北京师范大学考研物理2018年量子力学

能量本征函数的形式。提示：可以选取力学量完全集为(Hˆ , pˆx),谐振子的能量本征函数
可写为NnHn(αx)exp(−
α2 x2 2
)，其中α
=
mw h¯
。
参考公式 泡利矩阵：
01 σˆx =
10
0 −i σˆy =
i0
10 σˆz =
0 −1
积分公式：
∞
x4
π
0 (1 + x2)4 dx = 32
=
i¯h
∂
ψ(p,t) ∂t
，
其中∇2p
=
∂ ∂px
+
∂ ∂py
+
∂ ∂pz
，a为常数，求势能函数V
(r)。
2.
(30)
已知一维粒子的哈密顿量Hˆ
=
pˆ2 2m
+
1 2
mw2x2
+
αpˆ(α为常数)，求出粒子的能
级。（提示：此题可在动量表象下计算）
3.
(30) 氢原子的基态波函数为ψ(r) = √ 1
北师大2018年量子力学
1. (30)
(1) 算符Aˆ,Bˆ的对易满足[Aˆ, Bˆ] = kBˆ,k为常数，如果ψ是Aˆ的本征函数，证明Bˆψ是Aˆ的 本征函数。
(2) 若Aˆ为厄米算符，证明Aˆ2的平均值为非负实数。
(3)
一个质量为m的粒
子满足动
量空间的
薛定谔方程:(
|p|2 2m
− a∇2p)ψ(p, t)
e−
r a
。
πa3
(1) 求动量空间波函数ψ(p)。
(2) 计算基态动能的期望值。
4.
(30)
考虑一个方向为正z方向，强度为B的均匀磁场中的中性自旋为
1 2
的粒子。其初
态是σˆn = 1的本征态，这里n为任意方向(θ, φ)的单位矢量，σˆn = nˆ · σˆ 为泡利算符在该
方向上的投影。
(1) 求解初态。
1
(2) 解出态随时间的演化。
(3)
计算Sx,Sz
的可能测量值，相应几率以及随时间的演化。（提示：磁矩µ
=
−
e mc
S）
5.
(30)
一个粒子在二维x−y平面运动，其哈密顿量为：Hˆ
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
[(px
−
βy)2
+
p2y
];px
,
py
是
动量的x, y分量，β为常数，物理上正比于外磁场。请求解能量本征方程，给出能级和