变精度粗糙集模型

P( E6 , X ) 0 ，故 m1 0.5 ， m2 0.25 ，
从而 ( R, X ) 0.5 ，即使得 X 为 精确集的最小的 值为 0.5 ， 或者说，对于任意 0.5 ， X 为 粗糙集。
3 （2）令 X {x1 , x2 , x6 , x9}，则 P( E1 , X ) ， 5 2 3 P( E2 , X ) ， P( E3 , X ) ， P(E4 , X ) P(E5 , X ) P(E6 , X ) 1 ， 3 4
d
若 B A 满足 pos( A, d , ) pos( B, d , ) ， 则称
B 是 S 的一个 正域协调集；极小的（关于集合包含关系）
正域协调集称为 S 的 正域约简。
问题2 广义变精度粗糙集模型
定义： 设 (U , R) 为广义近似空间， 0 0.5 。对于任意的
R ( X ) 分别定义为：
R ( X ) {[ x]R ; P([ x]R , X ) } ，
R ( X ) {[ x]R ; P([ x]R , X ) 1 } 。



等价定义（1）
R ( X ) {x U | P([ x]R , X ) }，
R ( X ) {x U | P([ x]R , X ) 1 } 。
令 0 0.5 ， 包含关系 定义为

Y X P( X , Y ) .
一般地，称 包含关系为多数包含关系。

2 变精度粗糙集
定义： 设 (U , R) 为近似空间， 0 0.5 。对于任意的
X U ， X 关于 (U , R) 的 下近似 R ( X ) 、 上近似
U
R
{Ei ;1 i 6} ， E1 {xi ;1 i 5} ， E2 {xi ;6 i 8} ， E3 {xi ;9 i 12} ，
E4 {xi ;13 i 14} ， E5 {xi ;15 i 18} ， E6 {xi ;19 i 20} 。 取 0.3 ， 考 虑 集 合 X {x4 , x5 , x8 , x14 , x16 , x17 , x18 , x19 , x20} 的 近似。
故 m1 0.4 ， m2 0 ，从而 ( R, X ) 0.4 ，即使得 X 为 精确集的 最小的 值为 0.4 。
问题：1 属性约简
设 S (U , A {d},V , f ) 是决策表，其中 A 为条件 属性集合， d 为决策属性。定义：
pos( A, d , ) Y U A (Y ).
误分类率 的增加，集合的精度将增加。
类似于 Pawlak 粗糙集模型，若 ( R, , X ) 1 ，则称 X 为 精确集；若 ( R, , X ) 1 ，则称 X 为 粗糙集。 显然， X 为 精确集等价于 R ( X ) R ( X ) ， 或 bnr ( X ) .
（1） 令 X {x4 , x5 , x8 , x14 , x16 , x17 , x18 , x19 , x20 } ，由于 P( E1 , X )
3 ， 5
2 1 1 P( E2 , X ) ， P( E3 , X ) 1 ， P( E4 , X ) ， P( E5 , X ) ， 3 2 4










R ( X Y ) R ( X ) R (Y ) ， R ( X Y ) R X R Y ；






（4） R ( X ) R ( X ) ； （5） R ( X ) ~ R (~ X ) ， R ( X ) ~ R (~ X ) ； （6） X R ( X ) ； （7）若 ，则 R ( X ) R ( X ) ， R ( X ) R ( X ) 。
第六讲: Ziarko变精度粗糙集模型
1 错分率与多数包含关系
设 U 为非空有限论域， X , Y U . 令
1 | X Y | , | X | 0 | X | P( X , Y ) | X | 0 0,
其中 | X | 表示集合 X 的基数。称 P( X , Y ) 为集合 X 关于集合 Y 的相对错误分类率。
R
{Ei ;1 i 6} ， E1 {xi ;1 i 5} ， E2 {xi ;6 i 8}，
E3 {xi ;9 i 12} ， E4 {xi ;13 i 14} ， E5 {xi ;15 i 18} ， E6 {xi ;19 i 20} 。
R ( X ) {[ x]R ; P([ x]R , X ) 0.7} U E3.
从而 bnr ( X ) E1 E2 E4 ， negr ( X ) E3.
0.3 0.3
0.3
0.3
3 基本性质
定理： 设 (U , R) 为近似空间。对于任意的 X , Y U ，
m1 1 min{P( E, X ); E U ,0.5 P( E, X )} ， R m2 max{P( E, X ); E U , P( E, X ) 0.5}. R
5例
考虑近似空间 (U , R) ，其中 U {xi ;1 i 20} ，等价关系 R 所确定的划分 为U









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4 集合的精度
集合的精度与错误分类率 有关。一般地，定义
X U 的 精度 ( R, , X ) 为：
( R, , X )
R (X ) R (X )


。
若 1
2 ，则 ( R, 1, X ) ( R, 2 , X ) ，即随着错
由于 P( E1 , X ) ，P( E2 , X ) 故
3 5
2 1 1 ，P( E3 , X ) 1 ，P( E4 , X ) ，P( E5 , X ) ，P( E6 , X ) 0 ， 3 2 4
R ( X ) {[ x]R ; P([ x]R , X ) 0.3} E5 E6 {xi ;15 i 20}，



0 0.5 ，下列关系成立：
（1） R (U ) R (U ) U ， R () R () ； （2）若 X Y ，则 R ( X ) R (Y ) ， R ( X ) R (Y ) ； （3） R ( X Y ) R ( X ) R (Y ) ， R ( X Y ) R ( X ) R (Y ) ，
（2）令 0.5 1，


R ( X ) {x U |


[ x]R X [ x]R [ x]R X [ x]R
}，
R ( X ) {x U |
1 } 。
例 ： 考 虑 近 似 空 间 (U , R) ， 其 中 U {xi ;1 i 20} ， 等 价 关 系 R 所 确 定 的 划 分 为



令 rg ( R, X ) { ; bnr } ，即 rg ( R, X ) 是使得 X 为 粗糙的所 有 值的集合。设
( R, X ) sup rg ( R, X ) ，
( R, X ) 可理解为使得 X 为 精确集的最小的 值。
定理：设 (U , R) 为近似空间， X U 。则 ( R, X ) max{m1 , m2} ，其中
X U ， X 关于 (U , R) 的 下近似 R ( X ) 、 上近似
R ( X ) 分别定义为：
R ( X ) {Rs ( x); P( Rs ( x), X ) } ，
R ( X ) {Rs ( x ); P( Rs ( x ), X ) 1 } 。