高考总复习一轮《名师一号数学》第48讲

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高考总复习（文、理）
＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)
＝－4λ＋8μ＝0知，
只要λ，μ满足－4λ＋8μ＝0即可使λa＋μb与z轴垂直
[点评] 由本例可知，要使向量a＝(x1，x2，x3)与z轴垂直，只要 x3＝0即可．可见，要使向量a与某一个坐标轴垂直，只要向量a的相应坐
等于( )
2
9
A.3
B.2
C．－92
D．－23
解析：由－13＝－λ32＝－52125，可知 λ＝92.
答案：B
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高考总复习（文、理）
3．已知 a·b＝0 且 a＝(2，－3,5)，则 b 可以是( )
A.12，－13，15
B.12，13，0
C.－21，13，15
D．(0,3,3)
解析：采用代入验证法知12×2－3×13＋5×0＝0.
∴sin〈a，b〉＝ 965，
∴S＝|a|·|b|·sin〈a，b〉＝ 65.应选 A.
答案：A
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类型一 空间向量的坐标运算 解题准备：向量坐标的运算，就是向量的同名坐标之间的代数运 算，向量相等就是对应坐标相等．要注意区分点的坐标与向量的坐标的 关系． 【典例1】 设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b ，a·b以及a与b所成的角的余弦值，并确定λ，μ的值，使λa＋μb与z轴垂 直．
E
的坐标分别是
22，
22，0、(0,0,1)，
∴N→E＝(－ 22，－ 22，1)．
又点 A、M 的坐标分别是( 2， 2，0)、
22，
22，1，
第四十八讲 (第四十九讲(文))空间向量的坐标运算
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回归课本 1.如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这 个基底叫做单位正交基底，常用i，j，k来表示．
在空间选定一点O和一个单位正交基底，如图，以点O为原点，分
别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐
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【典例2】 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相 垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE； (2)求证：AM⊥平面BDF.
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[证明] (1)建立如图所示的空间直角坐
标系．设 AC∩BD＝N，连结 NE，则点 N，
答案：B
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4．已知 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂
直，则 k 的值是( )
A．1
1 B.5
3
7
C.5
D.5
解析：|a|＝ 2，|b|＝ 5，
a·b＝－1＋0＋0＝－1，
(ka＋b)⊥(2a－b)⇒(ka＋b)·(2a－b)＝0
⇒2k|a|2－|b|2＋(2－k)a·b＝0
标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O－xyz，点O叫原点，向
量i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分
别称xOy平面、yOz平面、zOx平面．
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作 空 间 直 角 坐 标 系 O － xyz 时 ， 一 般 使 ∠ xOy ＝ 135° ， ∠ yOz ＝ 90°.
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ＝－＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的 有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
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对于空间任一向量a，由空间向量的基本定理，存在唯一的有序实 数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k.
有序实数组(a1，a2，a3)叫做a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标， 记为a＝(a1，a2，a3)．对于空间任一点A，对应一个向量，于是存在唯一 的有序实数组x，y，z，使＝xi＋yj＋zk，即点A的坐标为(x，y，z)．
标为零即可，且反之亦真．空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标 运算，解决此类问题关键是熟练运用公式．．
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类型二 空间向量的平行与垂直问题
解题准备：用向量方法证明线面平行有多种方法，一是证明直线 的方向向量与平面内的某一向量是共线(平行)向量；二是证明直线的方 向向量与该平面的法向量垂直；还可以证明直线的方向向量与平面的两 不共线向量是共面向量，即利用平面向量基本定理进行证明，同学们不 妨试一下这种方法．
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考点陪练
1.(2011·武汉)已知 A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O→A ＋λO→B与O→B的
夹角为 120°，则 λ 的值为( )
A．±
6 6
6 B. 6
C．－
6 6
D．± 6
答案：C
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高考总复习（文、理）
2．已知 a＝1，－23，52，b＝－3，λ，－125，且 a∥b，则 λ
⇒2k×2－5＋(2－k)·(－1)＝0⇒k＝75. 答案：D
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5．已知 a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以 a，b 为邻边的平行
四边形的面积为( )
A. 65 C．4
65 B. 2 D．8
解析：由 a·b＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4，
|a|＝3，|b|＝3，cos〈a，b〉＝49.
2．向量的直角坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2
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高考总复习（文、理）
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3； a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)或＝＝(b1，b2，b3 均不为0)．
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3．夹角和距离公式 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 |a|＝ a·a＝ a12＋a22＋a32 |b|＝ b·b＝ b12＋b22＋b32 cos〈a，b〉＝|aa|··|bb|＝ a12＋aa12b2＋1＋aa322b2b＋12a＋3bb322＋b32.