研究可压缩性一 元流动的一般方法
第六章
6.1 问题的提出
当气体流速很高，特别是接近或超过声速流动时，气体中各 状态参数的变化规律与不可压缩流体有显著区别，这时需要考虑气 体的可压缩性。
高压气体在管道特别是变截面管嘴中的流动仍然可简化成一 元流动，即流动的主要参数只与一个坐标方向有关（默认为 方 向）。其流动过程当然应遵从质量守恒和能量守恒关系。
p1 V12 p2 V22 , N m/kg 1 1 2 1 2 2
由理想气体热力学关系，得知：
1 p
1
1 RT
1

(C p
1 CV ) / CV
RT

CV RT R
CVT
U
式中：U为内能。
则，压缩气体作绝热流动时的能量方程可写成：
k
则：
pc 2 k1, 对空气k=1.4,则
p0 k 1
pc 0.528 p0 Tc 0.833 T0
ac 0.913
另外：Tc
2
, c
2
1
k1 , ac
2
1
2
a0
T0 k 1 0 k 2 a0 k 2
应用：高速流动中 温度的测定——滞止温度T0，而不是流体
温度T。故应修正：
k 1 1 V 2
T T0
k R2Biblioteka 例：对空气，T0=52℃，k=1.4，R=287J/kg，V=200m/s,
则 T=32.1℃,T-T0≈20℃ 可见必须予以修正
6.4.2 临界参数
V=a的状态参数（M=1） p pc , c ,T Tc ,c cc
dx dx
将上式积分，其中： udu V 2
A
2
而 dp / 取决于绝对压力与密度间的变化关系。
当高压气体流出时，可近似地按绝热膨胀过程（或等熵
膨胀过程）处理，即遵守：
p

C
其中 为绝热指数： C p / CV
代入后积分： dp C1/ p1/ dp p

2
p0

(1
k
1 M
k
) 2 k 1
p
2
气流速度加快、马赫数增大时，压强减低，气体膨胀。
气流速度超过声速越多，即马赫数越大，其温度、压力、密度及声速 都比滞止状态时减小得越多。在低流速范围， 其参数的变化也很小。由此 可见，马赫数M是衡量气流压缩性影响程度的指标。
对于空气，k=1.4，当M=0.3时，0 / 1.0456 密度的变化不足5％，因 此通常不考虑压缩性。
V=0的热力学状态参数：
p p0 , 0 ,T T0 ,c c0 kRT0
可由
k k 1
p

V2 2

k RT V 2
k 1
2

k k 1
p0
0

k
k 1

RT0
推出某些关系式：
T0 1 k 1 M 2
T
2
0

(1
k
1 M
1
) 2 k 1
伯努利方程 等熵关系式 连续性方程 状态方程
介绍长管流动的研究方法
6.2 压缩性气流的能量方程
对不可压缩流体，应用理想流体的欧拉运动方程式：
DV f p
Dt
对于定常态的一维流动，不计质量力，有：
p dp , u du x dx x dx
则上式简化成：
1 dp u du 0