常微分方程
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* 1 * *
y ''+ p ( x) y '+ q ( x) y = f1 ( x) + f 2 ( x) + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + f n ( x) 的特解.
例1.已知二阶线性方程 : y ''+ p( x) y '+ q( x) y = f ( x) 的三个特解 : y1 = x, y2 = e x , y3 = e2 x , 求满足条件 y (0) = 1, y '(0) = 3的特解.
例13.一容器盐水100cm3 , 含盐50 g , 现以流量为
φ1 = 3cm3 / 分钟, 浓度为ρ1 = 2 g / cm3的盐水注入
容器,同时又以流量为φ2 = 2cm3 / 分钟将混合 均匀的溶液流出, 问30分钟后, 容器内含盐多少 ?
例14.一子弹以速度v0 = 200m / s打入一块厚度 为10cm的木板, 穿透板时的速度为v1 = 80m / s, 设板对子弹的阻力与速度的平方成正比, 求子 弹穿过板所用的时间.
Question(请考虑如下问题)
方程(2)确有两个线性无关的解. 定理1-4可推广到高阶线性方程. 请举例说明两个函数线性无关,它们的 Wronskian行列式可能是零.
定理5.(线性方程的叠加原理) 设yk *为方程 : y ''+ p ( x) y '+ q ( x) y = f k ( x)的特解, k = 1, 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, n. 则y + y2 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + yn 是方程 : 是方程
分析 : 设y ( x)是[a, b]上的任一解, 我们要 证 : 可找出常数c1 , c2 对∀x ∈ [a, b]有 : y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x). 由定理1知, 整个[a, b]上的一个解, 由该解 及其导数在单独一点处的值确定.那就 只要证明对于[a, b]中某个x0 能找到c1 , c2 , 使得 : y ( x0 ) = c1 y1 ( x0 ) + c2 y2 ( x0 ), y '( x0 ) = c1 y1 '( x0 ) + c2 y2 '( x0 ).
一、齐次线性方程(2)的解的结构
定理2 : 若y ( x)是齐次方程(2)的通解, 而y* ( x) 是非齐次方程(1)的任一特解, 那么y + y 是 (1)
*
的通解.
这就说明线性方程理论的中心问题是求解齐次方 程的问题.
对于(2),恒等于零的函数总是它的解,我们把这 个解称为平凡解,一般没有什么意义.关于(2)的 解的结构,请看下述定理.
常微分方程基础知识
第1节 微分方程概念与初等积分法
一、微分方程的基本概念
a. 例 物体冷却过程的数学模型 1. 将某物体放置于空气中. 在时刻 t=0时,测量得 它的温度为u 0 =150 C,10分钟后测量得温度为 u1 =100 C,试求物体的温度u和时间t的关系并 . 计算20分钟后物体的温度.这里假设空气的温度 保持为u a =24 C.
(3)形如y = f ( x, y ') 例9.求解方程 : x( y ') − 2 yy '+ 9 x = 0,
2
并观察解的图形.
五、可降阶的高阶方程
(1)形如y
(n)
= f ( x).
例10.求解方程 : y ''' = e 2 x − cos x的通解. (2)形如 : y '' = f ( x, y '), 不显含未知函数y. d y 1d y 例11.求解方程 : 5 − = 0的解. 4 dx x dx
作业
习题3.5 6(3,4,7,8) 7(2,4,6,10) 10 11
第2节 二阶线性常微分方程
本节讨论如下方程:
y ''+ p ( x) y '+ q ( x) y = f ( x) (1) 和对应的齐次方程 : y ''+ p ( x) y '+ q ( x) y = 0 (2) 这类方程在物理上特别是力学上及电路理论上 有关振动的问题,具有重要的意义,此外纯粹数学 中的许多深刻的思想都是从研究这类方程产生出 来的.
n
4.通解和特解
如果一个函数用以代替微分方程中的未 知函数能使该方程成为恒等式,那么就说这 个函数是微分方程的一个解. 微分方程的解的一般表达式称为通解.一 个n阶方程的通解含有n个任意常数. 满足一定具体条件的一个确定的解称为 特解.(常见的条件有初始条件)
例2.验证y = c1e − x + c2 e −4 x 是二阶方程 y ''+ 5 y '+ 4 y = 0 的通解.并求满足初始条件y (0) = 2, y '(0) = 1 的特解.
rx
也可以是复数.
特征方程 : a r + br + c = 0.
C.一阶常微分方程及其解的几何解释
线素场-一阶常微分方程 积分曲线族-通解 积分曲线-特解
dy = 2x dx
⇒
二、一阶可分离变量的微分方程
dy 可分离变量方程： = f ( x ) ⋅ g ( y ) dx 其中f ( x ), g ( y )分别是x, y的连续函数。
•利用一个已知的解求出别的解
例2. (1)设y1 ( x)是方程y ''+ p( x) y '+ q( x) y = 0的一个特解, 证明此方程与y1 ( x)线性无关的另一个特解为: 1 −∫ p( x) dx y2 ( x) = y1 ( x)∫ 2 e dx. y1 ( x) (2) 已知二阶线性方程 : x y ''+ xy '− y = 0的一个特
o o o
研究步骤： 1.利用物理知识建立数学模型（微分方程） 2.求解此微分方程 3.用所得的结果解释实际问题并做预测
热力学基本规律 热量总是从温度高的物体向温度底的物体传导。 在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度 与这个物体的温度和其所在的介质温度的差值成 比例。
b.基本概念 1. 常微分方程 2.偏微分方程
定义 : 若函数f ( x), g ( x)定义在[a, b]上, 且其中一个 是另外一个的常数倍, 则称它们在[a, b]上是线性 相关的, 否则称它们线性无关. 注 : 若f ( x) ≡ 0, 则对每个函数g ( x), f ( x)和g ( x)总 线性相关.
定理 4.设y1 ( x)和y2 ( x)是齐次方程 y ''+ p ( x) y '+ q ( x) y = 0 在[a, b]上的线性无关的解, 则 c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) 是该方程在[a, b]上的通解.即方程在 [a, b]上的每个解可由选取适当的常数 c1 , c2 而得出. − −核心定理 − −
例15.探照灯反射镜的设计. (如果从一点发出的光经某个曲面反射后 是平行光,问该曲面是什么样的曲面 ?)
例16. 生物种群繁殖的数学模型 I. Malthusian模型 dx =r ⋅ x , 其中x(t )表示种群在t时刻的个体数量. dt II. Logistic模型 dx x =rx(1 − ) . dt k
为了使这个方程组能解出c1和c2 , 就只要行列式 y1 ( x0 ) y1 '( x0 ) 记W ( y1 , y2 ) = y1 ( x) y1 '( x) y2 ( x0 ) y2 '( x0 ) y2 ( x ) y2 '( x) ≠ 0.
, 称为Wronskian行列式.
我们要关注的是它在x0 是否等于 0.下面的引理说明 x0的位置无关重要.
•后面讨论中要用的存在唯一性定理.
定理1.方程(1)解的存在唯一性 如果p( x), q ( x), f ( x) ∈ C[a, b], 则初值问题 : y ''+ p( x) y '+ q ( x) y = f ( x), y ( x0 ) = y0 , y '( x0 ) = y1 , ∀x0 ∈ [a, b], 存在唯一解y = y ( x), x ∈ [a, b].
注:和一阶方程不一样,一般来说,(1)不能用 已知初等函数的显式表出它的解,甚至也不 能用积分号来表示它的解.为求它的解,一般 用的是无穷级数. 本章中, (1)的实际解法的讨论, 本章中,对(1)的实际解法的讨论,大部分限 的实际解法的讨论 于系数为常数的特殊情形. 于系数为常数的特殊情形.另外,本章的方法 都可以推广到高阶线性方程上去.
5 4
(3)形如y '' = f ( y, y '), 不显含x. 1 + y '2 例12.求方程 : y '' = , 满足初始条件 2y y (0) = 1, y '(0) = 0的解.
Question : 对于y '' = f ( y )类的方程, 可由上 面的方法解出,有没有其它解法?
六、微分方程应用举例
定理3.若y1 ( x)和y2 ( x)是(2)的任何两个解,则 c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) 也是一个解, 其中c1及c2是任意常数.
我们把解c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)称为解y1 ( x)和解 y2 ( x)的线性组合. 那么定理3的结果可改述为: 齐次方程的两个解的线性组合也是一个解. 如果我们通过某种方法得到了(2)的两个解, 那么就可能得到一个含有两个任意常数的解, 除非y1 ( x)或y2 ( x)等于另一个的常数倍,此时 相当于只有一个任意常数.
一般的处理办法及注意点(通解未必 包含了所有的解)
dy 例3.求方程 + xy 2 = 0 的通解并求满足 dx 初始条件: x = 0, y = 1 的特解.
三、一阶齐次微分方程
dy y 齐次微分方程： = f ( ), 其中f 是连续函数。 dx x
y 处理方法:变量代换 u = . x dy 例4. 求微分方程 x − y = 2 xy (x > 0) 的通解. dx
引理A : 若y1和y2是方程(2)在[a, b]上的任何两个 解, 则W ( y1 , y2 )在[a, b]上或者恒等于零,或者恒 不等于零.
引理B : 若y1和y2是方程(2)在[a, b]上的任何两个 解, 则它们在[a, b]上线性相关的充要条件是 W ( y1 , y2 ) = y1 y2 '− y2 y1 ' 在该区间上恒等于零.
四、一阶线性微分方程
一般形式： dy + p ( x) y = q ( x), dx dy 对应的齐次方程： + p ( x) y = 0 dx
1.齐次方程的解法(分离变量,凑导数) 2.非齐次方程的两种解法(常数变易,凑导数) 3.非齐次方程通解的结构
dy 例5.求方程 : ( x + 1) − ny = e x ( x + 1) n +1 dx 的通解, n为常数. dy y 例6.求方程 : = 的通解. 2 dx 2 x − y
Ordinary Differential Equation (ODE) Partial Differential Equation (PDE)
3.方程的阶数（未知函数的最高阶导数的阶）
dy d y + p ( x) y = f ( x )， n + sin y = f ( x)， dx dx
2
解为y1 = x, 求该方程的通解.
作业
Xt7.4 2 4
二、二阶常系数线性ode的解法
1.齐次方程的通解求法
基本想法 : 回顾一阶方程 y '+ ax = 0 有形如 y = e−ax 的解. 那么对于方程 ay ''+ by '+ cy = 0 (a ≠ 0) 是否也有 指数函数形式的解y = e ?其中r待定, 可以是实数,
作业
习题3.5 3(1,3,5,7) 4(2,4) 5(2,4,6)
• 某些可用变量代换化为已知类型的方程
dy a1 x + b1 y + c1 (1)形如 = . dx a2 x + b2 y + c2 dy x − y + 1 例7.求解方程 : = dx x + y − 3
dy α (2)形如 + p ( x) y = q ( x) y , 其中p ( x), q ( x) dx 连续，α ≠ 0,1. 伯努利方程( Bernoulli ) dy y 2 例8.求方程 : = 6 − xy 的通解. dx x
y ''+ p ( x) y '+ q ( x) y = f1 ( x) + f 2 ( x) + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + f n ( x) 的特解.
例1.已知二阶线性方程 : y ''+ p( x) y '+ q( x) y = f ( x) 的三个特解 : y1 = x, y2 = e x , y3 = e2 x , 求满足条件 y (0) = 1, y '(0) = 3的特解.
例13.一容器盐水100cm3 , 含盐50 g , 现以流量为
φ1 = 3cm3 / 分钟, 浓度为ρ1 = 2 g / cm3的盐水注入
容器,同时又以流量为φ2 = 2cm3 / 分钟将混合 均匀的溶液流出, 问30分钟后, 容器内含盐多少 ?
例14.一子弹以速度v0 = 200m / s打入一块厚度 为10cm的木板, 穿透板时的速度为v1 = 80m / s, 设板对子弹的阻力与速度的平方成正比, 求子 弹穿过板所用的时间.
Question(请考虑如下问题)
方程(2)确有两个线性无关的解. 定理1-4可推广到高阶线性方程. 请举例说明两个函数线性无关,它们的 Wronskian行列式可能是零.
定理5.(线性方程的叠加原理) 设yk *为方程 : y ''+ p ( x) y '+ q ( x) y = f k ( x)的特解, k = 1, 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, n. 则y + y2 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + yn 是方程 : 是方程
分析 : 设y ( x)是[a, b]上的任一解, 我们要 证 : 可找出常数c1 , c2 对∀x ∈ [a, b]有 : y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x). 由定理1知, 整个[a, b]上的一个解, 由该解 及其导数在单独一点处的值确定.那就 只要证明对于[a, b]中某个x0 能找到c1 , c2 , 使得 : y ( x0 ) = c1 y1 ( x0 ) + c2 y2 ( x0 ), y '( x0 ) = c1 y1 '( x0 ) + c2 y2 '( x0 ).
一、齐次线性方程(2)的解的结构
定理2 : 若y ( x)是齐次方程(2)的通解, 而y* ( x) 是非齐次方程(1)的任一特解, 那么y + y 是 (1)
*
的通解.
这就说明线性方程理论的中心问题是求解齐次方 程的问题.
对于(2),恒等于零的函数总是它的解,我们把这 个解称为平凡解,一般没有什么意义.关于(2)的 解的结构,请看下述定理.
常微分方程基础知识
第1节 微分方程概念与初等积分法
一、微分方程的基本概念
a. 例 物体冷却过程的数学模型 1. 将某物体放置于空气中. 在时刻 t=0时,测量得 它的温度为u 0 =150 C,10分钟后测量得温度为 u1 =100 C,试求物体的温度u和时间t的关系并 . 计算20分钟后物体的温度.这里假设空气的温度 保持为u a =24 C.
(3)形如y = f ( x, y ') 例9.求解方程 : x( y ') − 2 yy '+ 9 x = 0,
2
并观察解的图形.
五、可降阶的高阶方程
(1)形如y
(n)
= f ( x).
例10.求解方程 : y ''' = e 2 x − cos x的通解. (2)形如 : y '' = f ( x, y '), 不显含未知函数y. d y 1d y 例11.求解方程 : 5 − = 0的解. 4 dx x dx
作业
习题3.5 6(3,4,7,8) 7(2,4,6,10) 10 11
第2节 二阶线性常微分方程
本节讨论如下方程:
y ''+ p ( x) y '+ q ( x) y = f ( x) (1) 和对应的齐次方程 : y ''+ p ( x) y '+ q ( x) y = 0 (2) 这类方程在物理上特别是力学上及电路理论上 有关振动的问题,具有重要的意义,此外纯粹数学 中的许多深刻的思想都是从研究这类方程产生出 来的.
n
4.通解和特解
如果一个函数用以代替微分方程中的未 知函数能使该方程成为恒等式,那么就说这 个函数是微分方程的一个解. 微分方程的解的一般表达式称为通解.一 个n阶方程的通解含有n个任意常数. 满足一定具体条件的一个确定的解称为 特解.(常见的条件有初始条件)
例2.验证y = c1e − x + c2 e −4 x 是二阶方程 y ''+ 5 y '+ 4 y = 0 的通解.并求满足初始条件y (0) = 2, y '(0) = 1 的特解.
rx
也可以是复数.
特征方程 : a r + br + c = 0.
C.一阶常微分方程及其解的几何解释
线素场-一阶常微分方程 积分曲线族-通解 积分曲线-特解
dy = 2x dx
⇒
二、一阶可分离变量的微分方程
dy 可分离变量方程： = f ( x ) ⋅ g ( y ) dx 其中f ( x ), g ( y )分别是x, y的连续函数。
•利用一个已知的解求出别的解
例2. (1)设y1 ( x)是方程y ''+ p( x) y '+ q( x) y = 0的一个特解, 证明此方程与y1 ( x)线性无关的另一个特解为: 1 −∫ p( x) dx y2 ( x) = y1 ( x)∫ 2 e dx. y1 ( x) (2) 已知二阶线性方程 : x y ''+ xy '− y = 0的一个特
o o o
研究步骤： 1.利用物理知识建立数学模型（微分方程） 2.求解此微分方程 3.用所得的结果解释实际问题并做预测
热力学基本规律 热量总是从温度高的物体向温度底的物体传导。 在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度 与这个物体的温度和其所在的介质温度的差值成 比例。
b.基本概念 1. 常微分方程 2.偏微分方程
定义 : 若函数f ( x), g ( x)定义在[a, b]上, 且其中一个 是另外一个的常数倍, 则称它们在[a, b]上是线性 相关的, 否则称它们线性无关. 注 : 若f ( x) ≡ 0, 则对每个函数g ( x), f ( x)和g ( x)总 线性相关.
定理 4.设y1 ( x)和y2 ( x)是齐次方程 y ''+ p ( x) y '+ q ( x) y = 0 在[a, b]上的线性无关的解, 则 c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) 是该方程在[a, b]上的通解.即方程在 [a, b]上的每个解可由选取适当的常数 c1 , c2 而得出. − −核心定理 − −
例15.探照灯反射镜的设计. (如果从一点发出的光经某个曲面反射后 是平行光,问该曲面是什么样的曲面 ?)
例16. 生物种群繁殖的数学模型 I. Malthusian模型 dx =r ⋅ x , 其中x(t )表示种群在t时刻的个体数量. dt II. Logistic模型 dx x =rx(1 − ) . dt k
为了使这个方程组能解出c1和c2 , 就只要行列式 y1 ( x0 ) y1 '( x0 ) 记W ( y1 , y2 ) = y1 ( x) y1 '( x) y2 ( x0 ) y2 '( x0 ) y2 ( x ) y2 '( x) ≠ 0.
, 称为Wronskian行列式.
我们要关注的是它在x0 是否等于 0.下面的引理说明 x0的位置无关重要.
•后面讨论中要用的存在唯一性定理.
定理1.方程(1)解的存在唯一性 如果p( x), q ( x), f ( x) ∈ C[a, b], 则初值问题 : y ''+ p( x) y '+ q ( x) y = f ( x), y ( x0 ) = y0 , y '( x0 ) = y1 , ∀x0 ∈ [a, b], 存在唯一解y = y ( x), x ∈ [a, b].
注:和一阶方程不一样,一般来说,(1)不能用 已知初等函数的显式表出它的解,甚至也不 能用积分号来表示它的解.为求它的解,一般 用的是无穷级数. 本章中, (1)的实际解法的讨论, 本章中,对(1)的实际解法的讨论,大部分限 的实际解法的讨论 于系数为常数的特殊情形. 于系数为常数的特殊情形.另外,本章的方法 都可以推广到高阶线性方程上去.
5 4
(3)形如y '' = f ( y, y '), 不显含x. 1 + y '2 例12.求方程 : y '' = , 满足初始条件 2y y (0) = 1, y '(0) = 0的解.
Question : 对于y '' = f ( y )类的方程, 可由上 面的方法解出,有没有其它解法?
六、微分方程应用举例
定理3.若y1 ( x)和y2 ( x)是(2)的任何两个解,则 c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) 也是一个解, 其中c1及c2是任意常数.
我们把解c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)称为解y1 ( x)和解 y2 ( x)的线性组合. 那么定理3的结果可改述为: 齐次方程的两个解的线性组合也是一个解. 如果我们通过某种方法得到了(2)的两个解, 那么就可能得到一个含有两个任意常数的解, 除非y1 ( x)或y2 ( x)等于另一个的常数倍,此时 相当于只有一个任意常数.
一般的处理办法及注意点(通解未必 包含了所有的解)
dy 例3.求方程 + xy 2 = 0 的通解并求满足 dx 初始条件: x = 0, y = 1 的特解.
三、一阶齐次微分方程
dy y 齐次微分方程： = f ( ), 其中f 是连续函数。 dx x
y 处理方法:变量代换 u = . x dy 例4. 求微分方程 x − y = 2 xy (x > 0) 的通解. dx
引理A : 若y1和y2是方程(2)在[a, b]上的任何两个 解, 则W ( y1 , y2 )在[a, b]上或者恒等于零,或者恒 不等于零.
引理B : 若y1和y2是方程(2)在[a, b]上的任何两个 解, 则它们在[a, b]上线性相关的充要条件是 W ( y1 , y2 ) = y1 y2 '− y2 y1 ' 在该区间上恒等于零.
四、一阶线性微分方程
一般形式： dy + p ( x) y = q ( x), dx dy 对应的齐次方程： + p ( x) y = 0 dx
1.齐次方程的解法(分离变量,凑导数) 2.非齐次方程的两种解法(常数变易,凑导数) 3.非齐次方程通解的结构
dy 例5.求方程 : ( x + 1) − ny = e x ( x + 1) n +1 dx 的通解, n为常数. dy y 例6.求方程 : = 的通解. 2 dx 2 x − y
Ordinary Differential Equation (ODE) Partial Differential Equation (PDE)
3.方程的阶数（未知函数的最高阶导数的阶）
dy d y + p ( x) y = f ( x )， n + sin y = f ( x)， dx dx
2
解为y1 = x, 求该方程的通解.
作业
Xt7.4 2 4
二、二阶常系数线性ode的解法
1.齐次方程的通解求法
基本想法 : 回顾一阶方程 y '+ ax = 0 有形如 y = e−ax 的解. 那么对于方程 ay ''+ by '+ cy = 0 (a ≠ 0) 是否也有 指数函数形式的解y = e ?其中r待定, 可以是实数,
作业
习题3.5 3(1,3,5,7) 4(2,4) 5(2,4,6)
• 某些可用变量代换化为已知类型的方程
dy a1 x + b1 y + c1 (1)形如 = . dx a2 x + b2 y + c2 dy x − y + 1 例7.求解方程 : = dx x + y − 3
dy α (2)形如 + p ( x) y = q ( x) y , 其中p ( x), q ( x) dx 连续，α ≠ 0,1. 伯努利方程( Bernoulli ) dy y 2 例8.求方程 : = 6 − xy 的通解. dx x