高三数学各种不等式的解法

1 • x2 • (5 x2 ) 1
(x2)2 5x2 4 0
4
5 x 0 或 0 x 5
x2 1 或 x2 4
5x0 或 0x 5
x 2 或 1 x 1 或 x 2
∴ x ( 5,2) (1,0) (0,1) (2, 5)
数轴
(5 x2 )x2 0 等价吗？ 5 x2 0 且 x 0
a xy
(ax )y axy
你知道吗？
对数的性质： 对数的运算法则：
零和负数没有对数
log a 1 0
log a a 1
aloga N N
以上公式中,底数大于0,且 不为1,分母不为0.
loga M loga N loga MN
loga M
log a (N
loga N log a
例题3、①解不等式x（ x1）（ x 3）（ x1） 0
解：由数轴标根法（如图），得
+
-1
-
+
0
1
-3
+
-1＜x＜0 或 1＜x＜3
②
x2
x2 8x
x
1
5
2
x2 x2
1 7 x 3 0 8x15
0
1、移项变0； 2、变号。
x2 17x 30 x2 8x15
0
((xx135))((xx52))
整理得:
x2 x 6 0
解这个不等式得: x 3 x 2
原不等式的解集是 x 3 x 2
怎么解?
例2:解不等式
log1 (x2 3x 4) log1 (2x 10)
3
3
log
例2：
1 3
(x2
3x
4)
log
1 3
(2x
10)
解：原不等式等价于不等 式组
x2 3x 4 2x 10 x2 3x 4 0 2x 10 0
当 0 a 1 时，a f (x) ag(x)
f (x) g(x)
当 a 1 时， a f (x) ag(x)
f (x) g(x)
当 0 a 1 时，log a f (x) loga g(x)
f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x)
当 a 1 时， log a f (x) loga g(x)
f (x) g(x)
可同解变形为
g(x) 0 f (x) 0
或
g(x) 0
f (x) g 2 (x)
f (x) 0
按g(x)分类
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
你知道吗？
指数的性质：
指数的运算法则：
a0 1(a 0)
ax • ay axy
ax ay
解法1：原不等式可化为：
2x • 24 28 5 22 • 22x
化简得： 22 • 2x 26 5 • (2x )2
令 2x t (t 0)
得: 4t 64 5t 2
解得 t 4或 t 16 (舍去)
5
故 2x 4 22
得 x2
所以原不等式的解 集为：
x x 2
2x4 256 5 • 22x2
返回
例4:
log 1 (5
2
x2 ) log 2
1 x2
2
0
解：原不等式等价于：
log 1 (5
2
x2 ) log 1
2
x2
log 1
2
1 4
0
等价吗？
log
1 2
[(5
x2
)
•
x
2
•
1 4
]
log
1 2
1
(5 x2)x2 0 1 • x2 • (5 x2 ) 1
4
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(5 x2 )x2 0 等价吗？ 5 x2 0 且 x 0
f (x) 0 g(x) 0
f (x) g(x)
想一想，怎么解？
•例3：解不等式
23 • 2x1
28
8t 28 5t 2 (t 0)
5 • (2x1)2
解法2
2x4 256 5 • 22x2
24 • 2x
28
5 22 • 22x
4t 64 5t 2 (t 0)
解法1
2x4 256 5 • 22x2
n ) n • log a N
M N
log a
n
N
1 n
log a
N
1
logan N n loga N
请注意记忆
loga N logan N n n logan N
1 logan N n loga N
n的取值应使底数大于0，且不等于1； 真数大于0。
学习目标：
初级目标：掌握可化为 a f (x) ag(x) 及 可化为
敏于思，慎于行
不等式的解法二
分式、高次、指数、对数、含 参不等式的解法
分式不等式的解法：
例题2、①
解
不
等
式x： 2 x3
0
方
法
一
、
分
类
讨
论
：x{
2
0
或
x {
2
0
x30 x30
方法二、（x 2）（ x 3） 0
②解
不
等
式
：x x
2 3
0
③解不等式：x x
2 3
1
高次不等式的解法——根轴法
1、分解因式，保证x的系数为正； 2、求零点x； 3、在数轴上按从小到大标出每一个根； 4、画曲线（从右上角开始）； 5、写解集，数轴上方大于0，下方小于0， 数轴上的点使不等式等于0。
例4：①不等式(1 x )(1 x) 0的解集
②不等式x2 - x - 2 0的解集
指对数不等式： 化为同底、利用单调性
例 题 5 、 ① 2x2 5x5
1 2
②log1(x2 3x 4)log（1 2x10）
3
3
③求a2x 1 ax1 ax1
（a 0，且a 1）的解集。
含参不等式:
解之得
2x7 x 1 或 x 4 x 5
通过取交集，得原不等式的 解集为
x 2 x 1,或 4 x 7
数轴
log
例2：
1 3
(x2
3x
4)
log
1 3
(2x
10)
解：原不等式等价于不等 式组
x2 3x 4 2x 10 x2 3x 4 0
2x 10 0
2x7 x 1 或 x 4 x 5
log 1 (5
2
x2 ) log 2
1 x2
2
0
或
1 log 2 5 x2
log 1 x2
2
1
log 1
2
4
哪一种好?为什么？
log 1 1
2
公式
想一想，你能不能解出来？
例4:解不等式：
log 1 (5
2
x2 ) log 2
1 x2
2
0
loga N logan N n n logan N
怎么解?
• 例1:解不等式
2x2 2x3 ( 1 )3(x1) 2
或
2 ( 1 )(x2 2x3)
2
3( x1)
解不等式
2x2 2x3 ( 1 )3(x1) 2
解:原不等式可化为 2x2 2x3 23(x1) (1)
因为以2为底的指数函数单调递增,所以(1)式成立
当且仅当
x2 2x 3 3(x 1)
go go go
的单调性.(a>0,
go
f (x) g(x)
可同解变形为
f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x)
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
f (x) g(x)
可同解变形为
g(x) 0 f (x) 0 f (x) g 2 (x)
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
注意:真数大于0.及等价(同解)变形
思路:化无理为有理；化指数、对 数不等式为整式不等式（组）.
本节小结
综合有根式、指数、对数的不等式一般 是先化为
a f (x) ag(x)及 log a f (x) log a g(x) 然后求解
若有字母系数，先化为以上两种不等式， 然后再讨论。
思考题
1.解关于x的不等式 loga x 1 3 loga x
1 • x2 • (5 x2 ) 1
(x2)2 5x2 4 0
4
5 x 0 或 0 x 5
x2 1 或 x2 4
5x0 或 0x 5
x 2 或 1 x 1 或 x 2
-3 5 -2
-1
0
1
25
3
返回
中级目标小结
A•a2x B•ax C 0
A• loga2 x B • loga x C 0
例6：①解关于x的不等式2x(m 1)x m 0
②关于x的不等式m2x(m 3)x1 0对于 任意实数x成立，求实数m取值的集合
③关于x的方程2x(m 3)x m 3 0有两个 不 相 等 的 正 实 数 根 ， 求实 数 m 的 取 值 集 合
④若a 1，解关于x的不等式
（
x
a
)
(1 a
x
有些不等式可化为以上两种不等式 ,
常用换元法来解;注意取舍;注意
真数大于0;
练一练
解不等式
( 4 )(log2 x)2 1 ( 4 )2(2log 2 x)
5
5
提示
练一练
解不等式
( 4 )(log2 x)2 1 ( 4 )2(2log 2 x)
5
5
loga N logan N n n logan N
lo解ga 法f (；x) loga g(x)
（a>0，a≠1)型的不等式的
A•a2x B•ax C 0
中级目标：掌握 可化为
及 不等式的A解•法log；a2 x B • loga x C 0 型的
高级目标：初步掌握综合有根式、指数、对数
的不等式的解法；用分类讨论思想解指数、对 数不等式；（依时间而定）
解法2：原不等式可化为：
23 • 2x1 256 5 • (2x1)2
令 2x1 t (t 0) 得: 8t 256 5t 2
解得 t 8或 t 32 (舍去)
5
故 2x1 8 23
得 x 1 3 ∴ x 2
所以原不等式的解 集为：
x x 2
想一想，你能不能解出来？
例4:解不等式：
返回
上个台阶
例5:解关于x的不等式：
loga x 1 3 loga x （a>0,且a≠1)
loga x 1 3 loga x （a>0,且a≠1)
解: 原不等式等价于:
3 loga x 0
∴2 log a x 3或 loga x 3
loga
或
x
1 (3 log a xห้องสมุดไป่ตู้2
练习
解不等式：
4 loga x loga x 2
其中 a 为常数，a>0,且 a≠1.
本节小结
a f ( x) a g ( x)
利用函数单调性
log a f (x) log a g(x)
A• a2x B • ax C 0
A•loga2 x B•loga x C 0
换元法
3 loga x 0
∴ 即: ∴
loga x 2
log a x log a a 2
当0<a<1时，原不等式的
loga x 1 0
解区间为 (0, a 2 )
即:
log a x 3
log
2 a
x
7
log a
x
10
0
当a>1时，原不等式的 解区间为 (a 2 , )
或 loga x 3 log a x 1
)
0
⑤ 已 知 不 等 式 a2x 5x c 0的 解 集 为
x
1 3
x
1 2
,求
a ,c
的
值
你知道吗？
1.如何解以下几种无理不等式？
f (x) g(x)
f (x) g(x) f (x) g(x)
2.函数 y a x 和 y log a x
且a≠1) 3.指数和对数运算的性质及法则.
0
{x
|
2
2
3
x
5
3或5
x
15
15}
③解不等式（2x 4x 5)(x2 4) 0 ④解不等式（2x 4x 5)(x 4)2 0
含绝对值不等式的解法
公式法：(a>0)
|x|=a x a
|x|>a x a或x -a
|x|<a a x a
注意a≤0
|x|＜a在a≤0时解集是φ， |x|≥a在a≤0时解集是R
通过取交集，得原不等式的 解集为
解之得 返回
-5
-2 -1 0 1
4
7
x
初级目标小结：
可化为:
a f (x) ag(x) 及 log a f (x) log a g(x) 的不等式的解法
不同底，化同底； 利用函数单调性； 注意真数大于零。
初级目标小结：
可化为:
a f (x) ag(x) 及 log a f (x) log a g(x) 的不等式的解法
（a>0,且a≠1) 2.解关于x的不等式
（a>0,且a≠1)
log a (1
1) x
1
3.解不等式 3loga x 2 2loga x 1
（a>0,且a≠1)
作业题
再见