空间向量与空间距离(选学)

如图所示， 已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1 是底面 4 边长为 1 的正四棱柱．若点 C 到平面 AB1D1 的距离为 ，求 3 正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的高．
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第三章
空间向量与立体几何
解：设正四棱柱的高为 h(h>0)，建立如图所示的空间直角坐 标系，有 A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1， → → → h)，则AB1＝(1，0，－h)，AD1＝(0，1，－h)，AC＝(1，1， 0)，
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第三章
空间向量与立体几何
点到平面的距离：一点到它在一个平面内正射影的距离，叫 做点到这个平面的距离．
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第三章
空间向量与立体几何
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面 α 外一点 A 到平面 α 的距离， 就是点 A 与平面内一点 → B 所成向量AB的长度．( )
(2)直线 l∥平面 α，则直线 l 到平面 α 的距离就是直线 l 上的 点到平面 α 的距离．( )
答案：C
) B．5 D.3 5
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空间向量与立体几何
已知直线 l 过点 A(1，－1，2)，和 l 垂直的一个向量为 n ＝(－3，0，4)，则 P(3，5，0)到 l 的距离为( A．5 14 C. 5
答案：C
)
B．14 4 D. 5
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第三章
空间向量与立体几何
已知直线 l 与平面 α 相交于点 O，A∈l，B 为线段 OA 的 中点，若点 A 到平面 α 的距离为 10，则点 B 到平面 α 的距 离为________．
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空间向量与立体几何
→ |EF|＝ 12＋（－2）2＋12＝ 6， → → FA· EF＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， → → |FA· EF| 1 → → FA在EF上的投影长为 ＝ . → 6 |EF| 所以点 A 到 EF 的距离 d＝ ＝ |FA|
2
－
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第三章
空间向量与立体几何
用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量． (3) 计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向 向量上的射影长． (4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点 到直线的距离之间的转化．
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第三章
1 1 ＝x＋2y，2x＋y，z，(x＋y＋z＝1)
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空间向量与立体几何
1 1 → → PE＝1，2，－1，PF＝2，1，－1. 1 11 5 → → 所以DH· PE＝x＋ y＋ 2x＋y －z＝ x＋y－z＝0. 2 2 4
1 2 6
29 174 ＝ . 6 6
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空间向量与立体几何
探究点 2 点到平面的距离 如图， 已知正方形 ABCD 的边长为 1， PD⊥平面 ABCD， 且 PD＝1，E，F 分别为 AB，BC 的中点．
(1)求点 D 到平面 PEF 的距离； (2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离．
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空间向量与立体几何
3．已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，E，F，G 分别 是 C1C，D1A1，AB 的中点，求点 A 到平面 EFG 的距离．
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空间向量与立体几何
解：建系如图，则 A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)， → G(2，1，0)，所以AG＝(0，1，0)， → → GE＝(－2，1，1)，GF＝(－1，－1，2)． 设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量， 点 A 到平面 EFG 的距离为 d，
答案：5
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空间向量与立体几何
探究点 1
点到直线的距离
如图， 在空间直角坐标系中有长方体 ABCDA′B′C′D′， AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点 B 到直线 A′C 的距离．
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空间向量与立体几何
【解】
因为 AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以 A′(0，0，3)，
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空间向量与立体几何
【解】 (1)建立如图所示的空间直角坐标 系，则 D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0， 0)，C(0，1，0)，
1 1 E1，2，0，F2，1，0.
设 DH⊥平面 PEF，垂足为 H，则 → → → → DH＝xDE＋yDF＋zDP
C(1，2，0)，B(1，0，0)， → 所以直线 A′C 的方向向量A′C＝(1，2，－3)． → 又BC＝(0，2，0)， → → |BC· A′C| 4 → → 所以BC在A′C上的投影长为 ＝ . → 14 |A′C|
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空间向量与立体几何
所以点 B 到直线 A′C 的距离 d＝ 2 35 ＝ . 7 → → A′C2 → 2 BC· |BC| － ＝ → |A′C| 16 4－ 14
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空间向量与立体几何
→ n· GE＝0 －2x＋y＋z＝0， 则 ，所以 → －x－y＋2z＝0， GF＝0 n·
x＝ z ， 所以 所以 y＝ z，
n＝(z，z，z)，令 z＝1，
此时 n＝(1，1，1)， → |AG· n| 1 3 所以 d＝ ＝ ＝ ， |n| 3 3 3 即点 A 到平面 EFG 的距离为 . 3
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空间向量与立体几何
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空间向量与立体几何
已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 C1C，D1A1 的中点，求点 A 到 EF 的距离．
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空间向量与立体几何
解：以 D 点为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设 DA＝2，则 A(2， → → 0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，则EF＝(1，－2，1)，FA＝ (1，0，－2)．
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空间向量与立体几何
1．若三棱锥 PABC 的三条侧棱两两垂直，且满足 PA＝PB ＝PC＝1，则点 P 到平面 ABC 的距离是( 6 A. 6 3 C. 6 6 B. 3 3 D. 3 )
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第三章
空间向量与立体几何
解析：选 D.分别以 PA，PB，PC 所在的 直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐 标系， 则 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)． 可以求得平面 ABC 的一个法向量为 n＝ (1，1，1)， → |PA· n| 3 则 d＝ ＝ . |n| 3
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第三章
空间向量与立体几何
知识结构
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第三章
空间向量与立体几何
深化拓展 点面距、线面距、面面距的求解思路 线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到 平面的距离的前提是线面、面面平行． 点面距的求解步骤： (1)求出该平面的一个法向量． (2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量． (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以 法向量的模，即可求出点到平面的距离.
2 2 2 （ x － x ） ＋（ y － y ） ＋（ z － z ） 2 1 2 1 2 1 ______________________________________
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第三章
空间向量与立体几何
分类 点到平面 的距离
向量求法 设平面 α 的法向量为 n，B∉α ，A∈α ，则 B → |BA· n| 点到平面 α 的距离 d＝ |n|
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空间向量与立体几何
第 3 课时
空间向量与空间距离(选学)
第三章
空间向量与立体几何
1.了解点到直线、平面距离的概念． 向量求点到直线、平面的距离．
2.会用空间
第三章
空间向量与立体几何
空间距离的向量求法 分类 向量求法 设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意 → 两点间的距离 两点，则 d＝|AB |＝ → →＝ AB· AB
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第三章
空间向量与立体几何
2．已知直线 l 经过点 A(2，3，1)，且向量 n＝(1，0，－1) 所在直线与 l 垂直，则点 P(4，3，2)到 l 的距离为________．
→ 解析：因为PA＝(－2，0，－1)，又 n 与 l 垂直， → |PA· n| |－2＋1| 2 所以点 P 到 l 的距离为 ＝ ＝ . |n| 2 2 2 答案： 2
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空间向量与立体几何
设平面 AB1D1 的法向量为 n＝(x，y，z)， → n· AB1＝0， x－hz＝0， 则 即 取 z＝1，得 n＝(h，h，1)，所 → y－hz＝0， AD1＝0， n· → h＋h＋0 |n· AC| 4 以点 C 到平面 AB1D1 的距离为 d＝ ＝ 2 ＝ ， 2 |n| h ＋h ＋1 3 解得 h＝2.故正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的高为 2.
5 → → 同理，DH· PF＝x＋ y－z＝0， 4 又 x＋y＋z＝1， 4 9 所以可解得 x＝y＝ ，z＝ . 17 17
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空间向量与立体几何
→ 3 所以DH＝ (2，2，3)． 17 3 → 所以|DH|＝ 17. 17 3 因此，点 D 到平面 PEF 的距离为 17. 17
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空间向量与立体几何
1 → → 2 2 2 所以AH′· EH′＝4λ ＋4λ －λ＋9λ ＝0，即 λ＝ . 17 1 17 → → 所以AH′＝ (2，2，3)，|AH′|＝ ， 17 17 又 AC∥平面 PEF， 17 所以 AC 到平面 PEF 的距离为 . 17
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(3)若平面 α∥β，则两平面 α，β 的距离可转化为平面 α 内某 条直线到平面 β 的距离，也可转化为平面 α 内某点到平面 β 的距离．( 答案：(1)× ) (2)√
(3)√
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空间向量与立体几何
空间内有三点 A(2，1，3)，B(0，2，5)，C(3，7，0)，则 点 B 到 AC 的中点 P 的距离为( 10 A. 2 3 10 C. 2
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第三章
空间向量与立体几何
→ → (2)连接 AC，设 AH′⊥平面 PEF，垂足为 H′，则AH′∥DH， → 设AH′＝λ(2，2，3)＝(2λ，2λ，3λ)(λ＞0)，则
1 → → → EH′＝EA＋AH′＝0，－2，0＋(2λ，2λ，3λ) 1 ＝2λ，2λ－2，3λ.
第三章
空间向量与立体几何
用向量法求点面距的步骤
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． → (3)求向量：求出相关向量的坐标(AP，α 内两不共线向量，平 面 α 的法向量 n)． → |AP· n| (4)求距离 d＝ . |n|
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第三章
空间向量与立体几何