用向量方法求空间中的距离
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ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究四
【典型例题 1】如图,正方形 ABCD,ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD,ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a< 2). (1)求 MN 的长; (2)当 a 为何值时,MN 的长最小? 思路分析:解答本题可先建立空间直角坐标系,利用向量的模求出两点 间的距离,再用函数的性质来求最值.
探究一
探究二
探究四
探究一求两点间的距离
计算两点间的距离的基本方法: (1)把线段用向量表示,然后利用|a|2=a·a,通过向量运算求|a|. (2)求解的图形适宜建立空间直角坐标系时,可用坐标法求向量的长度 (或两点间距离).
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1.1 DNA重组技术的基本工具
探究三
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
|PA·������| . |������|
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1.1 DNA重组技术的基本工具
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思考 1 如何求线面距离和面面距离? 提示:线面距离、面面距离都可以转化为点到面的距离. 思考 2 如果 n 与 l 垂直,且 l 过点 A,如何求点 P 到直线 l 的距
离? 提示:点 P 到 l 的距离为������������在 n 上的投影的绝对值,即 d=
|PA·������| . |������|
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|������|
2.计算直线上点 A 与已知点 P 对应的向量������������ . 3.计算������������ 在 n0 上的投影������������ ·n0. 4.由公式 d= |AP|2 -|AP·������0 |2求距离.
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解:因为 AB=1,BC=2,AA'=3,所以 A'(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0), 所以直线 A'C 的方向向量������'������ =(1,2,-3). 又������������ =(0,2,0). 所以������������ 在������'������上的投影为
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【典型例题 2】如图所示,在空间直角坐标系中有长方体 ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3,求点 B 到直线 A'C 的距离.
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1.1 DNA重组技术的基本工具
第四课时 用向量方法求空间中的距离
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课程目标 1.理解空间中两点间的距离、点到直线的距 离、点到平面的距离以及与平面中相应知识 的异同. 2.能用向量方法解决空间中的两点间的距 离,点到直线的距离,点到平面的距离1 2
即 M,N 分别为 AC,BF 的中点时,MN 的长最小,最小值为 2 .
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探究二求点到线的距离
求点 P 到直线 l 的距离可分以下几步完成. ������ 1.在直线 l 上取一点 A,同时确定直线 l 的方向向量 n,并求 n0= .
学习脉络
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空间中距离的向量求法 (1)两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离 dAB=|������������|= (������2 -������1 )2 + (������2 -������1 )2 + (������2 -������1 )2 . (2)已知点 P 和直线 l 上任一点 A,向量 n 为直线 l 的方向向量,则点 P 到直线 l 的距离可表示为 |������������ |2 -|������������ ·������0 |2 . (3)已知点 P 和平面 α 内任一点 A,向量 n 为平面 α 的法向量,则点 P 到 平面 α 的距离可表示为
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解:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),F(1,1,0),C(0,0,1).
(1)∵ CM=BN=a(0<a< 2),且四边形 ABCD,ABEF 为正方形, ∴ M
2 2 a,0,1- a 2 2
,N
2 2 a, a,0 2 2
.
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∴ ������������ = 0,
2 2 a, a-1 2 2
.∴ |������������|= ������2 - 2a + 1,
即 MN 的长为 ������2 - 2a + 1. (2)由(1)知|������������|= ������2 - 2a + 1 = 故当 a= 2 时,|������������|min= 2 ,
2 2
������-
2 2
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【典型例题 1】如图,正方形 ABCD,ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD,ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a< 2). (1)求 MN 的长; (2)当 a 为何值时,MN 的长最小? 思路分析:解答本题可先建立空间直角坐标系,利用向量的模求出两点 间的距离,再用函数的性质来求最值.
探究一
探究二
探究四
探究一求两点间的距离
计算两点间的距离的基本方法: (1)把线段用向量表示,然后利用|a|2=a·a,通过向量运算求|a|. (2)求解的图形适宜建立空间直角坐标系时,可用坐标法求向量的长度 (或两点间距离).
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离? 提示:点 P 到 l 的距离为������������在 n 上的投影的绝对值,即 d=
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2.计算直线上点 A 与已知点 P 对应的向量������������ . 3.计算������������ 在 n0 上的投影������������ ·n0. 4.由公式 d= |AP|2 -|AP·������0 |2求距离.
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解:因为 AB=1,BC=2,AA'=3,所以 A'(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0), 所以直线 A'C 的方向向量������'������ =(1,2,-3). 又������������ =(0,2,0). 所以������������ 在������'������上的投影为
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【典型例题 2】如图所示,在空间直角坐标系中有长方体 ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3,求点 B 到直线 A'C 的距离.
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即 M,N 分别为 AC,BF 的中点时,MN 的长最小,最小值为 2 .
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探究二求点到线的距离
求点 P 到直线 l 的距离可分以下几步完成. ������ 1.在直线 l 上取一点 A,同时确定直线 l 的方向向量 n,并求 n0= .
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空间中距离的向量求法 (1)两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离 dAB=|������������|= (������2 -������1 )2 + (������2 -������1 )2 + (������2 -������1 )2 . (2)已知点 P 和直线 l 上任一点 A,向量 n 为直线 l 的方向向量,则点 P 到直线 l 的距离可表示为 |������������ |2 -|������������ ·������0 |2 . (3)已知点 P 和平面 α 内任一点 A,向量 n 为平面 α 的法向量,则点 P 到 平面 α 的距离可表示为
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解:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),F(1,1,0),C(0,0,1).
(1)∵ CM=BN=a(0<a< 2),且四边形 ABCD,ABEF 为正方形, ∴ M
2 2 a,0,1- a 2 2
,N
2 2 a, a,0 2 2
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∴ ������������ = 0,
2 2 a, a-1 2 2
.∴ |������������|= ������2 - 2a + 1,
即 MN 的长为 ������2 - 2a + 1. (2)由(1)知|������������|= ������2 - 2a + 1 = 故当 a= 2 时,|������������|min= 2 ,
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