2010-1讲：预备知识
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小数点后第k位, 从这小数点后第k位数字直到最 左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字. 用四舍五入得到的数都是有效数字; 有效数字越多,误差越小,计算结果越精确.
有效数字 例 1.1 设x * 3 1.7320508x1=1.73, x2=1.7321, x3=1.7320是其近似值,问它们分别有几位有效数字?
| x * x3 || 3 1.7320 | 0.0000508... 0.508.. 10 4 0.5 10 3 , 故x3 有四位有效数字 .
有效数字
例1.2 按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效 数字的近似数：
187.9325，0.03785551，8.000033，2.7182818.
《数值分析》性质、任务
性质
“数值分析”研究用计算机解决数学问题的数值方法及 理论，是与计算机使用密切结合的实用性强的数学课程。
任务
熟练掌握常用的数值算法的构造原理和过程分析； 提高算法设计和理论分析能力； 对所学数值计算方法能编程在计算机上算出结果 。
绪 论
第一章 绪论
数值分析的研究对象 误差的来源与分类 相对、绝对误差，有效数字
从左到右,逐项相加 A 2000 k 2000. 如果先计算
xn 例1.6 建立积分 I n dx n 0,1, ,20 5 x 0
的递推关系式，并研究它的误差传递。 解： I n 5 I n1
0 1
1
x n 5 x n 1 1 n 1 dx x dx 5 x n 0
1
I 0 ln 6 ln 5 0.1823 可得算法： 1 I n n 5 I n1 ( n 1,2, ,20)
误差的传播
避免误差的准则
一 数值分析的研究对象
研究求数学问题近似解的方法和过程
实际问题
数学模型 数值计算方法的理论
程序设计 上机计算求出结果
研究内容
《数值分析》基本内容
二、数值分析的主要内容 Mathematica程序初步 插值与拟合 数值微分与数值积分 线性方程组的直接解法与迭代解
非线性方程的解法 常微分方程数值解法
避免误差危害的若干原则
说 明
要避免出现这类运算，通常采用因式分解、 分子分母有理化、三角函数恒等式、其他恒 等式等方法。
x1 如果x1和x2 很接近时，应用 lg x1 lg x2 lg . x2
当x很大时, 应用 x 1 x
1 x x1 ,
当f ( x ) f ( x * )时 可用泰勒展开 一般情况，
这是因为计算机在计算过程中，由于要把参加 运算的数对阶，即把两数都写成绝对值小于1但阶 码相同的数而导致较小的数加不到较大的数中。这 种现象有时会影响计算结果的可靠性。
避免误差危害的若干原则
如：a 10 1，必须改写成
9
a 0.1 10 0.0000000001 10
10
10
主讲人：杨爱民 专 业：计算数学 院 系：理学院数学系 邮 箱：aimin_heut@163.com
学习必要性
随着科学技术的发展和计算机的广泛应用，科学 计算已经成为平行于理论分析和科学实验的第三种科
学手段。
数值计算已经成为数学工作者、计算机工作者、 工程技术人员必须掌握的知识和工具。而《数值分 析》数学与计算机技术相结合的一门学科。
10 1 (10 1) 4 10 x 2
9 9 2 9
若用 位小数计算机运算，则 1 10 8 10
9
9
避免误差危害的若干原则
求得结果x1=109, x2=0是错误的。可改为
109 1 (109 1) 2 4 109 x2 2 9 9 2 10 2 10 9 1 9 109 1 (109 1) 2 4 109 10 10
3.14 0.0016 0.5 10 2
误差的一般描述
e x x* * er __ x 的相对误差 理论式) ( x x
e x x* er * __ x *的相对误差 ( 应用式) x x*
e x* x er * r __ x *的相对误差限 x x*
123mm，它是x的近似值，它的误差限是0.5mm,即
x x 0.5 122.5 x 123.5
*
另外， 经过四舍五入得到的数，其误差必定不超
过被保留的最后数位上的半个单位，即最后数位上的
半个单位为其误差限。
如 : 取的近似值为 .14，则误差限为 .5 10 2， 3 0 因为
计算数学家 03 世纪 刘徽
16 世纪 笛卡儿 17 世纪 牛顿
莱布尼兹 伯努利
高斯
泰勒
18 世纪 欧拉 拉格朗日 19 世纪 雅可比 20 世纪 华罗庚
柯西
狄利克雷 维尔斯特拉斯
冯 康
刘徽(约225 – 295年)
我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的《重
差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评
，
避免误差危害的若干原则
例1.10 在4位有效数字的限制下，计算： 2000 A
1000 k 1 k
其中 0.1 i 0.4, i 1,2,...1000
解
A 2000 k 2000 1 2 ... 1000
k 1 1000 k 1 1000
f '' ( x * ) f ( x ) f ( x * ) f ' ( x * )( x x * ) ( x x* ) 2
取右端的有限项近似代替左端。
避免误差危害的若干原则
三、防止大数吃小数 当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运 算时,绝对值小的数有可能被绝对值大的数"吃掉"从 而引起计算结果不可靠. 例 1.9 求一元二次方程x2-(109 +1)x+109=0 的实数根. 解：采用因式分解法,很容易得到两个根为x1=109, x2=1. 若用求根公式，则
| x* x1 || 3 1.73 | 0.0020508... 0.20508.. 10 2
0.5 10 2 , 故x1有三位有效数字，准确 到小数点后两位。
| x * x2 || 3 1.7321 | 0.0000491... 0.491.. 10 4 0.5 10 4 , 故x2 有五位有效数字.
“ 宽, 专, 漫 ”, 即基础要宽, 专业要专, 要使自己的专业 知识漫到其它领域. 1984年来中国矿业大学视察时给 给师生题词: “ 学而优则用, 学而优则创 ”.
冯
国际上享有盛名的计算数学家.
康
1944年毕业于重庆中央大学电机 工程系。曾任中科院计算中心主任、 名誉主任。还担任国内和国际上许 多大学，研究所的兼职教授、名誉 教授等职。1980年当选为中科院院士。 冯康主要从事计算数学研究，在拓朴群 和广义函数理方面取成就，参与我国计算技术、 与计算数学开创工作，构建了异与西方的有限元法， 辛方法等。成为计算数学学科的先进者和带头人。
注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学
理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 的方法 :
“ 割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 ” 极限思想 .
它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要
高斯(1777 – 1855)
第2节
误差与有效数字
误差的一般描述
一、误差的一般描述
定义1. x ____ 近似值, x ____ 精确值
*
e x x* _____ 误差(绝对误差)
e x * x ____ 误差限(绝对误差限)
x x x or x x
* * *
误差的一般描述 如：用毫米刻度的米尺测量一长度x，读出的数为
避免误差危害的若干原则
另一算法：
I 20 0.0087301587 1 1 I n1 5 ( n I n )( n 20,19, ,1)
这个算法是稳定的，因为由
I 20 引起的误差在
以后的计算过程中将逐渐减小。
避免误差危害的若干原则
二、防止相近的两数相减（损失过多的有效数字）
原则: “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.
华罗庚(1910 – 1985)
我国在国际上享有盛誉的数学家. 他在解析数论, 矩阵几何学, 典型群, 自守函数论, 多复变函数论, 偏微分方
程, 高维数值积分等广泛的数学领域中,
都作出了卓越的贡献 , 发表专著与学术论文近 300 篇. 他对青年学生的成长非常关心, 他提出治学之道是
数值分析的主要特点
三、数值分析的主要特点
借助计算机提供切实可行的数学算法.
所提出的算法必须具有：可靠的理论分析;理
想的精确度;收敛且稳定;误差可以分析或估计. 时间复杂性好__指节省时间； 计算复杂性好 空间复杂性好__指节省存储量。
通过数值实验证明算法行之有效.
误差的来源
第 1 节 误 差 的 来 源
相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异.
绝对误差限和相对误差限均无穷多,自然越小越好. 误差估计的任务就是提供好的误差限,对于任何一个近 似值,如果得到一个好的误差限,那么就可以肯定这些数 据是准确可靠的!
有效数字
二、有效数字
定义: 如果|e| = |x* - x| 0.5 10-k 称近似数x准确到
误差的分类
(1)模型误差__数学模型与实际问题之间出现的误差.
(2)观测误差___由观测产生的误差
(3)截断误差___由简化问题（公式）所引起的解的 误差(也称方法误差). 将函数 f ( x ) (1 x ) ln(1 x ) 展成的幂级数.
x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x o( x 11 ) 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110
数值计算中应注意的问题
避免误差危害的若干原则
避免误差危害的若干原则
2。应选用数值稳定性的计算方法; 2。避免两个相近的数相减; 3. 要防止大数“吃掉”小数; 1. 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值; 2。简化计算步骤和公式，设法减少运算次数。
避免误差危害的若干原则
一、使用数值稳定的计算公式
解 按定义，上述各数具有5位有效数字的近似数
分别是：
187.93，0.037856，8.0000，2.7183。
注意： 8.000033 的5位有效数字近似数是8.0000
而不是8，因为8只有1位有效数字.
有效数字
注 意
(1)有效数字的位数与小数点的位臵无关; (2)有效数位越多,相对误差越小.
百度文库
第3节
计算数学在中国的发展
1956年在华罗庚教授主持下，首先设立计算数学 研究组。伴随着我国独立研制成功的103计算机、104 计算机、119计算机、109乙机和109丙机相继投入运 行，及国民经济和国防建设对于科学和工程计算的强 烈需求，这支队伍发展壮大极为迅速， 高级研究人员 中有冯康、徐钟济教授。“文革”十年，仍在周总理 的支持下，不断发展。 二十世纪五、六十年代是我国计算技术、计算数 学与科学工程计算蓬勃发展的年代。研究领域几乎覆 盖了计算数学的所有分支。
如计算机只能表示8位小数，则导致大数“吃”了小数。 两数都写成绝对值小于1而阶码相同的数 两者结果不同,因为计算机计算时做加减法要 “对 阶”,“对阶”的结果使大数吃掉了小数.产生了误差. 为了避免由于上述原因引起的计算结果严重失真,可 以根据一些具体情况,存在需要把某些算式改写成另 一种等价的形式.
德国数学家、天文学家和物理学家,
是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、
代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 在对天文学、大 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 恪守这样的
有效数字 例 1.1 设x * 3 1.7320508x1=1.73, x2=1.7321, x3=1.7320是其近似值,问它们分别有几位有效数字?
| x * x3 || 3 1.7320 | 0.0000508... 0.508.. 10 4 0.5 10 3 , 故x3 有四位有效数字 .
有效数字
例1.2 按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效 数字的近似数：
187.9325，0.03785551，8.000033，2.7182818.
《数值分析》性质、任务
性质
“数值分析”研究用计算机解决数学问题的数值方法及 理论，是与计算机使用密切结合的实用性强的数学课程。
任务
熟练掌握常用的数值算法的构造原理和过程分析； 提高算法设计和理论分析能力； 对所学数值计算方法能编程在计算机上算出结果 。
绪 论
第一章 绪论
数值分析的研究对象 误差的来源与分类 相对、绝对误差，有效数字
从左到右,逐项相加 A 2000 k 2000. 如果先计算
xn 例1.6 建立积分 I n dx n 0,1, ,20 5 x 0
的递推关系式，并研究它的误差传递。 解： I n 5 I n1
0 1
1
x n 5 x n 1 1 n 1 dx x dx 5 x n 0
1
I 0 ln 6 ln 5 0.1823 可得算法： 1 I n n 5 I n1 ( n 1,2, ,20)
误差的传播
避免误差的准则
一 数值分析的研究对象
研究求数学问题近似解的方法和过程
实际问题
数学模型 数值计算方法的理论
程序设计 上机计算求出结果
研究内容
《数值分析》基本内容
二、数值分析的主要内容 Mathematica程序初步 插值与拟合 数值微分与数值积分 线性方程组的直接解法与迭代解
非线性方程的解法 常微分方程数值解法
避免误差危害的若干原则
说 明
要避免出现这类运算，通常采用因式分解、 分子分母有理化、三角函数恒等式、其他恒 等式等方法。
x1 如果x1和x2 很接近时，应用 lg x1 lg x2 lg . x2
当x很大时, 应用 x 1 x
1 x x1 ,
当f ( x ) f ( x * )时 可用泰勒展开 一般情况，
这是因为计算机在计算过程中，由于要把参加 运算的数对阶，即把两数都写成绝对值小于1但阶 码相同的数而导致较小的数加不到较大的数中。这 种现象有时会影响计算结果的可靠性。
避免误差危害的若干原则
如：a 10 1，必须改写成
9
a 0.1 10 0.0000000001 10
10
10
主讲人：杨爱民 专 业：计算数学 院 系：理学院数学系 邮 箱：aimin_heut@163.com
学习必要性
随着科学技术的发展和计算机的广泛应用，科学 计算已经成为平行于理论分析和科学实验的第三种科
学手段。
数值计算已经成为数学工作者、计算机工作者、 工程技术人员必须掌握的知识和工具。而《数值分 析》数学与计算机技术相结合的一门学科。
10 1 (10 1) 4 10 x 2
9 9 2 9
若用 位小数计算机运算，则 1 10 8 10
9
9
避免误差危害的若干原则
求得结果x1=109, x2=0是错误的。可改为
109 1 (109 1) 2 4 109 x2 2 9 9 2 10 2 10 9 1 9 109 1 (109 1) 2 4 109 10 10
3.14 0.0016 0.5 10 2
误差的一般描述
e x x* * er __ x 的相对误差 理论式) ( x x
e x x* er * __ x *的相对误差 ( 应用式) x x*
e x* x er * r __ x *的相对误差限 x x*
123mm，它是x的近似值，它的误差限是0.5mm,即
x x 0.5 122.5 x 123.5
*
另外， 经过四舍五入得到的数，其误差必定不超
过被保留的最后数位上的半个单位，即最后数位上的
半个单位为其误差限。
如 : 取的近似值为 .14，则误差限为 .5 10 2， 3 0 因为
计算数学家 03 世纪 刘徽
16 世纪 笛卡儿 17 世纪 牛顿
莱布尼兹 伯努利
高斯
泰勒
18 世纪 欧拉 拉格朗日 19 世纪 雅可比 20 世纪 华罗庚
柯西
狄利克雷 维尔斯特拉斯
冯 康
刘徽(约225 – 295年)
我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的《重
差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评
，
避免误差危害的若干原则
例1.10 在4位有效数字的限制下，计算： 2000 A
1000 k 1 k
其中 0.1 i 0.4, i 1,2,...1000
解
A 2000 k 2000 1 2 ... 1000
k 1 1000 k 1 1000
f '' ( x * ) f ( x ) f ( x * ) f ' ( x * )( x x * ) ( x x* ) 2
取右端的有限项近似代替左端。
避免误差危害的若干原则
三、防止大数吃小数 当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运 算时,绝对值小的数有可能被绝对值大的数"吃掉"从 而引起计算结果不可靠. 例 1.9 求一元二次方程x2-(109 +1)x+109=0 的实数根. 解：采用因式分解法,很容易得到两个根为x1=109, x2=1. 若用求根公式，则
| x* x1 || 3 1.73 | 0.0020508... 0.20508.. 10 2
0.5 10 2 , 故x1有三位有效数字，准确 到小数点后两位。
| x * x2 || 3 1.7321 | 0.0000491... 0.491.. 10 4 0.5 10 4 , 故x2 有五位有效数字.
“ 宽, 专, 漫 ”, 即基础要宽, 专业要专, 要使自己的专业 知识漫到其它领域. 1984年来中国矿业大学视察时给 给师生题词: “ 学而优则用, 学而优则创 ”.
冯
国际上享有盛名的计算数学家.
康
1944年毕业于重庆中央大学电机 工程系。曾任中科院计算中心主任、 名誉主任。还担任国内和国际上许 多大学，研究所的兼职教授、名誉 教授等职。1980年当选为中科院院士。 冯康主要从事计算数学研究，在拓朴群 和广义函数理方面取成就，参与我国计算技术、 与计算数学开创工作，构建了异与西方的有限元法， 辛方法等。成为计算数学学科的先进者和带头人。
注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学
理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 的方法 :
“ 割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 ” 极限思想 .
它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要
高斯(1777 – 1855)
第2节
误差与有效数字
误差的一般描述
一、误差的一般描述
定义1. x ____ 近似值, x ____ 精确值
*
e x x* _____ 误差(绝对误差)
e x * x ____ 误差限(绝对误差限)
x x x or x x
* * *
误差的一般描述 如：用毫米刻度的米尺测量一长度x，读出的数为
避免误差危害的若干原则
另一算法：
I 20 0.0087301587 1 1 I n1 5 ( n I n )( n 20,19, ,1)
这个算法是稳定的，因为由
I 20 引起的误差在
以后的计算过程中将逐渐减小。
避免误差危害的若干原则
二、防止相近的两数相减（损失过多的有效数字）
原则: “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.
华罗庚(1910 – 1985)
我国在国际上享有盛誉的数学家. 他在解析数论, 矩阵几何学, 典型群, 自守函数论, 多复变函数论, 偏微分方
程, 高维数值积分等广泛的数学领域中,
都作出了卓越的贡献 , 发表专著与学术论文近 300 篇. 他对青年学生的成长非常关心, 他提出治学之道是
数值分析的主要特点
三、数值分析的主要特点
借助计算机提供切实可行的数学算法.
所提出的算法必须具有：可靠的理论分析;理
想的精确度;收敛且稳定;误差可以分析或估计. 时间复杂性好__指节省时间； 计算复杂性好 空间复杂性好__指节省存储量。
通过数值实验证明算法行之有效.
误差的来源
第 1 节 误 差 的 来 源
相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异.
绝对误差限和相对误差限均无穷多,自然越小越好. 误差估计的任务就是提供好的误差限,对于任何一个近 似值,如果得到一个好的误差限,那么就可以肯定这些数 据是准确可靠的!
有效数字
二、有效数字
定义: 如果|e| = |x* - x| 0.5 10-k 称近似数x准确到
误差的分类
(1)模型误差__数学模型与实际问题之间出现的误差.
(2)观测误差___由观测产生的误差
(3)截断误差___由简化问题（公式）所引起的解的 误差(也称方法误差). 将函数 f ( x ) (1 x ) ln(1 x ) 展成的幂级数.
x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x o( x 11 ) 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110
数值计算中应注意的问题
避免误差危害的若干原则
避免误差危害的若干原则
2。应选用数值稳定性的计算方法; 2。避免两个相近的数相减; 3. 要防止大数“吃掉”小数; 1. 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值; 2。简化计算步骤和公式，设法减少运算次数。
避免误差危害的若干原则
一、使用数值稳定的计算公式
解 按定义，上述各数具有5位有效数字的近似数
分别是：
187.93，0.037856，8.0000，2.7183。
注意： 8.000033 的5位有效数字近似数是8.0000
而不是8，因为8只有1位有效数字.
有效数字
注 意
(1)有效数字的位数与小数点的位臵无关; (2)有效数位越多,相对误差越小.
百度文库
第3节
计算数学在中国的发展
1956年在华罗庚教授主持下，首先设立计算数学 研究组。伴随着我国独立研制成功的103计算机、104 计算机、119计算机、109乙机和109丙机相继投入运 行，及国民经济和国防建设对于科学和工程计算的强 烈需求，这支队伍发展壮大极为迅速， 高级研究人员 中有冯康、徐钟济教授。“文革”十年，仍在周总理 的支持下，不断发展。 二十世纪五、六十年代是我国计算技术、计算数 学与科学工程计算蓬勃发展的年代。研究领域几乎覆 盖了计算数学的所有分支。
如计算机只能表示8位小数，则导致大数“吃”了小数。 两数都写成绝对值小于1而阶码相同的数 两者结果不同,因为计算机计算时做加减法要 “对 阶”,“对阶”的结果使大数吃掉了小数.产生了误差. 为了避免由于上述原因引起的计算结果严重失真,可 以根据一些具体情况,存在需要把某些算式改写成另 一种等价的形式.
德国数学家、天文学家和物理学家,
是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、
代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 在对天文学、大 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 恪守这样的