9 几何学的变革

9.3 非欧几何的发展与确认
在罗氏几何产生后的1854年，德 国数学家黎曼把欧氏第五公设改为： “过已知直线外一点，没有与其平 行之直线”，得到的一种新的几何 学—黎曼非欧几何，为非欧几何的 另一翼。
9.3 非欧几何的发展与确认
在黎曼几何中，最重要的一种对象是常曲率 空间，对于三维空间，有下列情形：
9.1 欧几里得的平行公设 从古希腊时代开始，人们一直对 第五公设有疑问，二千年来，数学 家们一直在想消除这个疑问，其途 径有二：一是用更为自明的命题代 替第五公设；二是证明它，使其成 为一个定理。
两千年来提出众多的替代公设有：
9.1 欧几里得的平行公设
存在一对同平面的直线彼些处处等
距离
过己知直线外一点能且只能作一条
1826年在物理数学系会议宣读《简要论述平 行线定理的一个严格证明》
1829年论文《几何学原理》在《喀山大学通 报》全文发表 直至罗巴切夫斯基去世的30年内，没能赢得 社会的承认和赞美
罗巴切夫斯基(苏联, 1951)
非欧几何
鲍约(罗马尼亚, 1960)
鲍 约 父 子 之 墓
9.3 非欧几何的发展与确认
9.2 非欧几何的诞生
罗巴切夫斯基在否定第五公理的同时， 假设其反面之一：“过已知直线外一点， 可作多于一条的直线与已知直线平行”， 得到了一系列定理，并且认为他得到了一 门新的几何学。
罗巴切夫斯基宣布自己建立了新的几何 学之后，遭到了许多数学大家的嘲笑、讽 刺，德国诗人歌德也出来讽刺他。实际上， 罗巴切夫斯基的理论得到世界的认可是在 他去世几十年后的事了。

9.2 非欧几何的诞生
高斯
波约
罗巴切夫斯基
9.2 非欧几何的诞生 一 高斯（Gauss，1777—1855）
1799年，高斯意识到平行公设不 能由其它欧氏公理推出来，并从 1813年起发展了这种平行公设在其 中不成立的新几何学，称之为反欧 几里得几何学，但高斯生前未发表。
9.2 非欧几何的诞生 二 波约（1802—1860）
非欧几何
“ 黎曼是一个富有想象的天才, 他的想法即使没有证明, 也鼓舞了整整一个世纪的数学家.”
• 1846年进入哥廷根大学专修语言和神学
• 1847-1848年到柏林大学, 进入数学领域 • 1849-1851年在哥廷根大学, 取得博士学位, 学位论文“单
复变函数一般理论基础” 授, 1859年教授
射影几何
1847年施陶特(德, 1798-1867)的《位置几何 学》

凯莱(英, 1821-1895)在射影几何基础上建立 欧氏几何和非欧几何

凯莱(英, 1821-1895) 施陶特(德, 1798-1867)
9 几何学的变革
9.5 几何学的统一
爱尔朗根纲领（克莱因，1872年）： 所谓几何学，就是研究几何图形对 于某类变换群保持不变的性质的学问， 或者说任何一种几何只是研究与特定 的变换群有关的不变量。 克莱因以射影几何为基础、对几 何学做了分类。
平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)
欧几里得
普莱菲尔(苏格兰, 1748-1819) 勒让德(法, 1752-1833) A+B+C=2π
非欧几何的孕育
勒让德(法, 1752-1833) 《几何学原理》：这条关于 三角形的三个内角和的定理应该认为是那些基本真 理之一。这些真理是不容争论的，它们是数学永恒 真理的不朽的例子。(1832)
但所有这些替代公设，也不自明。
9.1 欧几里得的平行公设 二 寻求第五公设的证明 多少世纪以来，试图证明第五 公设的人是如此之多，差不多够 一个军团，但所有这些尝试均告 失败。
9.1 欧几里得的平行公设 三 非欧几何的孕育 1 萨凯里（Saccheri） 著《欧几里得无懈可击》（1733） 从著名的“萨凯里四边形”出发证明 平行公设 2 克吕格尔 1763年，克吕格尔指出萨凯里的工 作并未导出矛盾，他怀疑能否证明 平行公设
四 非欧几何的意义
1 解决了平行公理的独立性问题。推动 了一般公理体系的独立性、相容性、 完备性问题的研究，促进了数学基础 这一更为深刻的数学分支的形成与发 展。
9.3 非欧几何的发展与确认 2 证明了对公理方法本身的研究能推动 数学的发展，理性思维和对严谨、逻 辑和完美的追求，推动了科学，从而 推动了社会的发展和进步。在数学内 部，各分支纷纷建立了自己的公理体 系，包括被公认为最困难的概率论也 在20世纪30年代建立自己的公理体系。 实际上公理化的研究又孕育了“元数 学”的产生和发展。
黎曼几何
非欧几何的相容性
公理系统的相对相容性的证明 非欧几何的意义
9.3 非欧几何的发展与确认
非欧几何从发现到获得普遍接受经历了 曲折的道路，要达到这一目标，需要确 定非欧几何自身的无矛盾性和现实意义。
一 黎曼几何
黎曼（Rieman，1826—1866）在1854年 发展了罗巴切夫斯基等人的思想，建立 了现称为“黎曼几何”的一种更广泛的 几何，欧氏几何、罗氏几何、黎曼非欧 几何都只是其特例。
9 几何学的变革
欧几里得平行公设
非欧几何的诞生
非欧几何的发展与确认
射影几何的繁荣 几何学的统一
9 几何学的变革
欧氏几何在公元前300年就已产生，其特 征是建立了公理化方法：即从几个概念和 几个命题，演绎出本学科其它所有概念和 命题，从而构成这一学科的全貌。运用这 种方法的学科被认为是严谨的和成熟的科 学。
统一的几何学
《爱尔朗根纲领》
射影几何
仿射几何 欧几里得几何
单重椭圆几何
二重椭圆几何
双曲几何
其它仿射几何
克莱因：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人 赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智 慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上 的一切。”
9.1 欧几里得的平行公设
3 兰伯特 著《平行线的理论》（1766） 他认识到一组假设如果不引起矛盾的 话，就提供了一种可能的几何。 兰伯特最先指出通过替换平行公设而 展开新的无矛盾的几何学的道路。
萨凯里、克吕格尔、兰伯特是 非欧几何的先行者。
非欧几何的孕育
若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角, 那 么把两直线无限延长, 它们都在同旁内角和小于两直角的一侧 相交.
非欧几何
1813年高斯(德, 1777-1855)：非欧几 里得几何 1826年罗巴切夫斯 基(俄, 1792-1856) 《简要论述平行线定 理的一个严格证明》

几何学上的哥白尼
1832年波约(匈, 1802-1860)《绝对空 间的科学》

π(α)
非欧几何
罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)，喀山大学教 授、校长 1815年着手研究平行线理论，试图给出平行 公设的证明
1823年，波约开始理解平行公设 问题的实质，称“我要白手起家 创造一个奇怪的新世界”。波约 称他的非欧几何为“绝对几何”。 著《绝对空间的科学》
9.2 非欧几何的诞生 三

罗巴切夫斯基（1792—1856）
1826 《简要论述平行线定理的一个严格证明》 1829 《论几何原理》 1835—1838 系列论文 《具有完备的平行线理论的新几何学原理》 1840 《平行理论的几何研究》
直线与己知直线平行 存在一对相似但不全等的三角形
如果一个四边形有一对对边相等，
并且它们与第三边构成的角均为直 角，则余下的两个角也是直角
9.1 欧几里得的平行公设
如果四边形有三个角是直角，则第
四个角也是直角 至少存在一个三角形，其三角和等 于二直角 过任何三个不在同一直线上的点可 作一圆 三角形的面积无上限
欧氏几何的公理体系出现在欧几里得的 《原本》中，在其之后的2200后，希尔伯 特在《几何基础》加以完善。其间，许多 数学家作了许多公理体系的完备性工作。
9 几何学的变革
然而，令人放心不下的是该公理体系 中的第五公设，即平行公设的问题。 因为人们发现即使欧几里得本人也尽 量避免使用它。
9 几何学的变革
• 1854年讲师职位讲演: 关于几何基础的假设, 1857年副教
黎曼(德, 1826-1866)
• 1862年得肺结核, 1866年在意大利逝世 • 1876年出版《黎曼全集》(发表论文18篇, 遗稿12篇) • 伟大的分析学家：复变函数论、阿贝尔函数论、超几何
级数与常微分方程、解析数论、实分析、几何学、数学物 理、物理学


1733年萨凯里(意, 1667-1733)《欧 几里得无懈可击》
非欧几何的孕育
1763年，克吕格尔(德, 17391812)第一位对平行线公设是否 能由其它公理加以证明表示怀 疑的数学家

1766年兰伯特(法, 1728-1777)《平行线理论》不认为锐角假 设矛盾, 认识到如果一组假设不引起矛盾, 就提供了一种可能的 几何 1820年F•鲍约(匈, 1775-1856): “我经过了 这个长夜的渺无希望的黑暗, 在这里埋没了我 一生的一切亮光和一切快乐,……或许这个无 底洞的黑暗将吞食掉一千个犹如灯塔般的牛顿, 而使大地永无光明。”
9 几何学的变革
9.4 射影几何的繁荣
射影几何

早期开拓者: 德沙格(法, 1591-1661), 帕斯卡(法, 16231662)


1799年蒙日(法, 1746-1818)的《画法几何学》
1803年卡尔诺(法, 1753-1823)的《位置几何学》
蒙日(法国, 1953)
卡尔诺(法国, 1950)
9.3 非欧几何的发展与确认
3
非欧几何实际上预示了相对论的产生， 就象微积分预示了人造卫星一样。非 欧几何与相对论和汇合是科学史上划 时代的事件。人们都认为是爱因斯坦ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ创立了相对论，但是，也许爱因斯坦 更清楚，是他和一批数学家 Poincare,Minkouski, Hilbert等共同 的工作。出现动钟延缓，动尺缩短， 时空弯曲等现象。这些都是非欧几何
射影几何
1822年庞斯列(法, 17881867)的《论图形的射影 性质》
综合方法
连 续 性 原 理
对 偶 原 理
射影几何
1827年默比乌斯(德, 17901868)的《重心计算》
代数方法
1829年普吕克(德, 1801-1868)的三线坐标
默比乌斯(德, 1790-1868)
普吕克(德, 1801-1868)
统一的几何学
1872年克莱因(德, 1849-1925)的《爱尔朗根纲领》
•1865年进入波恩大学(建于1786年)学习生 物
• 1866-1868年普吕克(德, 1801-1868)的博 所谓几何学，就是研究几何图 士 形对于某类变换群保持不变的 • 1869-1886年: 哥廷根大学、柏林大学、 性质的学科，或者说任何一种 普法战争、埃尔朗根大学、慕尼黑工业大学、 几何学只是研究与特定的变换 莱比锡大学、哥廷根大学 群有关的不变量。 • 克莱因使哥廷根这座具有高斯、黎曼传统 的德国大学更富有科学魅力，吸引了一批有 杰出才华的年青数学家，使之成为20世纪初 世界数学的中心之一
曲率为正常数
黎曼非欧几何 曲率为负常数 罗氏非欧几何 曲率恒为零 欧氏几何
椭圆几何
双曲几何
非欧几何
1854年黎曼(德, 1826-1866)《关于几何基础的假设》
正常曲率(黎曼几何) 常曲率空间 负常曲率(罗氏几何) 内蕴几何，流形曲率 零 曲 率 (欧氏几何)
椭圆几何 双曲几何 抛物几何
9.3 非欧几何的发展与确认
二 非欧几何的相容性 三 公理系统的相对相容性的证明
非欧几何
模型与相容性

1868年贝尔特拉米(意, 1835-1899)
伪球面
曳物线

1871年克莱因(德, 1849-1925)
1882年庞加莱(法, 1854-1912)
非欧几何

克莱因-庞加莱圆
9.3 非欧几何的发展与确认
9.1 欧几里得平行公设
第五公设（即平行公设） 寻求第五公设的证明 非欧几何的孕育
9 几何学的变革
9.1 欧几里得平行公设 一 第五公设（即平行公设） 《原本》中五个公设：



1 由任意一点到另外任意一点可以画直线 2 一条有限直线可以继续延长 3 以任意点为心及任意的距离可以画圆 4 凡直角都彼此相等 5 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在 某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二 直线经无限延长后在这一侧相交