2.3 开腔衍射理论分析方法-20200311

为η的透明介质，证明等效腔长 Le L l
l
。(空气折射率为1)
证: 自由空间传播光线矩阵为
r
TL
r0
0
1 L
TL
0
1
(1)
1
TL
0
l2 1
1
0
01
0
l
1
1 0
0 1
1 0
l1 1
1 0
l1
l
1
l2
(2)
由于 l1 l l2 L
得出等效腔长为
初始场分布函数假设的不同，最后得到的稳态自再现 模分布函数也将不同，即得到不同的横模模式。
若用均匀平面波作为初始激发波，迭代计算后得到的 稳态自再现模就是基模，记为TEM00。
如果
即条形镜腔的上半部分与下半部分的 光场振幅相等，相位差为π，由这种 初始激发波迭代计算后得到什么模式？
迭代法具有普适性，原则上可以用来计算具有任意几 何形状开腔中的自再现模。计算相当繁杂，方法只对 较低阶模有效，而对于高阶模一般是无效的。
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
2. 光腔中的衍射积分方程
设镜面M1上的光场分布已 知，也就是镜面M1 上任一 源点P’(x’,y’)的光场强度u1 (x’,y’)为已知。
u2(x,y)
n
镜M2
u1(x',y') 镜M1
u1 (x’,y’)经腔内一次渡越后在镜面M2上生成的光场u2 (x,y)为
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
一、衍射理论的基本出发点
1. 惠更斯-菲涅耳衍射原理及菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式
光学中著名的惠更斯－菲涅耳原理是从理论上分析衍射问题的 基础，也必然是开腔模式问题的理论基础。
惠更斯认为：波面上每一点可看作是新的波源，从这些点发出子波，下一时刻 新的波阵面就是这些子波的包络面。 菲涅耳补充了惠更斯的原理，认为各子波源所发出的波是相干的，衍射时波长 中各点的强度由各子波在该带点的相干叠加决定。
u2
x,
y
ik
4
u1 x,
s
y
e ik
1 cos
ds
(2.3.2)
二、自再现模积分方程
渡越的次数足够大时，除了表示
P’
振幅衰减和相移的常数因子外，
P(x,y)
uj+1能再现uj
u
j 1
x,
y
1
u
j
x,
y
u j x, y
u j1 x, y
对称开腔的自再现条件
代入衍射积分方程
u j1 x,
2
=1 e2 1 1
mn
(损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗)
mn的模量度自
再现模的单程
损耗, mn愈大，
模的单程损耗
愈大。
3. 单程相移 mn－自再现模在腔内渡越一次的总相移
mn
arg u j1
arg u j
= arg
1
mn
根据谐振条件 m n q
可求得横模的谐振频率
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
1. 本征函数形式 m n x , y Am n x , y e i mn x , y
mn x, y －镜面上场分布函数 (一个本征函数对应一个横模) Amn x, y －(模)振幅分布; mn x, y －镜面上场的相位分布
2. 本征值 m n m n e i mn (传输因子)
开腔中自再 现模的形成
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
经过足够多次的往返传播之后，腔内形成一种稳定场， 其光场的相对分布将不再受衍射作用的影响。经一次往 返后，唯一可能的变化是镜面上各点的场振幅按同样的 比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。这种存在 于腔反射镜面处，且往返传播后仍能再现的稳定场分布 称为自再现模，也就是横模。
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
一、光腔的损耗
1 ln I0
2 I1
损耗的评价：平均单程损耗因子δ ——单程渡越腔内平均光强
衰减的比值。
损耗的分类：
腔镜倾斜时的几何损耗：
（平行平面腔）
L
2D
L——腔长 D——腔口径 ——倾斜角
腔镜反射不完全引起的损耗：
r
1 2
ln
平行平面腔是历史上最早被采用的谐振腔，由梅曼发明的第一 台红宝石激光器就是采用平行平面腔。
至今尚未得到平行平面腔自再现模积分方程的精确的解析解， 只能用近似方法求得其数值解。
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
1. 数值求解 (数值迭代法)
利用迭代公式（普遍性，适合任何形状开腔）
L
(横模)积 分方程
x, y x, y K x, y , x, y ds
其中 K
x, y, x, y
i
L
eikx, y,x, y－积分方程的核
三、自再现模积分方程解的物理意义
x, y i x, y .e ik x, y ,x, yds
L
通常, 只有 取一系列不连续的特定值时, 方程式才能成立 满足积分方程的υmn(x,y) 称为本征函数, 对应于本征值mn (复常数)
r1r2
1 [(1 2
r1)
(1
r2 )]
衍射损耗： d
' d
1 N
当衍射损耗 较小时， 与平均 单程衍射损耗因子 相等
材料的非激活吸收、散射、腔内插入物引起的损耗 吸 = l
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
一、光腔的损耗
2、光子在腔内的平均寿命 R
R
L
c
3、无源谐振腔的Q 值(品质因数)
Le L l
l
2.3 开腔衍射理论分析方法
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
Δy
V xyz 处于有限范围的电磁场
x、y、z方向均存在 稳定的驻波场分布
开腔中是否存在横模(横向场分布)？
侧面无约束
衍射理论分析
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
u j1
1
uj
e i
u j1
e u j
e i
相移
一次渡越模振幅的衰减
设 e i
α,β实常数
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
定义：D表示光场在腔中渡越一次经受的相对功率损耗－单程损耗
2
D
umnj
2
2
umnj 1
2
umnj
2
1
mn
umnj
2
umnj
umnj
Q
R
2
L
c
光学腔长 L
光腔内充满折射率为η的均匀介质
L L
腔内介质分段均匀的情况。例如，腔
内除激光工作物质外其余部分为空气
L
i Li
i
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
二、谐振腔的稳定条件
稳定 判据
2L A 1
R2
C
2 R1
2 R2
1
2L R1
L
B
2L
L
第二类弗里德霍姆齐次积分方程
求解积分方程
解析解
对称共焦腔(方、圆)
mn (x, y)
镜面上振幅与相位 分布（场分布）
mn
光强衰减 相位延迟
平行平面镜腔 数值迭代法 对称矩形平面镜腔
一般球面镜腔
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
四、自再现模积分方程的解法 以平行平面腔为例：
g1, g2谐振腔的g参数
R符号规定
凹面向着腔内， R 取正值； 凸面向着腔内，R 取负值。
等效腔长 Le
L L 光腔内充满折射率为η的均匀介质
e
当腔内介质分段均匀的情况。例如，
腔内除部分空气还有其它透明介质
Le
Li
ii
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
证明：一球面谐振腔，腔长为L，当腔内插入一长为 l，折射率
y
ik
4
s
u
j
x ,
y
e
ik
1 cos ds
u j ( x,
y)
ik
4
s
u j ( x ',
y ')
e ik
(1 cos )ds '
第二章
u j (x, y)
开4ik放 式s u 光j ( x腔', y与') e高ik斯(1 光co束s ／)d2s .'3
开腔衍射理论Biblioteka 析方法x, y开腔中的振荡都是从某种偶然的自发辐射开始的，故可以提供 各种不同的初始场分布。衍射作用在此起到一种“筛子”的作用， 它将所有可能存在的各种自再现模筛选出来。光场在谐振腔内 形成稳定分布主要是衍射作用所致，谐振腔的其它损耗，如光 的吸收、散射等只是使横截面上各点的场按同样比例衰减，对 场的空间分布不发生什么影响。
1
R2
D
2L R1
1
2L R1
1
2L R2
cos1 1 A D
2
要求：关键因子 应为实数，且不等于k k0,1,2...
1 1 A D 1
2
1A D 1
2
1 A D 1
2
稳定腔 非稳定腔 临界腔
适用任何形式的腔, 只要能列出往返矩 阵就能判断其稳定 与否
自再现模积分方程解的物理意义： 对于对称开腔来说，自再现模积分方程的本征函数决 定了镜面上不同横模光场的振幅和相位分布。本征值 决定了不同横模的单程损耗、单程相移以及谐振频率。
x, y i x, y .eikx,y,x,yds
L
在积分方程理论中被称为第二类弗里德霍姆齐次积 分方程，数学上可以证明，这种方程的解析解是存 在的。但是，至今仍未找到一般的解析求解方法。
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
自再现模(横模) 的衍射理论解释：
L
2a
u1,u3,… u2,u4,…
L
2a
u1
u2
u3
L
uq
uq+1
自再现模 2a
u1
u2
u3
uq
uq+1
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
L
2a
u1,u3,…
u2,u4,…
开腔
孔阑传输线
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
衍射理论
镜面上的菲涅尔-基 尔霍夫衍射积分方程
u x,
y
ik 4
u x,
s
y
e ik
1
cos
ds
自再现模(横模) 积分方程
mn(x, y) mn K(x, y, x', y ')mn(x', y ')ds '
K x , y , x , y i e ik x , y ,x, y
ik
4
x ,
y
e
ik
1 cos
ds
uj(x,y)稳态后 的场分布
Q L x, y R x, y L,cos 1
1 cos 2 L
x, y i x, y e ik x, y ,x, yds
L
注意：
指数上的
(x,y,x’,y’)不能
做这样的简化？
自再现模
K x , y , x , y i e ik x , y , x, y
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
稳定判 据另一 表达式
0 g1g2 1
稳定腔
g1 g2 0
其中
L g1 1 R1
g2
1
L R2
只适用于简单的共轴球面镜腔(直腔)
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
g1 1 L R1 g2 1 L R2
基尔霍夫将惠更斯－菲涅耳原理用数学公式表述出来，即 菲涅耳－基尔霍夫衍射积分公式
u x,
y
ik
4
u x,
s
y
e ik
1 cos
ds
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
1. 惠更斯-菲涅耳衍射原理及菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式
已知空间任一曲面S上光波场的振 幅和相位分布函数为u(x’,y’)，求 它在空间任一观察点P处所产生 的光场分布u (x, y)。
设：条状镜腔的具体尺寸 是a = 25 λ ，L=100 λ ， N=6.25，均匀平面波作为 第一个镜面上的初始激发 波。
按Fox-Li）迭代计算， 在经过300次渡越以 后，归一化的振幅曲 线和相位曲线实际上 已不再发生变化，这 样就得到了一个自再 现模。
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
u j1 x, y u j x, y K ( x, y , x ', y ')ds
s
当 j 足够大时，如满足：
u j1
1
u
j
,
u j2
1
u j1,
...
则u(x,y)是该谐振腔的一个自再现模(横模)
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
福克斯－厉鼎毅(Fox-Li）迭代方法
均匀平面波在腔长为L , 横向尺寸（反射镜直径）为2a 的平 面开腔中往返传播，平行光经反射镜M2反射后，在反射镜M1 处生成的衍射图样如下图所示：
第二章 开放式光腔与高斯光束／2.3 开腔衍射理论分析方法
可等效为图所示的孔阑传输线中的单向传播。当光波入射在第 一个圆孔上，穿过孔径时将发生衍射，由于衍射的作用，一部 分光将偏离原来的传播方向，射到第二个圆孔之外，从而造成 光能的损失。
根据菲涅耳－基尔霍夫衍射积分公式，P处的场u (x, y)可看作是S
上各子波源所发出的非均匀球面子波在P点振动的叠加，即
u x,
y
ik
4
u x,
s
y
e ik
1
cos
ds
(2.3.1)
ρ为源点P’与观察点P之间的距离； θ 为源点P’处的法线n与P’P线的夹角；k为波数， λ为光波长；ds’为源点P’处的面元。