2010-1讲：预备知识

误差的分类
(1)模型误差__数学模型与实际问题之间出现的误差.
(2)观测误差___由观测产生的误差
(3)截断误差___由简化问题（公式）所引起的解的 误差(也称方法误差). 将函数 f ( x ) (1 x ) ln(1 x ) 展成的幂级数.
x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x o( x 11 ) 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110
| x* x1 || 3 1.73 | 0.0020508... 0.20508.. 10 2
0.5 10 2 , 故x1有三位有效数字，准确 到小数点后两位。
| x * x2 || 3 1.7321 | 0.0000491... 0.491.. 10 4 0.5 10 4 , 故x2 有五位有效数字.
3.14 0.0016 0.5 10 2
误差的一般描述
e x x* * er __ x 的相对误差 理论式) ( x x
e x x* er * __ x *的相对误差 ( 应用式) x x*
e x* x er * r __ x *的相对误差限 x x*
数值分析的主要特点
三、数值分析的主要特点
借助计算机提供切实可行的数学算法.
所提出的算法必须具有：可靠的理论分析;理
想的精确度;收敛且稳定;误差可以分析或估计. 时间复杂性好__指节省时间； 计算复杂性好 空间复杂性好__指节省存储量。
通过数值实验证明算法行之有效.
误差的来源
第 1 节 误 差 的 来 源
《数值分析》性质、任务
性质
“数值分析”研究用计算机解决数学问题的数值方法及 理论，是与计算机使用密切结合的实用性强的数学课程。
任务
熟练掌握常用的数值算法的构造原理和过程分析； 提高算法设计和理论分析能力； 对所学数值计算方法能编程在计算机上算出结果 。
绪 论
第一章 绪论
数值分析的研究对象 误差的来源与分类 相对、绝对误差，有效数字
数值计算中应注意的问题
避免误差危害的若干原则
避免误差危害的若干原则
2。应选用数值稳定性的计算方法; 2。避免两个相近的数相减; 3. 要防止大数“吃掉”小数; 1. 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值; 2。简化计算步骤和公式，设法减少运算次数。
避免误差危害的若干原则
一、使用数值稳定的计算公式
小数点后第k位, 从这小数点后第k位数字直到最 左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字. 用四舍五入得到的数都是有效数字; 有效数字越多,误差越小,计算结果越精确.
有效数字 例 1.1 设x * 3 1.7320508x1=1.73, x2=1.7321, x3=1.7320是其近似值,问它们分别有几位有效数字?
主讲人：杨爱民 专 业：计算数学 院 系：理学院数学系 邮 箱：aimin_heut@
学习必要性
随着科学技术的发展和计算机的广泛应用，科学 计算已经成为平行于理论分析和科学实验的第三种科
学手段。
数值计算已经成为数学工作者、计算机工作者、 工程技术人员必须掌握的知识和工具。而《数值分 析》数学与计算机技术相结合的一门学科。
德国数学家、天文学家和物理学家,
是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、
代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 在对天文学、大 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 恪守这样的
第2节
误差与有效数字
误差的一般描述
一、误差的一般描述
定义1. x ____ 近似值, x ____ 精确值
*
e x x* _____ 误差(绝对误差)
e x * x ____ 误差限(绝对误差限)
x x x or x x
* * *
误差的一般描述 如：用毫米刻度的米尺测量一长度x，读出的数为
计算数学家 03 世纪 刘徽
16 世纪 笛卡儿 17 世纪 牛顿
莱布尼兹 伯努利
高斯
泰勒
18 世纪 欧拉 拉格朗日 19 世纪 雅可比 20 世纪 华罗庚
柯西
狄利克雷 维尔斯特拉斯
冯 康
刘徽(约225 – 295年)
我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的《重
差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评
从左到右,逐项相加 A 2000 k 2000. 如果先计算
，
避免误差危害的若干原则
例1.10 在4位有效数字的限制下，计算： 2000 A
1000 k 1 k
其中 0.1 i 0.4, i 1,2,...1000
解
A 2000 k 2000 1 2 ... 1000
k 1 1000 k 1 1000
xn 例1.6 建立积分 I n dx n 0,1, ,20 5 x 0
的递推关系式，并研究它的误差传递。 解： I n 5 I n1
0 1
1
x n 5 x n 1 1 n 1 dx x dx 5 x n 0
1
I 0 ln 6 ln 5 0.1823 可得算法： 1 I n n 5 I n1 ( n 1,2, ,20)
误差的传播
避免误差的准则
一 数值分析的研究对象
研究求数学问题近似解的方法和过程
实际问题
数学模型 数值计算方法的理论
程序设计 上机计算求出结果
研究内容
《数值分析》基本内容
二、数值分析的主要内容 Mathematica程序初步 插值与拟合 数值微分与数值积分 线性方程组的直接解法与迭代解
非线性方程的解法 常微分方程数值解法
原则: “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.
华罗庚(1910 – 1985)
我国在国际上享有盛誉的数学家. 他在解析数论, 矩阵几何学, 典型群, 自守函数论, 多复变函数论, 偏微分方
程, 高维数值积分等广泛的数学领域中,
都作出了卓越的贡献 , 发表专著与学术论文近 300 篇. 他对青年学生的成长非常关心, 他提出治学之道是
f '' ( x * ) f ( x ) f ( x * ) f ' ( x * )( x x * ) ( x x* ) 2
三、防止大数吃小数 当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运 算时,绝对值小的数有可能被绝对值大的数"吃掉"从 而引起计算结果不可靠. 例 1.9 求一元二次方程x2-(109 +1)x+109=0 的实数根. 解：采用因式分解法,很容易得到两个根为x1=109, x2=1. 若用求根公式，则
避免误差危害的若干原则
另一算法：
I 20 0.0087301587 1 1 I n1 5 ( n I n )( n 20,19, ,1)
这个算法是稳定的，因为由
I 20 引起的误差在
以后的计算过程中将逐渐减小。
避免误差危害的若干原则
二、防止相近的两数相减（损失过多的有效数字）
“ 宽, 专, 漫 ”, 即基础要宽, 专业要专, 要使自己的专业 知识漫到其它领域. 1984年来中国矿业大学视察时给 给师生题词: “ 学而优则用, 学而优则创 ”.
冯
国际上享有盛名的计算数学家.
康
1944年毕业于重庆中央大学电机 工程系。曾任中科院计算中心主任、 名誉主任。还担任国内和国际上许 多大学，研究所的兼职教授、名誉 教授等职。1980年当选为中科院院士。 冯康主要从事计算数学研究，在拓朴群 和广义函数理方面取成就，参与我国计算技术、 与计算数学开创工作，构建了异与西方的有限元法， 辛方法等。成为计算数学学科的先进者和带头人。
避免误差危害的若干原则
说 明
要避免出现这类运算，通常采用因式分解、 分子分母有理化、三角函数恒等式、其他恒 等式等方法。
x1 如果x1和x2 很接近时，应用 lg x1 lg x2 lg . x2
当x很大时, 应用 x 1 x
1 x x1 ,
当f ( x ) f ( x * )时 可用泰勒展开 一般情况，
注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学
理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 的方法 :
“ 割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 ” 极限思想 .
它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要
高斯(1777 – 1855)
| x * x3 || 3 1.7320 | 0.0000508... 0.508.. 10 4 0.5 10 3 , 故x3 有四位有效数字 .
有效数字
例1.2 按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效 数字的近似数：
187.9325，0.03785551，8.000033，2.7182818.
10 1 (10 1) 4 10 x 2
9 9 2 9
若用 位小数计算机运算，则 1 10 8 10
9
9
避免误差危害的若干原则
求得结果x1=109, x2=0是错误的。可改为
109 1 (109 1) 2 4 109 x2 2 9 9 2 10 2 10 9 1 9 109 1 (109 1) 2 4 109 10 10
这是因为计算机在计算过程中，由于要把参加 运算的数对阶，即把两数都写成绝对值小于1但阶 码相同的数而导致较小的数加不到较大的数中。这 种现象有时会影响计算结果的可靠性。
避免误差危害的若干原则
如：a 10 1，必须改写成
9
a 0.1 10 0.0000000001 10
10
10
如计算机只能表示8位小数，则导致大数“吃”了小数。 两数都写成绝对值小于1而阶码相同的数 两者结果不同,因为计算机计算时做加减法要 “对 阶”,“对阶”的结果使大数吃掉了小数.产生了误差. 为了避免由于上述原因引起的计算结果严重失真,可 以根据一些具体情况,存在需要把某些算式改写成另 一种等价的形式.
计算数学在中国的发展
1956年在华罗庚教授主持下，首先设立计算数学 研究组。伴随着我国独立研制成功的103计算机、104 计算机、119计算机、109乙机和109丙机相继投入运 行，及国民经济和国防建设对于科学和工程计算的强 烈需求，这支队伍发展壮大极为迅速， 高级研究人员 中有冯康、徐钟济教授。“文革”十年，仍在周总理 的支持下，不断发展。 二十世纪五、六十年代是我国计算技术、计算数 学与科学工程计算蓬勃发展的年代。研究领域几乎覆 盖了计算数学的所有分支。
相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异.
绝对误差限和相对误差限均无穷多,自然越小越好. 误差估计的任务就是提供好的误差限,对于任何一个近 似值,如果得到一个好的误差限,那么就可以肯定这些数 据是准确可靠的!
有效数字
二、有效数字
定义: 如果|e| = |x* - x| 0.5 10-k 称近似数x准确到
解 按定义，上述各数具有5位有效数字的近似数
分别是：
187.93，0.037856，8.0000，2.7183。
注意： 8.000033 的5位有效数字近似数是8.0000
而不是8，因为8只有1位有效数字.
有效数字
注 意
(1)有效数字的位数与小数点的位臵无关; (2)有效数位越多,相对误差越小.
第3节
123mm，它是x的近似值，它的误差限是0.5mm,即
x x 0.5 122.5 x 123.5
*
另外， 经过四舍五入得到的数，其误差必定不超
过被保留的最后数位上的半个单位，即最后数位上的
半个单位为其误差限。
如 : 取的近似值为 .14，则误差限为 .5 10 2， 3 0 因为