初中数学中考总复习之整式 优质课件

考点三
整式的运算
1．整式的加减 (1)同类项与合并同类项 多项式中，所含的字母 相同，并且相同字母的指
数 也分别相同的项叫做同类项．把多项式中的同类项 合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加， 所得的结果作 为合并后的系数，字母和字母的 指 数 不变．
(2)去括号与添括号 ①a＋(b＋c)＝a＋b＋c，a－(b＋c)＝a－b－c； ②a＋b－c＝a＋( b－c)，a－b＋c＝a－( b－c)． (3)整式加减的实质是合并同类项．
n 2 m 2
＝3 ÷ 3
2n
m
8．因式分解：－ax2＋4ax－4a＝－ a(x－ 2)2. 解析： － ax2＋ 4ax － 4a＝－ a(x2－ 4x ＋ 4) ＝－ a(x － 2)2. 9．计算：(x＋ 1)2－(x＋ 2)(x－ 2)． 解：原式＝ x2＋ 2x＋ 1－ (x2－ 4)＝ x2＋ 2x＋ 1－ x2＋ 4＝ 2x＋ 5.
2
温馨提示 在进行整式加减运算时，如果遇到括号，应根据 去括号法则，先去括号，再合并同类项 .若括号前是负 号，去括号时，括号内每一项都要变号 .
2．幂的运算 am· an＝ am (a ) ＝ a
n m n
＋n
(m，n 都是整数)； (m，n 都是整数)； (n 是整数)； (a≠0，m，n 都是整数)．
3 2 5
【点拨】 A 中，由同底数幂相乘的法则可得 a3· a3 ＝ a3 3＝ a6，故 A 错误； B 中，由同底数幂的除法法则
＋
可得 a ÷ a＝ a
3
3－ 1
＝ a ，故 B 错误；C 中，由合并同类项
2
法则可得 a＋ a＝ (1＋ 1)a＝ 2a，故 C 正确； D 中，由幂 的乘方法则可得 (a ) ＝ a 【答案】 C
3 3 2 2 6
3．如果 3x
2n－1 m
y 与－5xmy3 是同类项，则 m 和 n
的值分别是( C A．3 和－2 C．3 和 2
) B．－3 和 2 D．－3 和－2
解析：∵ 3x
2n－ 1 m
y 与－ 5xm y3 是同类项，
∴ 2n－ 1＝ m， m＝ 3， ∴m＝ 3， n＝ 2. 故选 C.
2
6． 已知 y＝x－1， 则(x－y)2＋(y－x)＋1 的值为 1 . 解析：∵y＝x－1，∴x－y＝1，y－x＝－1.∴(x－ y) ＋(y－x)＋1＝1－1＋1＝1.
2
7．若 3 ＝2,3 ＝5，则 3
n
m
2n－m
4 ＝ . 5
2n－m
解析： 由同底数幂的除法法则可知， 3 4 ＝(3 ) ÷ 3 ＝2 ÷ 5＝ . 5
初中中考数学 总复习
整 式
考点一
代数式
1．代数式 用基本运算符号 (加、减、乘、除、乘方、开方等) 把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式；单 独的一个数或字母也是代数式．
2．代数式的值 (1)一般地，用数字代替代数式里的字母，按照代 数式指明的运算计算出的结果，叫做代数式的值． (2)注意：①先弄清运算符号及运算顺序；②将代 数式化简后再求值；③代入求值，有时需要整体代入； ④代入的数是负数或分数时应加括号．
考点二
整式的有关概念
1．单项式：由数与字母的乘积 组成的代数式叫做 x 单项式 (如 是单项式 )，单独的一个数 或一个字母 也是 3 单项式， 单项式中的数字因数 叫做这个单项式的系数； 单项式中所有字母的指数和 叫做这个单项式的次数．
2．多项式：几个单项式的和 叫做多项式．在多项 式中，每个单项式叫做多项式的项 ，其中次数最高的 项的次数 叫做这个多项式的次数．不含字母的项叫做 常数项 . 3．单项式和多项式统称为整式．
10 ．先化简，再求值： [(2a ＋ b) － (2a － b)(b ＋ 2a)]÷ 2b，其中 2a＋1＋|1－b|＝0. 解：[(2a＋b)2－(2a－b)(b＋2a)]÷ 2b ＝[4a ＋4ab＋b －(4a －b )]÷ 2b ＝(4a ＋4ab＋b －4a ＋b )÷ 2b
2 2 2 2 2 2 2 2
)
B．－xy ＋2xy－3y＝－y(xy－2x－3) C．x(x－y)－y(x－y)＝(x－y)2 D．x2－x－3＝x(x－1)－3
2
解析： A 中， 2x2－ xy－ x＝ x(2x－ y－ 1)，故 A 错 误； B 中，－ xy ＋ 2xy－ 3y＝－ y(xy－ 2x＋ 3)，故 B 错 误； C 中， x(x－ y)－ y(x－ y)＝ (x－ y)2，故 C 正确； D 中， x2－ x－ 3 中没有公因式也不能运用公式法因式分 解，故 D 错误．故选 C.
1．下列运算正确的是 ( A． a · a ＝a C． ( a ) ＝ a
3 2 2 3 6 3
B )
2
B． a ÷ a ＝a D． a ＋ a ＝ a
＋
9
2
2
5
解析： A 中， a2· a3＝ a2 3＝ a5，故 A 错误； B 中， a3÷ a2＝ a3 2＝ a，故 B 正确； C 中， (a3)2＝ a3 2＝ a6，
考点六
综合运用多种方法分解因式
2 2
例 6(2013· 菏 泽 ) 分 解 因 式 ： 3a － 12ab ＋ 12b ＝ _________________. 【点拨】原式＝ 3(a － 4ab＋ 4b )＝ 3(a－ 2b) . 【答案】 3(a－2b)2
2 2 2
方法总结 因式分解的一般步骤可总结为：“一提、二套、三 查 ”.一提是指若有公因式先提公因式；二套是指若各 项没有公因式或提公因式后尝试用公式法分解因式； 三 查是指检查因式分解是否彻底.
2 2 2 2 2 2
考点四
因式分解
1．因式分解的定义及与整式乘法的关系 (1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，就是 因式分解． (2)因式分解与整式的乘法是互逆变形．
2．因式分解的常用方法 (1)提公因式法 用式子表示为 ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c). 公因式的确定：当各项系数为正整数时，公因式 为各项系数的 最大公约数 与 相同 因式的最 低 次幂的 乘积．
－ ×
故 C 错误； D 中， a ＋ a ＝ 2a ，故 D 错误．故选 B.
2
2
2
2．下列运算正确的是( C A．(m－n) ＝m －n B．(2ab3)2＝2a2b6 C．2xy＋3xy＝5xy D. a3 ＝2a a 4
2 2 2
)
解析：A 中，(m－ n)2＝ m2－ 2mn＋ n2，故 A 错误； B 中， (2ab ) ＝ 4a b ，故 B 错误； C 中， 2xy＋ 3xy＝ 5xy，故 C 正确； D 中， 选 C. a 1 ＝ a a，故 D 错误．故 4 2
4．如果 a－3b＝－ 3，那么代数式 5－ a＋3b 的值 是( D ) B．2 C．5 D．8
A． 0
解析：∵ a－ 3b＝－ 3， ∴ 5－ a＋ 3b＝ 5－ (a－ 3b)＝ 5－ (－ 3)＝ 8. 故选 D.
5．下列因式分解正确的是( C A．2x －xy－x＝2x(x－y－1)
2
考点二 整式的加减 例 2 (2012· 凉山州 )整式 A 与 m － 2mn＋ n 的和是 (m＋ n) ，则 A＝_______________. 【点拨】本题应首先列出两个整式相减的算式， 再去括号，合并同类项．A＝ (m＋ n)2 － (m2－ 2mn＋ n2) ＝ m ＋ 2mn＋ n － m ＋ 2mn－ n ＝ 4mn. 【答案】 4mn
mn
(ab) ＝ a b a ÷ a＝ a
m n
n n m－n
3．整式的乘法 1 3 1 4 3 单项式与单项式相乘：3ab ×(－ a bc)＝ － a b c； 6 2
2
单项式与多项式相乘： m(a＋b＋c)＝ ma＋mb＋mc； 多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.
(2)运用公式法 a －b ＝ (a＋ b)(a－ b)， a ± 2ab＋ b ＝ (a± b) . 3．因式分解的一般步骤 (1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提 公因式； (2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运 用公式法来分解；
2 2 2 2 2
(3)三查： 因式分解必须进行到每一个多项式都不 能再分解为止． 温馨提示 当没有公因式或已经提公因式时要看是否还能用 公式法因式分解，结果必须进行到每一个多项式不能 再分解为止 .
考点一
列代数式与求值
例 1 (2013· 湘潭)如下图，根据所示程序计算，若输 入 x＝ 3，则输出结果为_______．
【点拨ห้องสมุดไป่ตู้本题考查代数式的求值，根据程序图直接 把 x 的值代入计算即可．∵ 3＞1，∴把 x＝ 3代入 y ＝x2－1，得 y＝( 3)2－1＝2. 【答案】 2
方法总结 用代入法求代数式的值，当代入字母的值是负数、 分数、含根号的无理数等时，要注意加上括号，并将原 来省略的乘号补出来.
4．整式的除法 2 2 单项式除以单项式：(－4a b c)÷ 6ab＝－ ab c ； 3
2 3
多项式除以单项式：(am＋bm＋cm)÷ m＝a＋b＋c. 5．乘法公式 (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ a2－b2； (2)完全平方公式：(a± b)2＝ a2± 2ab＋b2.
温馨提示 平方差公式还有如下变式：a－ ba＋ b＝ a － b ， b＋ aa－ b＝ a － b ， b＋ a－ b＋ a＝ a － b 等 .
温馨提示 1.数字与字母相乘时， 通常把乘号省略且把数字写 在前面 . 2.当单项式的系数是带分数时，一般写成假分数 . 单项式的系数包含前面的符号，当系数是 1 时往往省 略不写；当系数为－ 1 时，只需要写性质符号 “－ ”.
3.π 是一个无理数且是一个常数， 而不是代表任意 数的字母，在确定单项式的系数和次数时，要注意不 要把 π 错当作字母 .
考点五
整式的化简与求值
例 5(2013· 宁波)先化简，再求值： (1＋a)(1－a)＋(a －2) ，其中 a＝－3. 【点拨】 先利用乘法公式将代数式化简，再代入 a＝－3 求值． 解：原式＝1－a2＋a2－4a＋4＝－4a＋5. 当 a＝－3 时，原式＝12＋5＝17.
2
方法总结 求代数式的值的思路有两个：1先化简代数式，再 代入相应字母的值，最后求出代数式的值；2题目中并 未给出各个字母的取值， 而是给出几个式子的值.这时可 以把这几个式子看作一个整体，把多项式化为含有这几 个式子的代数式， 并代入求值.运用整体代换思想， 往往 可使问题简化.
3 2 3× 2
＝ a ，故 D 错误．故选 C.
6
方法总结 1.同底数幂的乘法易与合并同类项混淆，也易与幂 的乘方法则混淆 . 2.同底数幂的除法与同底数幂的乘法互为逆运算， 可用同底数幂的乘法检验同底数幂的除法是否正确.
考点四
整式的乘除与乘法公式
例 4 (2013· 义乌)如图①，从边长为 a 的正方形纸片 中剪去一个边长为 b 的小正方形，再沿着线段 AB 剪开， 把剪成的两张纸片拼成如图②所示的等腰梯形． (1)设图①中阴影部分的面积为 S1，图②中阴影部分 的面积为 S2，请直接用含 a，b 的代数式表示 S1，S2；
2 2 2 2 2 2 2
方法总结 1.整式的加减的实质就是去括号，合并同类项；一 般步骤是：先去括号，然后合并同类项. 2.去括号时，要注意两个方面，一是括号外的数字 因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是 “ － ”号 时，括号内的各项都要改变符号.
考点三
整数指数幂 )
例 3 (2013· 毕节 )下列计算正确的是 ( A． a3· a3＝ 2a3 C． a＋ a＝ 2a B ． a3÷ a＝ a3 D． ( a ) ＝ a
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
【点拨】本题考查乘法公式的推导，可由图形的面 积公式推导出乘法公式． 1 解：(1)由题意，可得 S1＝a － b ，S2＝ (2b＋2a)(a 2
2 2
－ b)＝ (a＋ b)(a－ b)． (2)(a＋ b)(a－ b)＝a2－ b2.
方法总结 根据图形推导公式， 是用两个不同的算式表示两个 图形的面积，再根据两个图形面积相等的关系得出 公式.