三角恒等变换的常用技巧

三角恒等变换的常用方法

肖新勇

解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点，也是三角问题“难得高分”的根本所在。本文从六个方面解读三角恒等变换的常用技巧。

一、 角变换

角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。

例1 已知534cos =⎪⎭

⎫ ⎝⎛+πx ，4743ππ<

+x ，而“未知角”是x 和x 2，注意到4

4ππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛

+=x x ，可直接运用相关公式求出x sin 和x cos 。 【解析】因为ππ4743<

<+=⎪⎭⎫ ⎝⎛

+πx ，所以πππ2423<+

⎛+πx 10274sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=ππππππx x x x ， 从而102cos -=x ，7tan =x . 原式=75

28tan 1sin 2cos sin 22-=-+x x x x . 【点评】（1）若先计算出10

2cos -=x ，则在计算x sin 时，要注意符号的选取；（2）本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出x sin 和x cos . 但很繁琐，易出现计算错误。

二、名变换

名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式和万能置换公式，平方关系也能进行名变换。

例2 已知向量)1,tan 1(x a -=，)0,2cos 2sin 1(x x b ++=，求b a x f ⋅=)(的定义域和值域；

【分析】易知)2cos 2sin 1)(tan 1()(x x x x f ++-=，这是一个“切弦共存”且“单、倍

角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明。

【解析】)2cos 2sin 1)(tan 1()(x x x x f ++-=

()

1cos 2cos sin 21cos sin 12-++⎪⎭⎫ ⎝⎛

-=x x x x x ()()x x x x sin cos sin cos 2+-=

x 2cos 2=

由0cos ≠x 得，Z k k x ∈+≠,2π

π，22cos 2-≠x

所以，x x f 2cos 2)(=.的定义域是⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

∈+≠Z k k x x ,2ππ，值域是(]2,2-. 【点评】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解.

三、常数变换

在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子结构，运用相关公式求解，如 x x 22cos sin 1+=，︒=45tan 1，3tan 3π

=等.

例3 （1）求证: 2

3cos sin 1cos sin 14466=----x x x x ； （2）化简：x x 2cos 32sin +.

【分析】第（1）小题运用()322cos sin 1x x +=和()2

22cos sin 1x x +=把分子、分母都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的()ϕω+=x A y sin 的形式，有利于系统研究函数的图象与性质. 【解析】（1）左边=x

x x x x x x x 4422266322cos sin )cos (sin cos sin )cos (sin --+--+ 2

3cos sin 2)cos (sin cos sin 3222222=+=x x x x x x . （2）原式=x x 2cos 3tan 2sin π

+

x x 2cos 3cos 3sin

2sin ⋅+=ππ3

cos 3sin 2cos 3cos 2sin π

ππx x +=

⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 2πx 【点评】“1”的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，实际上是利用了x x 22cos sin 1+=把整式化成分式后进行的，又如例4中，也是利用了︒=45tan 1，把分

式变成了整式.

四、 边角互化

解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边，运用代数运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解.

例4 在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且2a sin A = (2b +c ) sin B + (2c +b ) sin C ，2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++

（1）求角A 的大小；

（2）若sin sin 1B C +=，证明ABC ∆是等腰三角形.

【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。

【解析】（1）（角化边）由正弦定理

C c B b A a sin sin sin ==得， c b c b c b a )2()2(22+++=，整理得，bc c b a ++=222， 所以212cos 222-=-+=bc a c b A ，因为π<

2π=A . （2）解法一 （边化角）由已知和正弦定理得，

C B C B C B A sin )sin sin 2(sin )sin sin 2(sin 22+++=

即C B C B A sin sin 2)sin (sin 2sin 222-+=，从而41sin sin =

C B ， 又sin sin 1B C +=，所以21sin sin =

=C B . 所以C B =，ABC ∆是等腰三角形.

解法二 由（1）知3π

=+C B ，B C -=3π

，代入sin sin 1B C +=得，

1sin 21cos 23sin =-+

B B B ，所以13sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+B π，23ππ=+B ， 所以6π

=B ，6π

=C ，ABC ∆是等腰三角形.

【点评】第（1）小题“化角为边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定理的结构，第（2）小题的解法一之所以“化边为角”，是因为不易把条件sin sin 1B C +=化为边的关系，而把条件2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++转化为边的关系却很容易；解法二的基本思路是消元后统一角，再利用“化一公式”简化方程.

五、 升降幂变换

当所给条件出现根式时，常用升幂公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常

用“降幂”技巧，常见的公式有：2

2cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛±=±x x x ，2cos 2cos 12x x =+，