“几何直观能力”的培养

“几何直观能力”的培养

数学学习离不开几何直观，无论是概念、性质、法则的教学，还是解决问题的教学，教师都应该借助图形直观帮助学生加以理解。

一、数形结合，形成概念表征

“数”与“形”是数学研究的两个基本对象，利用“数形结合”方法能使“数”和“形”统一起来，借助于“形”的直观来理解抽象的“数”、运用“数”与“式”来细致入微地刻画“形”的特征，直观与抽象相互配合，取长补短，从而顺利、有效地解决问题。

如，有一个笼子，笼子中有鸡也有兔，鸡和兔共有5只，腿有14条。问鸡有几只，兔有几只？题中有两个变量――鸡和兔，鸡的只数增多，兔的只数就要减少，反之鸡少了兔就多了，但它们总的只数和腿的条数是不变的。教学中，让学生理解鸡与兔是两个变量十分困难，教师单纯用语言是无法让学生很好理解的。采用数形结合，让学生通过想想――画画――再想想――再画画，帮助学生理解鸡兔这两个变量，从而解决问题。同样在相遇问题、工程问题和分数、比例以及列方程等解决问题的教学中，都应充分运用数形结合，把抽象的数量关系，通过画线段图、集合图、长方形面

积图、列表格等方式，呈现为较具体直观的数学符号，使较复杂的数量关系简单明了，进而迅速找出解决问题的方法。

二、直观推理，提高分析能力

直观推理作为一种渗透力极强的思维形式，可以说是数学直观的精髓。加强几何直观教学并不是只要求学生会构造示意图或线段图，能给出数学知识的直观表征就可以了，还要充分发挥直观推理在发现问题、分析问题过程中的作用，为学生创造主动思考的机会，鼓励他们借助几何直观进行比较、分析和想象，展开丰富多彩的直观推理，进而洞察数学对象的结构和关系，获得数学结论。

对学生而言，纯文字形式呈现的问题相对比较抽象，仅凭文字叙述有时很难直接看出题中的数量关系。这样的问题也为学生学习画图整理信息、体验示意图在分析数量关系过程中的作用提供了极好的素材。

如，教学“用画图的策略解决实际问题”时，先出示例题：学校有一块长方形花圃，长8米。在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？然后教师并没有直接指导学生画图，而是通过富有启发f生的问题使学生体会到“光看文字，一下子想不出办法”，进而诱发画图的需要，引起学生学习和探索画图策略的动机。对于画图方法的指导，教师采用“尝试――讲评――完善”的教学策略，先放手让学生

尝试画图，再结合讲评对关键步骤进行适当的指导，帮助学生学会在示意图上表示“增加3米”以及标注相关信息的方法，来完善他们所画的示意图。完成画图后，教师引导学生通过比较和交流，感受到“看图形思考比较方便”，进而启发学生看图进行分析和比较，将题目中的相关数量与直观图形的意义对应起来，找到正确的解题思路，初步体会示意图对解决问题的作用。列式解答后，让学生看图解释每一步算式的意思，再一次借助图形直观解释数量关系的含义，理解列式的依据。最后，引导学生回顾和反思解决问题的过程，讨论“为什么要画图”，帮助学生进一步梳理借助图形直观解决问题的经验，感受画图策略的学习价值。

这样的教学过程，从解决实际问题的需要出发，紧紧围绕“画图”和“用图”展开，使学生在解决问题的过程中初步学会画示意图整理条件和问题的方法，积累一些借助图形直观分析数量关系的经验，并获得对画图策略的深刻体验。

三、直观探究，提高解题能力

数学教学要充分发挥几何直观在解决问题过程中的作用，注意引导学生经历利用几何直观把复杂问题转化成简单问题的过程，特别是一些可以利用直观来描述的问题，不必急于给出解决问题的方法，而是鼓励学生借助直观提出猜想或猜测，并尽可能地从中找到解决问题的思路或直接利用直观手段求解，来帮助学生不断积累利用直观进行思考的经

验，发展几何直观能力和解决问题的能力。

如，引导学生“怎样把一个正六边形分割成6个大小相等、形状相同的图形”时，学生就借助直观图形产生了以下的分法：

方法一：把正六边形平均分成6个完全一样的等边三角形。

方法二：先画出正六边形的6条对称轴，然后去掉经过对边中点的对称轴，得到第一种分法；或去掉经过顶点的对称轴，得到第二种分法。

方法三：先把正六边形分成3个完全相同的平行四边形，再把每个平行四边形分成两个完全相同的部分，这样可以得到3种分法。

方法四：只要先找到正六边形的3条对称轴，再把3条对称轴绕中心点旋转一个角度，就可以得到一种分法，这样就有无数种分法。

方法五：先把正六边形分成3个完全一样的平行四边形，再画出它们的一条对角线，这是一种分法，然后把对角线绕它的中心点任意旋转一个角度，只要每次旋转的方向和度数相同，也一样得到无数种分法。

师总结：第一种思路是先画出正六边形的对称轴，得到一种分法，再旋转得到无数种分法；第二种思路是先把正六边形分成3个完全一样的平行四边形，再把对角线进行旋转。

尽管分法都有无数种，但解决问题的思路只有两种，所以也可以看作是两种不同的方法。

案例中，从把正六边形平均分成6份到发现图形旋转的规律，几何直观作为有效的表达工具始终伴随着学生的解题活动，并启发着学生的空间思维，引领学生的思维不断走向深刻。在分的过程中，无论是由12等分去寻找6等分，还是由3等分去寻找6等分，学生把思考的过程和结果画出来都是成功解决问题的关键。更为难得的是学生在两种解题思路的启发下，对分割六边形的问题有了更深刻、更富有创造性的思考，并得到了无数种分法。而这一过程中，几何直观依然是促进并引领学生数学思考的主角。最后，教师组织学生比较两种思路的不同，使学生对两种思路获得更概括、更理性的认识。整个教学过程中，学生的精彩表现既得益于教师的启发，更得益于几何直观的引领。

总之，“用图形说话”，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是一种基本的数学素质。几何直观已经成为数学教育界关注的问题，在教学中如何更好地培养学生的几何直观能力，还有待于我们进一步研究，所以教师要善于观察、善于思考、善于总结，力争做一名研究型的教师。

责任编辑：徐新亮