加速度瞬心法

vA C
aBnA
aB
vC
B
vB
aBt A
tan
2
v
2 A
s
in
l 2 cos3
( vA )2 tan l cos
（即点 C 的加速度方向水平向左，如图）
10
例 2 如图所示平面的曲柄连杆滑块机构，曲柄 OA 以匀角
速度 作逆时针转动，已知 OA = r ，AB = 2r ，试求在图
aA
aC
cos 60
a
n AC
cos 60
a
t AC
cos 30
r 2 2 r 2 2 0 r2
21
2 tan
aC
aA
aCnA
aCt A
大小 ？
0
1 l 2 1 l
2
2
方向 ？
√√
A aCnA
P
vA C
aCt A aBnA
aB
vC
B
vB
aBt A
7
aCx aCnA cos aCt A sin
1 l2 cos 1 l sin
2
2
1 l2 cos 1 l 2 tan sin
3 2
3
3 r 2 （方向如图）
3
aa
ae
ar
aC
大小 ?
aD
?
0
方向 √ √ √
aa aD
3 r 2
3
(
)
17
例 4 如图所示平面机构，曲柄 OC 以匀角速度 作逆时针
转动，已知 OC = r ，AB = 2r ，C 为杆 AB 的中点，试求图
示瞬时（曲柄 OC 与水平线夹角为 60° ），(1) 滑块 A 和滑
aB
3 r 2
6
aCy
aCn
1 2 aA
1 r2
2
aCn
vC2
1 r 2
2
vA A
aA
O
2vC2
r 2
2(r)2 r 2
2r
AB
C aCt
vC aCn
vB
aBt A
B aB
14
方法 2 ：加速度瞬心法
vA A
杆 AB 瞬时平移
AB 0 AB 0
aA
杆 AB 的加速度瞬心为点 P* O
示瞬时（曲柄 OA 处于铅垂位置）连杆 AB 中点 C 的轨迹的
曲率半径。 解
vA A
1. 速度分析： vA r ( ) 杆 AB 瞬时平移
aA
O
vC
C AB
vB
aBt A
B aB
AB 0 AB 0
vC vA vB r
2. 加速度分析： 方法 1 ：两点的加速度关系
aB
aA
4 AB
2 AB
r
4 02
r2
(
)
aB P*B
4 AB
2 AB
3r
4 02
3r 2 (
)
19
方法2：两点的加速度关系
aC OC 2 r 2
aB
aC
aBnC
aBt C
大小 ?
r 2
r
2 AB
r AB ?
方向 √ √
√
√
B aBt C
aB
aBnC
A
B
AB
aC C
沿水平向右投影得到
方向 √
√
aA
aCnA
aCt A
r 2 0 r AB
√
√
(**)
将式 (**) 沿铅垂向上方向投影，得到
aCn aA aCt A cos 30
vC2
r2 r AB
3 2
aBt A
B aB
12
vC2
r2 r AB
3 2
(r)2 r2 r 3 2 3
32
2r
转动，已知 OA = r ，AB = 2r ，在图示瞬时，曲柄 OA 处于
铅垂位置，试求图示瞬时滑杆 DE 的速度和加速度。
解
vA A
1. 运动分析：
va
D
E
动点：滑杆 DE 上的 点 D（套筒 D）；
ve
vC
B r/2
O
动系：与杆 AB 固连。
vB
2. 速度分析：
va ve vr
杆 AB 瞬时平移
块 解
B
的速度和加速度；(2)
杆
AB
的加速度vB瞬心的速度AB。
1. 速度分析：
BPຫໍສະໝຸດ vC rABvC PC
r
r
(
)
vA PA AB 3r ( )
vB PB AB r ( )
2. 加速度分析：
方法1：加速度瞬心法
ΔOCA 为等腰三角形
vC
C
A
O
vA
const
AB const
加速度瞬心法
1
一、加速度瞬心的概念
平面运动的刚体，在某一瞬时存在而且唯一存在速度 瞬心和加速度瞬心，但加速度瞬心与速度瞬心一般不重合， 且在不同瞬时速度瞬心或加速度瞬心为不同的点。
平面运动的刚体的速度瞬心与加速度瞬心的区别： (1) 速度瞬心 P ：
vP 0 aP 0
(2) 加速度瞬心 P* ： vP* 0 aP* 0
AB
aA P* A
r2
3r
32 (
3
)
AB
C aCt
vC aCn
aC
vB
aC P*C AB
r
3 2
3
3 r 2 （方向如图）
3
aCn
vC2
aCn aC cos 30
vC2
aC
cos 30
(r)2 3 r2 3
3
2
P*
B aB
2r
15
例 3 如图所示平面机构，曲柄 OA 以匀角速度 作逆时针
A
0 aC cos 60 aBnC cos 60 aBt C cos 30 O
0
r
2
1 2
r
2
1 2
r
AB
3 3
AB 0
沿 AB 方向投影得到 aB cos 30 aC cos 60 aBnC
aB
3 r 2 1 r 2
2
2
aB
3r 2 (
)
20
aC
1 2
( aA
aB
(
)
8
第二种方法：加速度瞬心法
aB
aA
aBnA
aBt A
大小 ？ 0 l 2 l ？
方向 √
√
√
将上式沿 BA 方向投影得到
A
P
vA C
aBnA
aB
vC
B
vB
aB aB
cos
a
n BA
cos
aBnA l2
cos
l(
vA
l cos cos
)2
l
v A2 cos3
aBt A
杆 AB 的加速度瞬心为点 A
)
大小 r 2
?
3r 2
方向 √
√
√
沿水平向左投影得到
aC
cos60
1 2
aA
aA aC r 2 ( )
另一种求滑块 A 的加速度的方法：
aA
aC
aAnC
aAt C
大小 ?
r 2
r
2 AB
r AB
方向 √ √
√
√
B aBt C
aB
aBnC
AB
AB
C
aC
aAnC
A
O
aA aAt C
沿水平向左投影得到
另一种方法：
将式 (*) 沿 AB 方向投影，得到
aB cos30 aA cos 60 vA A
3 2
aB
1 2
r 2
aA
aB
3 r 2
3
(
)
O
aB
(*)
aA
aBnA
aBt A
AB
C
vC
vB
aBt A
B aB
13
aC
aCn
aCt
1 2 (aA
aB )
aCx
aCt
1 2
tan
at MP*
a n MP*
2
结论： (1) aM 的大小与 P*M 成正比；
(2) aM 的方向为
arctan(。 2 ) 3
已知作平面运动刚体的角速度和角加速度以及某瞬时
刚体上某一点 M 的加速度的大小和方向，就可以确定该瞬
时刚体的加速度瞬心 P* ：
P*M
aM
4 2
加速度瞬心
解 1. 速度分析：
vA
PA
vA
l cos
(
)
A
vA
P C
vC
B vB
vC PC
1 l vA
2 l cos
vA
2 cos
（方向如图）
6
第一种方法：加速度基点法
大小
aB
？
aA
0
aBnA
l 2
aBt A
l
？
方向 √
√
√
将上式沿铅垂向上投影得到
0 aBnA sin aBt A cos 0 l2 sin l cos
AB l aB
4 2
()
(aB )2 4
l
(
l
2
v
2 A
c os3
)2
( l
vA
cos
)4
vA2 sin l 2 cos3
9
aC AC 4 2
l 2
( l
vA
cos
)4
(
vA2 sin l 2 cos3
)2
l 2
l
2
v
2 A
cos2
1 tan2
2l
vA2
cos3
A P
aC
aBnA
aBt A (*)
大小 ? r 2 0 2r AB ?
方向 √ √
√
11
将式 (*) 沿铅垂向上方向 vA A
投影，得到
0 aA aBt A cos30
aA
r 2 2r AB
3 2
O
AB
aCt A
C aCt
vC aCn
vB
AB
3 2
3
(
)
aC
aCn
aCt
大小 vC2 ? ?
AB 0 AB 0 ve vC vA vB r
va ve r ( )
vr 0
16
3. 加速度分析：加速度瞬心法
点 P* 为杆 AB 的 加速度瞬心
AB
aA P* A
r2
3r
32 ( )
3
A
ar
aA
aa
O
AB D
aD
P*
E B r/2
aB
aD P*D AB r
AB AB 0
18
杆 AB 的加速度瞬心为点 A 、B 、 C 加速度方向线的汇交点 P*
B
P
（与点 O 重合），如图
AB
vP* PP* AB 2r（方向如图） aC OC 2 r 2
aC P*C
4 AB
2 AB
r2
（方向如图）
aB
C
vP*
aC
O
P* aA
A
aA P*A
P*
位于：点
M
的加速度矢量
aM
沿刚体角加速
度 的转向转过 arctan( 2 ) 的角度。
例如：纯滚动圆盘
aC r
P*C aC
r
4 2
4 2
tan
2
C
aC
r
aP
P*
P
4
几种特殊情况：
(1) 若刚体上点 A 的
vA
为常矢量，则点
A
为加速度瞬心。
(2) 若 0 ， 0 ，则 2 。
对速度瞬心同学们已经很熟悉了，下面来讨论加速度 瞬心的问题。
2
二、加速度瞬心的确定
平面运动的刚体，其加速度
瞬心为 P* ，如图所示。
aM
aP*
aMn P*
aMt P*
aP* 0
an MP*
P*M
2
at MP*
P*M
M
aMt P*
aMn P*
P*
aM
aM (aMn P* )2 (aMt P* )2 P*M 4 2
2
2
l2 2 c os
2l
vA2 cos3
A aCnA
P
aC
vA C
aCt A aBnA
aB
vC
B
vB
aBt A
aCy aCnA sin aCt A cos
1 l2 sin 1 l cos
2
2
1 l2 sin 1 l 2 tan cos 0
2
2
即
aC
aCx
vA2
2l cos3
（瞬时平移或瞬时静止）
aA B
A
aB
(3) 若 0 ， 0 ，则 0 。
（匀角速度转动）
P*
三、加速度瞬心的应用举例
B
A
aB
aA
P*
5
例 1 长度为 l 面滑动，已知
v的A 杆为常AB矢，量其，A试、求B当两杆端分AB别与沿水铅平垂面面夹和角水为平
时杆 AB 中点 C 的速度和加速度。