数值计算课件第二章非线性方程的数值解法

，
否则检查 与 是否同号，如同号，说明待求
的根 在 的右侧，这时令
；如 在
的左侧，这时令
，这样新的有根区间
的长度为 之半。
a
xa01 x*
x1
b1
二分法
对压缩了的有根区间 又可施以同样的手续，
即用中点
将区间 分为两半，然后判定
待求的根 在 的哪一侧，从而又确定一个新的有
根区间 ，其长度为 的一半。如此反复，
推x论*
2）任取 x0[a, b]，由迭代过程 xk+1 =φ (xk) 收敛于
误差估计式：
验后误差估计
：
验前误差估计 ：
证明：① φ (x) 在[a, b]上有根？ 令
3 简单迭代法
有根
有根 ✓
② 根唯一？ 反证：若不然，设还有
，则 在
而
③ 当k 时， xk 收敛到 x* ？
和 之间
y=x
p1
x x0 x* x1
收敛定理 考虑方程 x =φ(x), φ(x)在[a, b]上连续, 若
简单迭代法
( I ) 对所有 x[a, b] ，有 φ (x)[a, b]；
( II ) 存在 0 L < 1 ，使所有 x[a, b] 有| φ’(x) | L < 1 。
则：1）方程x = φ (x)在[a, b]上的解x*存在且唯一。
② 根的存在性定理：
定理：若 f 在[a, b]上连续，且 f (a) ·f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上必有一根；若 f 在[a, b]上连续且单调则 f 在 (a, b) 上有且仅有一根。
2.1.1逐步搜索法
例：求连续函数 f(x) 在有根区间[a,b]上的根。
思路：先把区间[a,b]均分为N等分，从初始值x0=a开始，步长
即可得出一系列有根区间
其中 的长度
二分法
每次二等分后，设取有根区间的中点
作
为根的近似值，则在二分过程中可以获得一个近似
根的序列
，该序列以根 为极限。
误差 分析：
若取区间的中点
作为 的近似值，
则误差估计为：
所以在实际计算时，只要二分足够多次，便有
。这里，为预定精度。
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ：
。✓
✓
L<
3 简单迭代法
④
可用
来
控制收敛精度
✓
⑤
L 越 小 收敛越快
注：定理条件非必要条件，对某些问题在区间[a, b]上不
满足| φ’(x) | L < 1 ，迭代也收敛。 ✓
实际应用中还是用此定理判断收敛性，当不满足收敛
条件时，改变迭代公式使之满足。
2.2.3 迭代法局部收敛性
对以上定理中的条件⑴，所有
二分法
二分法特点： 优点：简单， 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . 缺点：收敛慢（ 等比级数）
无法求复根及偶重根
注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大概 位置。或用搜索程序，将[a, b]分为若干小区间，对每一个 满足 f (ak)·f (bk) < 0 的区间调用二分法程序，可找出区间 [a, b]内的多个根，
求方程f(x)=0的根的二分法算法
2.2 简单迭代法
2.2.1 迭代原理 2.2.2 迭代的收敛性 2.2.3 迭代的收敛速度 2.2.4 迭代的加速
2.2 简单迭代法 2.2.1迭代法原理：
等价变换
f (x) = 0
x = φ (x)
f (x) 的根
φ (x) 的不动点
从一个初值 x0 出发,计算 x1 = φ(x0), x2 = φ(x1), …, xk+1
2.2.4迭代过程的收敛速度
迭代过程的收敛速度，是指在收敛时迭代误差的下降速度。
迭代法的收敛速度常用收敛阶表示
定义：设迭代过程
收敛于 的根 ，
，使
注意到 ，又当
时 ，故有:
由收敛定理的条件⑴可以断定
对于任意 收敛。
由于在实际应用中根 x* 事先不知道，故条件 | φ ′(x* )| < 1
无法验证。但已知根的初值x0在根 x*邻域，又根据φ ′(x)的 连续性，则可采用
| φ ′(x0 )|< 1 来代替| φ ′(x* )| < 1，判断迭代的收敛性。
数值计算课件第二章非线性 方程的数值解法
求非线性方程根的一些常用方法：
➢ 区间分割法（逐步搜索法、 二分法） ➢ 迭代法 ➢ 牛顿法 ➢ 割线法
2.1区间搜索法
预备知识：
① 方程的根：单根、重根。
定理 函数 f (x)对于x* 有f (x*) =0，但
则称 为方程的单根。如果有
但
，则称 是方程 的 m重根。
h＝（b－a）/N来增值。每跨一步进行一次根的搜索。 计算速度慢，一般用于确定根的位置
2.1.2 二分法 思路：二分法的基本思想 就是逐步对分区间,经过对根的搜
索，将有根区间的长度缩小到充分小，从而求出满足精度的 根 的近似值。
二分法的步骤： 在有根区间 取中点
二分法
，计算函数
值
，若
，就得到方程的实根
思 = φ(xk), … 若
收敛，即存在 x* 使得
路
，只要 φ 连续，则
，也就是 x*
= φ(x* )，即x* 是 φ 的根，也就是f 的根。若｛ xk｝
发散，则迭代 法失败。
xk+1 = φ(xk) 称为迭代格式， φ(x) 称为迭代函数 x0 称为迭代初值, 数列 称为迭代序列
迭代法：是一种逐次逼近的方法。它是用某个固
定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确，最后得 到满足精度要求的结果。
迭代法思想：将隐式方程 x =的φ 求(x)根问题归结为
计算一组显式xk+1 = φ(xk) ，也就是说，迭代过程是一个 逐步显式化的过程。
例题
例2.2.1 试用迭代法求方程
在区间(1，2)内的实根。
解：由
建立迭代关系
k=10,1,2,3…….
计算结果如下:
例题 精确到小数点后五位
例题 但如果由
建立迭代公式
仍取
，则有
，
显然结果越来越大， 是发散序列
y
y=x
p1
y= φ(x)
p0
✓
x
x0
x1 x*
y
y=x
y= φ(x)
p0
p1
x x1 x0 x*
y p0
简单迭代法 y=x
✓
y= φ(x) p1
x0
x*
y
y= φ(x)Leabharlann p0x x1，，
一般不容易验证。实际使用迭代法时，通常总是在
根 的邻域进行。
定义 如果存在 的某个邻域
， 是任意
指定的正数，使迭代过程
对于任意初值
1 均收敛，则迭代过程
在根 邻域具
有局部收敛性。
局部收敛性定理：
设函数 在 阶导数，且 有局部收敛性。
的根 邻近有连续的一
， 则迭代过程
具
证: 由于 ，存在 的充分小邻域 成立，据微分中值定理，有: