高考数学 题型全归纳 解三角形考点归纳

解三角形

【考题回放】

1．设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B =的（ ）

（A ）充分条件 （B ）充分而不必要条件

（C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 2．在ABC ∆中，已知C B

A sin 2tan

=+，给出以下四个论断：

① 1cot tan =⋅B A

② 2sin sin 0≤

+

③ 1cos sin 2

2

=+B A

④ C B A 2

2

2

sin cos cos =+

其中正确的是（ B ）

（A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）②③

3．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan 2tan 32tan 2tan

C A C A ++的值为

__________3. 4．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ）

A ．111A

B

C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形

C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形

D ．

111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形

5．己知A 、C 是锐角△ABC 的两个内角，且tanA, tanC 是方程x2-3px+1-p ＝0 (p≠0，且p ∈R)，的两个实根，则tan(A+C)=_______，tanA,tanC 的取值范围分别是___ _

和__ ___，p 的取值范围是__________3；(0，3)；(0，3)；［32

，1)

6．在ΔABC 中，已知

66

cos ,364==

B AB ，A

C 边上的中线BD=5，求sinA.

【专家解答】 设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且

36

221==

AB DE ，

设BE=x 在ΔBDE 中可得2

2

2

2cos BD BE ED BE ED BED =+-⋅∠，

x x 66362238

52⨯⨯++

=，解得1=x ，37-=x （舍去）

故BC=2，从而

328

cos 2222=

⋅-+=B BC AB BC AB AC ，

即

3212=

AC 又630sin =B ，故247sin 10A =，1470sin =

A

【考点透视】本专题主要考查正弦定理和余弦定理．

【热点透析】三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 学生需要掌握的能力： (1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；

(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘

【范例1】【文】在△ABC 中，若tanA ︰tanB ＝2

2

b a :，试判断△ABC 的形状．

解析 由同角三角函数关系及正弦定理可推得

22sin cos sin cos sin sin A B A

A B B =

， ∵A 、B 为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．

∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝2π

．

所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．

【点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a2＋b2＝c2， a2＋b2>c2（锐角三角形），a2＋b2＜c2（钝角三角形）或sin(A －B)＝0，sinA ＝sinB ，sinC ＝1或cosC ＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．

【范例2】 【文】在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，2

27

4sin cos 22B C A +-=.

(1)求角A 的度数；

(2)若a=3，b+c=3，求b 和c 的值.

解析

2

7

(1)4sin cos 2180,:22B C A A B C +-=++=︒由及得

2227

2[1cos()]2cos 1,4(1cos )4cos 5

2

1

4cos 4cos 10,cos ,

2

0180,60B C A A A A A A A A -+-+=+-=-+=∴=︒<<︒∴=︒Q 即

22222222(2):cos 211

cos ()3.

222

312

3: 2 :.

221b c a A bc

b c a A b c a bc bc b c b b a b c bc bc c c +-=

+-=∴=∴+-=+===⎧⎧⎧=+==⎨⎨⎨===⎩⎩⎩

Q 由余弦定理得代入上式得由得或

【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛. 【范例3】已知△ABC 的周长为6，,,BC CA AB

u u u r u u u r u u u r 成等比数列，求

（1）△ABC 的面积S 的最大值；

（2）BA BC u u u r u u u r

g 的取值范围．

解析 设

,,BC CA AB

u u u r u u u r u u u r 依次为a ，b ，c ，则a+b+c=6，b²=ac ．

在△ABC 中得

2222221

cos 2222a c b a c ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=

, 故有

03B π

<≤

．又

6,22a c b

b +-=≤

=从而02b <≤．

（１）

22111sin sin 2sin 2223S ac B b B π

=

=≤⋅⋅=

，即max

S =． （２）22222

()2cos 22a c b a c ac b BA BC ac B +-+--===

u u u r u u u r g 22

2(6)3(3)27

2b b b --==-++． 02,b <≤Q 218BA BC ∴≤

g ．

【点睛】 三角与向量结合是高考命题的一个亮点.问题当中的字母比较多，这就需要我们采用消元的思想，想办法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当的主变元．主变元是解答问题的基本元素，有效的控制和利用对调整解题思路是十分有益处的．

【变式】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c, △ABC 的外接圆半径R=3，且