原子物理第三章 (2)

第三节：电子的自旋 史特恩-盖拉赫实验证明了原子在磁场中的取向是量子 化的，按空间量子理论，当l 一定时，ml有2l+1个取向， 而l是整数， 2l+1一定是奇数。但史特恩-盖拉赫实验中， 对氢原子、锂、钠、钾、铜等都发现两个取向，出现偶数 分裂的事实启示人们，电子的轨道运动似乎不是全部的运 动。换句话说， 轨道磁矩应该只是原子总磁矩的一部分，那另一部分 的运动是什么呢？
e 2me
称为旋磁比
e 则： iSen L L 2me
角动量 L 方向相反。
由电磁学知

可见，原子中电子绕核运动的磁矩 与电子轨道
在均匀外磁场 B 中受到的力矩

作用，这一力矩的大小为
B
而力矩的存在将引起角动量的变化，即
当n ，l ，m 都给定后，就给出了一个确定的状态；
所以我们经常说: （n ，l ，ml ）描述了一个确定的态。 对于氢原子，能量只与n 有关，n 给定后，有n 个l ， 每一个l 有2l+1 个ml ,所以氢原子的一个能级 En 对应于 n2 个不同的状态，我们称这种现象为简并，相应的状 态数称为能级 En 的简并度。
因此，原子中电子绕核转也必定与一个磁距相对应， en 式中i是回路电流，S 是回路面积, 为磁矩方向的单位
矢量。设电子绕核运动的线速度为v，轨道半径为r,则
ev 2 e e iSen r en me vren L 2r 2me 2me
记：
定的角速度
B 绕 作进动，

方向与
一致。
B
d 的标量形式为 dt

d sin ( sin ) dt
另一方面，设 在dt时间内旋进角度d 则把式

d sin d
代入上式得
d dt
2. 轨道磁矩的量子表达式 根据量子力学的计算，角动量 L 是量子化的， 这包括它的大小和空间取向都是量子化的。
对于碱金属原子，能量与n，l 有关，可见相应的 简并度比氢原子要低。 此外，三个量子数（n ，l ，ml ）表示一个状态， 正好与经典物理中用（x ，y ，z）描述一个质点的 状态相对应。
把式 L l (l 1) 代入式 L
得


的数值表示为
e l l (l 1) l (l 1) 2me


S z ms
ms s, s 1,…-s
1 实验表明，对于电子来说 s 2

1 1 ms ， 2 2
即

1 S百度文库 2
s
有两个空间取向。
l
3)与 s 对应的磁矩，由 L 知，轨道磁矩 与轨道角动量 L 之间的对应关系是
Fz d vz at1 mv
从出磁场到P点（设D表示磁场中点到P点的距离）
d D vt2 2
另一方面，磁矩
z2 z1 vz t2


在磁场 B 中受力为

Bz Fz z z
所以：
Bz dD z2 z z 3kT
2 例：已知斯特恩—盖拉赫实验中 dB / dZ 1.5 10 T /m, 如基态氢原子在磁场中速度v=104m/s，磁场纵向范围L=10cm 。 求裂距S.
Bz Bz 0 x y
Bz 0 z
热平衡时原子速度满足下列关系
1 3 2 2 2 m(vx v y vz ) kT 2 2
即
mv 3kT
2
在磁场区域 x 方向：
d vt1
1 Fz 2 t1 2 m
z方向： z1
t1 时刻，原子沿 z 方向的速度为
解:
1 2 1 Fz L 2 1 dB L 2 S at ( ) ( ) z 2 2M v 2 M dZ v 1 dB L 2 ( ) B 2 M dZ v 1 2 0.1 2 24 1 . 5 10 ( ) 9 . 2741 10 2 1.67 10 27 104 4.165105 (m)
相应的磁矩又是什么呢？
1925年，两位荷兰学生乌仑贝克与古兹米特根据史特恩-
盖拉赫实验、碱金属光谱的精细结构等许多实验事实，发展
了原子的行星模型，提出电子不仅有轨道运动，还有自旋运 动，它具有固有的自旋角动量S。 引入了自旋假设以后，人们成功地解释了碱金属 的精细结构，塞曼效应以及史特恩-盖拉赫实验等。
1.电子自旋假设
1925年，年龄不到25岁的两位荷兰学生乌仑贝 克和古兹米特根据大量的实验事实，提出一个极大 胆的假设，电子不仅有轨道运动，还有自旋运动， 它具有固有的自旋角动量 S ，具体内容是：
1)与轨道角动量进行类比，自旋角动量的大小为
S s(s 1)
其中s 称为自旋量子数.
2） L 有2l +1个空间取向，则 s 也应该有2s+1个空间 取向
dL B dt
将 L 代入得
d B dt
令

B
有
d dt



这就是拉莫尔进动的角速度公式，它表明在均匀外磁 B 场 B中，高速旋转的磁矩并不向 方向靠拢，而是以一
又由式 L m 可得 在 Z 方向的投影表达式为 z l
e 通常令 B 2me
e lz Lz ml 2me
，称之为玻尔磁子。
2. 理论推导 o 中有处于基态的原子，被加热成蒸汽，以水平 速度v 通过狭缝s1 ，s2 ，然后通过一个不均匀磁场，磁 场沿Z 方向是变化的，即

L l (l 1)
Lz ml
式中l 称为角量子数，它的取值范围为
l 0,1, 2,…, n 1
ml
称为轨道磁量子数, 当l 取定后，其可能取值为
ml 0, 1, 2,… l
即完整的微观模型是： 给定的n，有l 个不同形状的轨道（l ）； 确定的轨道有2l +1个不同的取向（ml ）；