(完整版)多体系统动力学2-拓扑结构的描述

动 力
规律为已知的物体有铰联系，称该系统为有根系统。
学 与系统外运动规律为已知的物体无任何铰联系的系统
二 称为无根系统。
拓
扑
结
构
的
描 述
如果将描述无根系统运动的参考系记为B0，通过一个虚 铰与系统中某体相关联，则无根系统与有根系统在拓
扑结构上取得一致。
多 体
树系统和非树系统
系
统 任意两个物体之间路为唯一的多体系统称为树系统，
构
1
的 或写成矩阵形式为：
描 述 01n T T
1n 1,1,1,...1T
n个
该式是一个一般的公式，适用于任何系统。
多 体
关联矩阵和通路矩阵的特点
系
统
动 力
TS ST E
学
S0T [1, 1, 1,..., 1] 1nT
二
拓
扑 在符号规则下：
拓
ω5 = ω0 + Ω1 + Ω3 + Ω5
扑 写成矩阵形式：
结 构
01n T T
1n 1,1,1,...1T
的
n个
描
如何写出矩阵T？
述
多 体
R-W方法
系
统
动 美国圣地亚哥大学的Roberson 和德国卡尔斯路大学的
力 学
Wittenburg 进行了合作。
二
他们首先在多刚体系统动力学的研究中引入了数学中 图论(Graph Theory)的有关概念，把千姿百态的具体
的 6
H2 2
B1
描 述
B5
H1 1
B0
Stanford机械手
多 体
关联数组
系
统 动
定义两个NH(Number of Hinge)阶一维整数数组：
力
学
i 0 1 1 3 3
B4
二
i 1 2 3 4 5
拓
铰：1 2 3 4 5
扑 i+对应于铰的内接体
结 i-对应于铰的外接体
构
H4
B5
B2
H5 B3
H2 H3 B1
的 描
对于规则编号的系统仅需要ห้องสมุดไป่ตู้+即可
H1 B0
述 关联数组是描述系统拓扑的最简单形式，常用于程序的
输入。
多 体
关联矩阵
系
统 动 力
定义(NB+1)NH阶二维数组： 第i行反映了Bi与各铰的联结关系
NB=Number of Body
第j列反映了Hj与各刚体的联结关系
学
二
1 S* 1
ωω23
= =
ω0 ω0
+ +
Ω1 Ω1
+ +
Ω2 Ω3
二 的转动角速度为Ωi，而每个刚
ω4 = ω0 + Ω1 + Ω3 + Ω4
拓 扑
体的绝对角速度为ωi，则有
ω5 = ω0 + Ω1 + Ω3 + Ω5
利用 Tji，可以把上式写成一个统一的公式
5
结
ωi ω0 Tji Ωj (i 1, 2,...5)
多 体
树系统的规则标号方法
系
统 动
限定只有一个铰与B0连接
力
学
二 拓 扑 结 构 的 描 述
多 体
树系统的规则标号方法
系
H
统 动
铰的方向一律背离零刚体B0
力 体的序号大于其内接体的序号
H Bi
i
j
Bj
学
体的序号与其内接铰序号相同
二
B3
H2 B2
拓
B4
扑
4
H4
Z3
H3
B2
B1 H1
B0
结 构
5 H5
多 体
通路
系
统 动
如果由物体Bi，沿一系列物体和铰到达物体Bj，其中没有一
力 学
个铰被重复通过，则这组铰(或物体)构成物体Bi至Bj的路。
二
H
H
拓 H Bi
扑
i
j
H Bi
Bj
i
j
Bj
结 构
H2
B2
的
B1
描 H1
述
B0
H2 B2
B1 H1
B0
多 体
有根系统和无根系统
系
统 工程中大多数对象的多体系统力学模型与系统外运动
0 0
0 0
0 1 0 0 0 1
H1 B0
多 体
关联矩阵
系
统 关联矩阵描述了系统的拓扑构型。
动
力
学
1 0 0 0 0
S0
二
1
1
1
0
0
拓 扑
0 1 0 0
S
0
0 1 1
0
1
S
结
0 0 0 1 0
构 的
0 0 0 0 1
描 述
对于规则标号法:S0的第一个元素为1，其它为0； S为上三角阵，且对角元素为-1。
拓 扑 结 构 的 描 述
多 体
多体系统的拓扑构型
系
统 铰一般可以用一个或两个点表示其位置。
动
力
例：旋转副：一点。
学
滑移副：两点。
二
多体系统中各体的联系方式称 为系统的拓扑构型（拓扑）
拓 需要一个已知运动的物体作为
扑 结
基础(B0)。
构 铰定义为有方向的线段：
的
描述体间的相对运动
描 述
定义体间作用力的方向
O2
0
T O3 0
O4
0
1 0
0
0
0 1 1 1
0
0
1
0
O4
B5
B2
O5 B3
O2 O3 B1
O5 0 0 0 0 1
O1
B0
多 体
通路矩阵
系
统 动 力 学
通路矩阵可以很方便用于描述
系统内部相对运动的关系。如
图，设 B0 运动已知，每个刚体 相对其前置刚体（内接刚体）
ω1 = ω0 + Ω1
动 力
反之称为带回路的系统，或者非树系统。
学
二 拓 扑 结 构 的 描 述 树系统
树系统
非树系统
多 体
树系统的内接和外接
系
统 沿着路的方向称为外接，反之为内接。
动
力 学
在体Bi的内(外)侧且与Bi相邻的体称为Bi的内(外)接体。
二 与体Bi相连且在Bi内侧的铰称为Bi的内接铰。
拓 扑 结 构 的 描 述
多体系统动力学
2020年8月13日
多 体
本节内容
系
统
动 问题：如何描述多体系统中刚体的运动？
力
学
二 内容1：R-W方法 拓 内容2：多体系统的拓扑结构 扑 结 构 的 描 述
多 体
R-W方法
系
统 动 力 学
ω1 = ω0 + Ω1
ωω23
= =
ω0 ω0
+ +
Ω1 Ω1
+ +
Ω2 Ω3
二
ω4 = ω0 + Ω1 + Ω3 + Ω4
拓 系统结构，用数学语言进行了成功的描述，给出的多 扑 刚体系统动力学一般公式的矩阵形式。
结
构
它山之石，可以攻玉
的
描
述
多 体
图论
系 统
图论是研究图的一门学科，由欧拉开始。
动 力
图是指由线（边、弧）连接的点（顶点）的集合，顶点
学 的位置分布和边的长短曲直都无关紧要，重要的是图的
联接结构。
二 哥尼斯堡七桥问题。
ij
如果Bi与H
j
相关联，且Bi为H
的起点
j
如果Bi与H
j
相关联，且Bi为H
的终点
j
拓
0
如果Bi与H
不相关联
j
B4
扑
H1 H2 H3 H4 H5
结
B0 1 0 0 0 0
H4
B5
构 的 描 述
B1
1
1
1
0
S*
B2
0
1
0
0
B3 0 0 1 1
0
0
1
B2 H2
H5 B3 H3 B1
B4 B5
多 体
通路矩阵
系
统 动
T (Tji )NHNB
第i列反映了Bi返回B0时要经过的铰。
力
学
二
1 Tji 1
H j在Bi B0的路上，且H j指向B0 H j在Bi B0的路上，且H j背向B0
拓
0
H j不在Bi B0的路上
B4
扑 结
B1 B2 B3 B4 B5
构
O1 1 1 1 1 1
的 描 述