碰撞振动系统Lyapunov指数谱的计算

１ 力学模 型及其 Ｌ ａｕ ｏ 指数谱的计算 ｙｐ ｎ ｖ
图１ 为两 自由度含间隙碰撞振动系统的力学模 型Ｌ 。 １． 。 在任意相邻两 次碰撞之 间， 系统的无量纲运
动 微分 方程 为
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数 （ 件 Ｌ ａｕ ｏ 条 ｙ ｐ ｎ ｖ指数 ） 皆应 为 负值． 因此 计 算 Ｌ ａｕ ｏ 指数谱对于判定动力系统的运动稳定性 、 ｙｐ ｎ ｖ 混 沌特 性及 混沌控 制都 是极 为重要 的． 目前， 对光滑动力 系统 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙｐ ｎ ｖ指数谱计算
及其 Ｊｃｂ 矩 阵， 出碰撞振动 系统 Ｌ ａ ｕ ｏ 指数谱 的计算方 法； ａｏ ｉ 得 ｙｐ ｎ ｖ 通过 数值仿 真给 出 了系统 的 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙｐ ｎ ｖ指数谱
随参数 大范围变化的规律 ， 与相应 的分岔 图进行对照 ， 验证 了其方法的正确性 和有效性 ．
关 键 词 ： 撞 振 动 ； ｙｐ ｎ ｖ指 数 谱 ； 岔 ； 沌 碰 Ｌ ａｕｏ 分 混１２ Βιβλιοθήκη ＸＡ 一 一 Ｊ一 ｌ十 Ａ
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第３ １卷
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方程（） １ 的解见文献［． ８ 由于碰撞的存在 ， ］ 使得 质块 Ｍ１的速 度 在碰 撞 前 后 瞬 时 发生 突变 ， 向量 场 在该处 的 Ｊｃｂ 矩阵不 存在 ， ａｏｉ 因此光滑 动力系统 Ｌ ａ ｕｏ 指数谱 的计算 方法不能直接应用到该碰 ｙｐ ｎ ｖ 撞振 动 系统． 此利 用 Ｐ ｉｃｒ 在 ｏｎａ６映射 方 法将 图 ｌ所
Ｊｃｂ 矩 阵 ， 出 系 统 Ｌ ａｕ ｏ ａｏ ｉ 得 ｙｐ ｎ ｖ指 数 谱 的计 算 方
八／—＿ ２ Ｌ ＿ —— 八 ＿ ｛肼 』 肘Ｊ
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图 １ 系统模型图
Ｆ ｇ １ Ｓ ｈ ｍａ ｉ ｉｇ ａ ｏ ｈ ｙ ｔｍ ｉ． ｃ ｅ ｔ ｄ ａ ｒ ｍ ｆｔ ｅｓ ｓ ｅ ｃ
示 系统 在碰撞 截 面处 离散 化 ， 出系统 的 映射 方 程 得
方 法 的研 究 已 比较 成 熟 ［］但 是 相 对 而 言 ， 非 光 ２． 对 滑 动力 系统 ， ｙｐ ｎ ｖ 数谱计 算 方法 的研 究 还处 Ｌ ａｕ ｏ 指 于不 成熟 阶段 ． Ｃ７ 对 碰撞 振 动 系 统 ， 连 续 两 文 ｓ］ －针 在 次碰 撞 之间 ， 引人 超 越 映 射 ， 光 滑 离 散 动 力 系 统 将
法． 最后 ， 通过数值仿真的方法验证 了该计算方法的 正确性 和有效性 ．
质块 Ｍ 冲击 方程 为 的
收 稿 日期 ：０ ２０ —０ ２ １—３３
基金项 目： 国家 自然科学基金（ 】 ７ １ ９ １ ９ ２ ９ ） 兰州交通 大学青 年科学研究基金（ ０ １ １ ） １１ ２ １ ， ０ ７０ ５ ； ２ １ ０ ４ 作者简介 ： 吕小红 （９ ７） 男， １ ７ 一， 甘肃天水人 ， 博士生 ， 讲师．
中图分类号 ： ３ ０３ ２
文献标 志码 ： Ａ
０ 引言
自从 １６ ９ ３年美 国气象 学家 Ｌ ｒｎ 正 式 提 出混 ｏｅｚ 沌理论 以来 ， 沌理论 得 到 了快 速发 展． 混 对初 始值 的 极端 敏感性 是混 沌 系统 的一 个重 要 特 性 ， ｙｐ ｎ ｖ Ｌ ａ ｕ ｏ 指数谱 是定 量描 述 这 种 特性 的重 要 指标 ． 当系 统 的 Ｌ ａｕ ｏ 数 出现正值 时 ， ｙｐ ｎｖ指 意味着 系统 处 于 混沌 状 态 Ｌ． 外 ， 定 由混沌 系统 分解 出 的子系 统 间能 否 １此 ］ 判 实现 同步 的主要 判据 之 － ｉ子 系 统 的 Ｌ ａｕ ｏ ￣ １ ］ ｙｐ ｎ ｖ指
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Ｌ ａ ｕ ｏ 指数谱的计算方法应用到该 系统． ｙｐ ｎ ｖ 文 。 ］ 对维 非光 滑 （ 刚性 约束 和分段 光滑 ） 动力 系统 引进局 部映射 ， 利用 Ｐ ｉ ａ６ ｏ ｃｒ 映射分析方法得 出了非光滑 ｎ 系统 Ｌ ａｕ ｏ 指数谱 的计算方法． 文以系统第 ｙｐ ｎ ｖ 本 次碰撞后的瞬时状态作为初值 ， 利用 Ｐ ｉ ａ６ ｏｎ ｒ 映射 ｃ 方法 构建 含 间隙碰撞 振动 系统 的第 次 映射方 程 及其
碰 撞 振 动 系统 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ指 数 谱 的计 算
吕小红 ， 罗冠 炜
（＿ １ 兰州交通大学 机 电与动力工程学院 ， 甘肃 兰州 ７０ ７ ；． ３００ ２ 甘肃省轨道交通装备 系统动力学与可靠性重点实验室 ， 甘肃 兰州 ７０７） ３００
摘
要 ： 用 Ｐ ｉｃｒ 映射 方法将含 间隙碰撞振动 系统在碰 撞截 面转化 为 离散动 力 系统， 建 了系统的映射 方程 利 ｏｎａ６ 构
第３卷 第 ３ １ 期 ２１ 年 ６ ０２ 月
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文 章 编 号 ：０ １４ ７ （ ０ ２ ０ －１ １ ４ １０ －３ ３ ２ １ ）３０ ６— ０
式中： 表示第 次碰撞后的初始相角． 在每一次碰 撞完成的瞬间， 时间 ｔ 直接置为零 ， 相角 ｒ 作为调整 初始时间的一个参数． 第 次碰撞后的初始相角为
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