多尺度模拟与计算研究进展

多尺度模拟与计算研究进展

张廼龙1郭小明

东南大学土木工程学院工程力学系，南京 210018

摘 要：简要介绍了多尺度模拟与计算方法及其实施策略。重点论述了模拟计算两类常见多尺度问题的方法与研究进展。求解含有孤立缺陷问题有非局部准连续体法，MAAD法，CGMD法，粗粒化蒙特卡罗法，直接蒙特卡罗法，连续体-分子动力学模型法等；基于微观模型本构模拟问题有局部连续体法，人工压缩法，气体动力学法，HMM等方法。最后对多尺度模拟与计算的前景进行展望。

关键词多尺度方法，模拟与计算，实施策略

1 引言

在自然科学和实际工程中所遇到的几乎所有问题在本质上都是多尺度的。尽管物质都是由原子和电子组成，然而，在不同尺度上其结构和性能又各有特点。混凝土材料中几个微米裂纹与整个宏观结构层面上的裂缝力学特性可能完全不同。大气中的漩涡结构大小可能是几米，也可能绵延数千公里，其运行模式差异很大。蛋白质、核酸等的运动可以从若干飞秒跨越到若干秒的时长，明显的特征是不同尺度间结构和行为特点差异巨大。

在对材料性能要求不高，或者系统的设计不是很复杂时，这种多尺度特性并没有得到足够的关注。因为单一尺度量级的模型即使忽略较高或者较低尺度的影响也能够获得满意的结果。但是随着人类对材料的使用和要求不断提高，设计的结构系统不断复杂化，单一尺度量级的等效模型显示出其固有的局限性。其中一个主要的局限性就是它的精度无法满足实际应用的要求。这种情况在复杂材料或系统中尤为突出，例如，复杂流体。它的局限性还表现为忽略微观尺度上的力学性能，通常这些性能对模型的合理性有着至关重要的影响。例如，混凝土的微观结构对其宏观性能(强度、尺寸稳定性以及耐久性等)有着重要的影响，而当前居于主导地位的混凝土模型不能够有效的反应出微观结构对其宏观性能的影响。有些单一尺度量级的模型是半经验的。因此，为了获得能够应用于实际的结果，人们选择精度更好，基础更加扎实的微观尺度模型。然而，在整个系统上使用微观尺度量级的模型，增加了建模的复杂性和庞大的计算量，甚至无法实现。而结果可能包含许多不需要的信息，甚至掩盖了有用信息，

基金项目：江苏省基础研究计划项目(BK2009259)资助

1作者简介：张廼龙，(1981-)，男，博士

Email：xmguo@ 加大了提取有用信息的难度，显然，这不是最佳选择。应该考虑采用既能够反映不同尺度上结构和性能的模型，避免在整体上使用微观模型产生的模型太复杂以至于无法计算的问题。

多尺度科学[l]是一门研究不同空间尺度或时间尺度相互耦合现象的跨学科科学，是复杂系统的重要分支之一，具有丰富的科学内涵和研究价值。多尺度模拟考虑空间和时间的跨尺度与跨层次特征，并将相关尺度耦合起来，提高模拟和计算效率，是求解各种复杂的材料和工程问题的重要方法和技术。

综上所述，多尺度现象存在于生活的各个方面，涵盖多个领域，如微观、细观和宏观等多个物理、力学及其耦合领域[2]。对材料性能的要求不断提高，系统设计的不断复杂化是促使多尺度模拟与计算的出现和发展的原动力。多尺度模拟的目标是要抓住不同时空条件下材料或者系统的物理响应特征，预测其性能或者使用寿命，掌握较小尺度的结构与性能对材料或者系统宏观行为的影响。多尺度模拟和计算是一个正在迅速发展的热点与前沿研究领域[3]，特别是在多物理的(mufti-physical)现象非常显著材料科学、化学、流体力学和生物学等领域。

本文介绍了宏观模型含有分散的孤立缺陷和基于微观模型推测宏观性能的模拟与计算的一些方法：非局部准连续体法，MAAD法，CGMD法，粗粒化蒙特卡罗法，直接蒙特卡罗法，连续体-分子动力学模型法，人工压缩法，气体动力学法，HMM等方法及其研究进展。最后对多尺度方法的前景进行展望。

2 多尺度模拟与计算

2.1 多尺度问题与方法

多尺度问题表现为：已知一个模型的宏观描述，但是它在某些局部的空间或者时间尺度上不

能有效地描述其行为，或者说宏观描述在局部区域失效，必须要用微观的非线性描述来替代。模型的微观特性既受制于宏观上的作用因素，又可能显著影响宏观性能。但是，微观结构，性能与状态何时、以怎样的途径去影响宏观性能并不清楚。这些问题对材料与系统等的设计至关重要。

假定一个给定系统的微观行为可以使用微观模型变量u表示，系统的宏观行为用宏观模型变量U表示，那么宏观模型变量U与微观模型变量

u可以通过压缩乘子Q或者重构算子R联系起来：

U Qu

=(1)

RU u

=(2) 然而，对用以描述宏观行为的状态变量U来说，宏观模型在某些局部区域失效。如果在整个系统中使用微观模型，显然太复杂，计算量太大。同时，我们也并不关心系统在微观方面的特性，我们关心的是系统在宏观方面的行为。例如，对于输送管道系统而言，重要的是管道每天的输送能力如何，至于管道中的流体分子在管道中是如何运动并不重要。因而，需要将微观模型作为宏观模型的补充，或者划分出局部区域建立微观模型，使之为获取系统宏观行为提供必要的信息，目的是希望通过这种多尺度模型获取对系统宏观行为的描述，显然要比在整体上使用微观模型更加高效，也更容易实现。

多尺度方法是计算科学的一个重要组成部分，也必将是解决工程实际问题的有力工具。按照连接尺度的范围，目前多尺度模拟主要包含纳观、微观、细观和宏观等几个主要尺度的模拟。通常情况下，在纳观尺度上使用的是量子力学(quantum mechanics, QM)理论，在微观尺度上使用的是分子动力学(molecular dynamics, MD)理论，而细观和宏观尺度是基于连续介质力学(continuum mechanics, CM)理论，但是细观尺度比宏观小得多并且可能有一定的随机性，需要结合统计学方法。

建模的策略有两种。一种策略是先在较低层次的尺度上建模，然后将结果放入高层次尺度模型，这是一个从小尺度到大尺度的递阶过程。但是在低尺度建模中的理论是一个重要问题。采用这种策略的方法一般称作信息传递的多尺度方法(information-passing multi-scale methods)[4,5]或递阶的多尺度方法(hierarchical multi-scale methods)[6]。另一种策略是在不同尺度上同时建模，将区域分成不同尺度定律控制的区域，这些区域可以重叠也可以不重叠，在交界处实现连接。这种策略中，区域之间的连接也是一个重要问题。采用这种策略的方法一般称作并发(一致)的多尺度方法(concurrentmulti-scale methods)。

2.2 多尺度模拟与计算

目前，对于不同类型的问题，多尺度计算方法也不尽相同。就多尺度建模和计算而言，可以将多尺度问题按其自身特性进行分类，根据每一类情况的特性，发展出了不同的建模与计算方法。本文只介绍较为常见的两类多尺度问题的模拟与计算。一种含有分散的孤立缺陷的问题，另一种是基于微观模型推测宏观行为问题。

2.2.1含有分散的孤立缺陷问题

对于含有分散孤立缺陷这一类问题(固体中的微裂纹，位错，振荡，流体中的接触线(contact line)以及生物多聚体中的酶(促)反应等)，其特点是：建立模型时，需要在出现缺陷或者奇异性的局部区域建立微观模型，而远离这些缺陷或者奇异性的其它区域仍然可以使用宏观模型。

非局部准连续体方法(quasi-continuum method)[7-10]可以用于模拟单晶体中诸如微裂纹和位错等缺陷问题。这种情况下，微观模型采用分子动力学模型，宏观模型采用非线弹性模型，从而能够实现纳观——连续介质力学和微观——连续介质力学间的连接。自适应的网格细化方法使得准连续体方法能够识别出缺陷的局部区域，并能够局部细化到原子尺度，以期求解包含缺陷的整个局部区域的详细信息。但忽略了原子的振动，因而在低温时静态模拟精度较好。整个系统总能量计算公式为：

1

()

rep

N

a a a

a

E n E u

=

=∑(3)

其中E为系统总能量，N rep为代表性原子的总数目，n a为由代表性原子代替的原子数目，E a 为代表性原子的能量。这一方法在模拟计算实际问题中的详细应用参见文献[11-14]。

MAAD(MacroAtomistic ab-initio Dynamics)。该方法由Abraham[15-17]等人提出，对随后的许多其它多尺度模拟方法的发展有很大的促进作用。最初用于仿真硅的裂纹扩展过程，利用最简单的Tight-Binding模型模拟裂纹尖端处键能的断裂，在围绕裂纹尖端区域使用分子动力学模拟位错现象，远离裂纹尖端区域使用有限元模型，为分子