基于正交试验法的邓肯-张E-B模型参数敏感性分析研究
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展 专 项 资 金 特 色 重 点 学 科 项 目 资 助（1 0 6- 5 X 1 2 0 5）； 陕 西 省 重 点 学 科 建 设 专 项 资 金 资 助 项 目（1 0 6- 0 0X 9 0 3 0） 作 者 简 介 ： 李 炎 隆（1980-）， 男 ， 山 东 莱 州 人 ， 博 士 ， 讲 师 ， 主 要 从 事 水 工 结 构 数 值 仿 真 研 究 。 E - m ail： lylong2356@ 126.com
3 正交试验设计方法
3.1 正交试验设计 正交试验方法是根据数理统
表 1 L1（8 2×37）正交试验
计学与正交性原理，从大量试验点中选取合适的
有 代 表 性 的 点 ， 再 按 照“ 正 交 表 ”安 排 试 验 。 由 于 试验号
号
正 交 表 具 有“ 均 衡 分 散 性 ”和“ 整 齐 可 比 性 ”的 构 造
选取提供参考。
关键词：邓肯-张 E-B 模型；堆石料；正交试验法；敏感性分析
中图分类号：TV641.4
文献标识码：A
1 研究背景
对于混凝土面板堆石坝而言，主要筑坝料为散粒体弹塑性的堆石料，因此其应力变形表现为明 显 的 非 线 性 。 ［1-3］ 邓 肯 -张 E-B 模 型 能 反 映 堆 石 料 不 同 围 压 下 的 应 力 变 形 关 系 ， 是 面 板 堆 石 坝 应 力 变 形数值计算中最常用的材料本构模型之一［4］。目前确定邓肯-张 E-B 模型参数通常有 3 种方法：（1）通 过 材 料 三 轴 试 验 确 定 各 参 数 的 取 值 ；（2）根 据 筑 坝 料 的 性 质 和 成 分 组 成 类 比 其 他 相 似 坝 料 的 已 建 工 程 选 取 计 算 参 数 ；（3）通 过 对 实 测 结 果 的 反 演 分 析 获 得 更 为 准 确 的 计 算 参 数［5］。 邓 肯 -张 E-B 模 型 参 数 较多，参数反演分析比较困难，计算工作量也大，因此，进行邓肯-张 E-B 模型参数的敏感性分析， 准确、快捷地确定参数取值具有工程实际应用价值。
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现的次数相同，以保证试验点分布的均匀性。只
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有满足这两个条件，才能方便、全面的反映试验
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结果。
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表 1 所示为 L1（8 2×37）第一因素为 2 水平，后 7 个因素为 3 水平的 8 因素正交表。 3.2 正交试验结果分析方法 按照正交表设计的试验进行分析，计算各试验的指标值，根据试验结
（1）选 取 试 验 指 标 。 根 据 参 数 敏 感 性 分 析 中 试 验 指 标 的 选 取 原 则 ， 考 虑 到 堆 石 体 在 自 重 和 水 荷 载 作用下，发生沉降变形和向上下游水平变形对大坝的影响较大，因此，选择坝体最大竖向位移 V、向 上游最大水平位移 Hu和向下游最大水平位移 Hd作为参数敏感性分析的主要试验指标。
图 1 公伯峡面板堆石坝标准剖面
4.1.2 计 算 参 数 混 凝 土 面 板 按 线 弹 性 材 料 考 虑 ， 取 材 料 密 度 ρd=2 450kg/m3， 弹 性 模 量 E=2.0 × 104MPa。坝体其它各分区材料的邓肯-张 E-B 模型计算参数如表 2 所示。
表 2 公伯峡坝体材料邓肯-张 E-B 模型计算参数
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以 下 两 个 条 件 ： ［10］ 每 一 列（因 素）的 不 同 水 平 在 试
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验中出现的次数相同，以保证其均匀性；任意两
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列（因 素）的 不 同 水 平 组 合 组 成 的 数 对 在 试 验 中 出
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的 塑 性 部 分 当 作 弹 性 变 形 来 处 理 ， 通 过 对 弹 性 常 数 的 调 整 来 近 似 考 虑 塑 性 变 形［1］。 基 本 计 算 原 理 如 下 。
材料的切线弹性模量计算公式：
Et = Ei (1 - Rf S )2
（1）
式中：S 为应力水平，表示实际主应力差与破坏时主应力差的比值；Rf 为破坏比，定义为破坏时的
计算统计参数为 ： ［11］
å Kij
=
1 n
k
n =
Yk
1
- Y-
（6）
式中：Kij 为因素 j 在 i 水平下各次试验结果平均值；n 为因素 j 在 i 水平下的试验次数；Yk 为第 k 个试验 指 标 值 ；Y-为 所 有 试 验 结 果 的 平 均 值 。
极差法分析因素敏感性的评价标准是各因素的极差值 Rj，其定义为该因素各水平下计算的统计
主应力差与主应力差渐近值的比值，其值小于 1.0；Ei为初始切线模量，定义为：
( ) Ei = Kpa σ3 pa n
（2）
式中：K、n 分别为初始弹性模量基数和弹性模量指数；pa为标准大气压。 材料的切线体积模量：
( ) Bt = Kb pa σ3 pa m
（3）
式中：Kb、m 分别为初始体积模量基数和体积模量指数。
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原 则［9］， 因 此 ， 按 照 此 方 法 设 计 的 试 验 次 数 少 ，
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并且能反映客观事物的变化规律。
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在正交试验中把所考察的结果称为指标，把
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对试验指标可能有影响的参数称为因素，把每个
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因素在试验中要比较的具体试验条件称为水平。
（2）确定试验因素和因素水平。堆石料是散粒体材料，其黏聚力按 0 考虑，并且在坝体填筑和蓄
水过程中堆石料均处于加荷状态，其模型参数中的卸荷模量基数和卸荷模量指数均不参与计算，因 此，选择模型中的φ0、Δφ、Rf、K、n、Kb、m 总共 7 个参数进行敏感性分析。本文以 3BⅠ区堆石料作 为敏感性分析的研究对象，以室内试验参数为基础，在敏感性分析中每个计算参数按正负 20%的增
材料 垫层料 过渡料 主堆石 3BⅠ 主堆石 3BⅡ 次堆石 C
ρ（/ kg·m-3） 2 270 2 270 2 210 2 270 2 160
C/Pa 0 0 0 0 0
Kb
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n 0.31
角、初始弹性模量基数对坝体竖向位移的敏感性相对较大；初始内摩擦角、初始弹性模量基数、破坏比对坝体向
上游水平位移的敏感性相对较大；初始体积模量基数、初始内摩擦角、初始弹性模量基数对坝体向下游水平位移
的敏感性相对较大；模型参数取值对向上游水平位移的影响最为显著；体积模量指数、摩擦角中的减少值、弹性
模量指数对坝体变形计算结果的影响相对较小。本文的研究方法及成果可以为面板堆石坝邓肯-张 E-B 模型参数
（5）
式中 ：φ0 为初始内摩擦角 ；Δφ为围压增加一个对数周期下摩擦角 φ的减小值 。 邓肯-张 E-B 模型总共包含有 c、φ、Δφ、Rf、K、n、Kb、m、Kur、nur10 个参数，该模型取值时，
存在参数数量多、各参数对计算结果影响程度不同和确定参数值困难的问题。因此，面板堆石坝数
值计算的难点问题之一就是堆石料的参数取值。
φ0（/ °） Δφ（/ °）
Rf
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Kur 1 700
nur 0.31
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4.1.3 正交试验设计
摘要：邓肯-张 E-B 模型能反映堆石料不同围压下的应力变形关系，在混凝土面板堆石坝应力变形数值计算中得
到了广泛的应用。本文基于正交试验法，以混凝土面板堆石坝为例，进行了邓肯-张 E-B 模型参数对坝体竖向位
移、上下游水平位移的敏感性分析。研究结果表明：邓肯-张 E-B 模型参数中的初始体积模量基数、初始内摩擦
减量作为 3 个试验水平。参数敏感性分析的试验因素和各因素水平如表 3 所示。
表 3 正交试验因素水平取值
因素水平
Kb
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n 0.264 0.33 0.396
φ0（/ °） 43.2 54 64.8
传统的参数敏感性分析采用单因素分析方法，即选定一个指标值，并使其中一个参数变化，同 时 假 定 其 他 参 数 保 持 不 变 ， 通 过 比 较 基 准 指 标 值 随 参 数 变 化 关 系 曲 线 反 映 各 参 数 的 敏 感 性 大 小 。 ［6-8］ 此方法能够比较直观的反映各参数对基准指标值的影响，但是各个参数实际上是相互影响的，所以 这种假定往往与实际情况不符。为此，本文基于正交试验法，以公伯峡混凝土面板堆石坝与乌鲁瓦 提面板砂砾石坝为例，进行了邓肯-张 E-B 模型参数对坝体竖向位移、上下游水平位移的敏感性分 析，为面板堆坝模型参数选取提供参考。
果判断各因素对指标影响的敏感性大小。本文采用极差分析法对正交试验结果数据进行分析。
设 A， B 分别表示试验中的不同因素；t 为因素的水平数；Ai 表示因素 A 的第 i 个水平值，i=1， 2，…，t；Xij 表示因素 j 的第 i 个水平值，i=1，2，…，n；j=A，B，…。在 Xij 下进行 n 次试验得到 n 个试验结果 Yk，k =1，2，…，n。
材料在卸荷状态下的弹性模量为：
( ) Eur = Kur pa σ3
p nur a
（4）
式中：Kur、nur 分别为卸荷再加荷时的弹性模量基数和弹性模量指数。 此外，根据粗粒料的摩尔包线具有明显的非线性，内摩擦角φ随围压σ3 大小而变，故内摩擦角
采用下式计算：
( ) φ = φ0 - Δφ lg σ3 pa
参数 Kij的最大值与最小值的差值。计算公式为：
{ } { } Rj = max K1j ，K2j ，⋯ - min K1j ，K2j ，⋯
（7）
极差 Rj 越大，表明该因素的水平改变对试验指标的影响越大，即该因素的敏感性越大；相反， 极差 Rj越小，因素的敏感性越小。
4 工程实例分析
4.1 实例一 4.1.1 工 程 概 况 公伯峡混凝土面板堆石坝 位 ［12］ 于青海省境内黄河干流上 ，最大坝高 132.2m，坝顶 全长 429.0m，坝顶宽 10.0m，坝体标准横剖面如图 1 所示。坝体主要堆石材料分区为 3 种，分别为 3B Ⅰ区（70% 微 、 弱 风 化 花 岗 岩 +30% 云 母 片 岩）、 主 堆 石 3BⅡ 区（砂 砾 石）和 次 堆 石 3C 区（70% 强 风 化 花 岗 岩 +30% 弱 风 化 片 岩）。 堆 石 体 分 15 个 月 施 工 ， 半 年 后 浇 筑 混 凝 土 面 板 并 蓄 水 。 设 计 正 常 蓄 水 位为 2 005.0m，作用水头大小为 130m，下游无水。
2 邓肯-张 E-B 模型基本原理
目前，面板堆石坝应力变形数值计算中常采用邓肯-张 E-B 模型描述堆石料，该模型将总变形中
收稿日期：2012-12-24 基 金 项 目 ： 国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目（5 1 0 0 9 1 1 6）； 国 家 教 育 部 博 士 点 基 金 项 目（2 0 1 2 6 1 1 8 1 2 0 0 1 5）； 中 央 财 政 支 持 地 方 高 校 发
2013 年 7 月 文 章 编 号 ：0559- 9 3 5 0（2 0 1 3）0 7- 0 8 7 3- 0 7
水利
SHUILI
学报
XUEBAO
第 44 卷 第 7 期
基于正交试验法的邓肯-张 E-B 模型参数敏感性分析研究
李炎隆 1，李守义 1，丁占峰 2，涂 幸 1
（1. 西安理工大学 陕西省西北旱区生态水利工程重点实验室，陕西 西安 710048； 2. 中国市政工程西北设计研究院有限公司 陕西分院，陕西 西安 710075）
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正交表用 L（n tc）表示，其中：L 为正交表的代号；n
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为总共试验次数；t 为因素的水平数；c 为正交表
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Байду номын сангаас
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列数，即可以安排的最多的因素个数。
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正交表是正交试验设计的关键，它必须满足
3 正交试验设计方法
3.1 正交试验设计 正交试验方法是根据数理统
表 1 L1（8 2×37）正交试验
计学与正交性原理，从大量试验点中选取合适的
有 代 表 性 的 点 ， 再 按 照“ 正 交 表 ”安 排 试 验 。 由 于 试验号
号
正 交 表 具 有“ 均 衡 分 散 性 ”和“ 整 齐 可 比 性 ”的 构 造
选取提供参考。
关键词：邓肯-张 E-B 模型；堆石料；正交试验法；敏感性分析
中图分类号：TV641.4
文献标识码：A
1 研究背景
对于混凝土面板堆石坝而言，主要筑坝料为散粒体弹塑性的堆石料，因此其应力变形表现为明 显 的 非 线 性 。 ［1-3］ 邓 肯 -张 E-B 模 型 能 反 映 堆 石 料 不 同 围 压 下 的 应 力 变 形 关 系 ， 是 面 板 堆 石 坝 应 力 变 形数值计算中最常用的材料本构模型之一［4］。目前确定邓肯-张 E-B 模型参数通常有 3 种方法：（1）通 过 材 料 三 轴 试 验 确 定 各 参 数 的 取 值 ；（2）根 据 筑 坝 料 的 性 质 和 成 分 组 成 类 比 其 他 相 似 坝 料 的 已 建 工 程 选 取 计 算 参 数 ；（3）通 过 对 实 测 结 果 的 反 演 分 析 获 得 更 为 准 确 的 计 算 参 数［5］。 邓 肯 -张 E-B 模 型 参 数 较多，参数反演分析比较困难，计算工作量也大，因此，进行邓肯-张 E-B 模型参数的敏感性分析， 准确、快捷地确定参数取值具有工程实际应用价值。
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表 1 所示为 L1（8 2×37）第一因素为 2 水平，后 7 个因素为 3 水平的 8 因素正交表。 3.2 正交试验结果分析方法 按照正交表设计的试验进行分析，计算各试验的指标值，根据试验结
（1）选 取 试 验 指 标 。 根 据 参 数 敏 感 性 分 析 中 试 验 指 标 的 选 取 原 则 ， 考 虑 到 堆 石 体 在 自 重 和 水 荷 载 作用下，发生沉降变形和向上下游水平变形对大坝的影响较大，因此，选择坝体最大竖向位移 V、向 上游最大水平位移 Hu和向下游最大水平位移 Hd作为参数敏感性分析的主要试验指标。
图 1 公伯峡面板堆石坝标准剖面
4.1.2 计 算 参 数 混 凝 土 面 板 按 线 弹 性 材 料 考 虑 ， 取 材 料 密 度 ρd=2 450kg/m3， 弹 性 模 量 E=2.0 × 104MPa。坝体其它各分区材料的邓肯-张 E-B 模型计算参数如表 2 所示。
表 2 公伯峡坝体材料邓肯-张 E-B 模型计算参数
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以 下 两 个 条 件 ： ［10］ 每 一 列（因 素）的 不 同 水 平 在 试
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的 塑 性 部 分 当 作 弹 性 变 形 来 处 理 ， 通 过 对 弹 性 常 数 的 调 整 来 近 似 考 虑 塑 性 变 形［1］。 基 本 计 算 原 理 如 下 。
材料的切线弹性模量计算公式：
Et = Ei (1 - Rf S )2
（1）
式中：S 为应力水平，表示实际主应力差与破坏时主应力差的比值；Rf 为破坏比，定义为破坏时的
计算统计参数为 ： ［11］
å Kij
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式中：Kij 为因素 j 在 i 水平下各次试验结果平均值；n 为因素 j 在 i 水平下的试验次数；Yk 为第 k 个试验 指 标 值 ；Y-为 所 有 试 验 结 果 的 平 均 值 。
极差法分析因素敏感性的评价标准是各因素的极差值 Rj，其定义为该因素各水平下计算的统计
主应力差与主应力差渐近值的比值，其值小于 1.0；Ei为初始切线模量，定义为：
( ) Ei = Kpa σ3 pa n
（2）
式中：K、n 分别为初始弹性模量基数和弹性模量指数；pa为标准大气压。 材料的切线体积模量：
( ) Bt = Kb pa σ3 pa m
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式中：Kb、m 分别为初始体积模量基数和体积模量指数。
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并且能反映客观事物的变化规律。
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在正交试验中把所考察的结果称为指标，把
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对试验指标可能有影响的参数称为因素，把每个
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因素在试验中要比较的具体试验条件称为水平。
（2）确定试验因素和因素水平。堆石料是散粒体材料，其黏聚力按 0 考虑，并且在坝体填筑和蓄
水过程中堆石料均处于加荷状态，其模型参数中的卸荷模量基数和卸荷模量指数均不参与计算，因 此，选择模型中的φ0、Δφ、Rf、K、n、Kb、m 总共 7 个参数进行敏感性分析。本文以 3BⅠ区堆石料作 为敏感性分析的研究对象，以室内试验参数为基础，在敏感性分析中每个计算参数按正负 20%的增
材料 垫层料 过渡料 主堆石 3BⅠ 主堆石 3BⅡ 次堆石 C
ρ（/ kg·m-3） 2 270 2 270 2 210 2 270 2 160
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角、初始弹性模量基数对坝体竖向位移的敏感性相对较大；初始内摩擦角、初始弹性模量基数、破坏比对坝体向
上游水平位移的敏感性相对较大；初始体积模量基数、初始内摩擦角、初始弹性模量基数对坝体向下游水平位移
的敏感性相对较大；模型参数取值对向上游水平位移的影响最为显著；体积模量指数、摩擦角中的减少值、弹性
模量指数对坝体变形计算结果的影响相对较小。本文的研究方法及成果可以为面板堆石坝邓肯-张 E-B 模型参数
（5）
式中 ：φ0 为初始内摩擦角 ；Δφ为围压增加一个对数周期下摩擦角 φ的减小值 。 邓肯-张 E-B 模型总共包含有 c、φ、Δφ、Rf、K、n、Kb、m、Kur、nur10 个参数，该模型取值时，
存在参数数量多、各参数对计算结果影响程度不同和确定参数值困难的问题。因此，面板堆石坝数
值计算的难点问题之一就是堆石料的参数取值。
φ0（/ °） Δφ（/ °）
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4.1.3 正交试验设计
摘要：邓肯-张 E-B 模型能反映堆石料不同围压下的应力变形关系，在混凝土面板堆石坝应力变形数值计算中得
到了广泛的应用。本文基于正交试验法，以混凝土面板堆石坝为例，进行了邓肯-张 E-B 模型参数对坝体竖向位
移、上下游水平位移的敏感性分析。研究结果表明：邓肯-张 E-B 模型参数中的初始体积模量基数、初始内摩擦
减量作为 3 个试验水平。参数敏感性分析的试验因素和各因素水平如表 3 所示。
表 3 正交试验因素水平取值
因素水平
Kb
K
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n 0.264 0.33 0.396
φ0（/ °） 43.2 54 64.8
传统的参数敏感性分析采用单因素分析方法，即选定一个指标值，并使其中一个参数变化，同 时 假 定 其 他 参 数 保 持 不 变 ， 通 过 比 较 基 准 指 标 值 随 参 数 变 化 关 系 曲 线 反 映 各 参 数 的 敏 感 性 大 小 。 ［6-8］ 此方法能够比较直观的反映各参数对基准指标值的影响，但是各个参数实际上是相互影响的，所以 这种假定往往与实际情况不符。为此，本文基于正交试验法，以公伯峡混凝土面板堆石坝与乌鲁瓦 提面板砂砾石坝为例，进行了邓肯-张 E-B 模型参数对坝体竖向位移、上下游水平位移的敏感性分 析，为面板堆坝模型参数选取提供参考。
果判断各因素对指标影响的敏感性大小。本文采用极差分析法对正交试验结果数据进行分析。
设 A， B 分别表示试验中的不同因素；t 为因素的水平数；Ai 表示因素 A 的第 i 个水平值，i=1， 2，…，t；Xij 表示因素 j 的第 i 个水平值，i=1，2，…，n；j=A，B，…。在 Xij 下进行 n 次试验得到 n 个试验结果 Yk，k =1，2，…，n。
材料在卸荷状态下的弹性模量为：
( ) Eur = Kur pa σ3
p nur a
（4）
式中：Kur、nur 分别为卸荷再加荷时的弹性模量基数和弹性模量指数。 此外，根据粗粒料的摩尔包线具有明显的非线性，内摩擦角φ随围压σ3 大小而变，故内摩擦角
采用下式计算：
( ) φ = φ0 - Δφ lg σ3 pa
参数 Kij的最大值与最小值的差值。计算公式为：
{ } { } Rj = max K1j ，K2j ，⋯ - min K1j ，K2j ，⋯
（7）
极差 Rj 越大，表明该因素的水平改变对试验指标的影响越大，即该因素的敏感性越大；相反， 极差 Rj越小，因素的敏感性越小。
4 工程实例分析
4.1 实例一 4.1.1 工 程 概 况 公伯峡混凝土面板堆石坝 位 ［12］ 于青海省境内黄河干流上 ，最大坝高 132.2m，坝顶 全长 429.0m，坝顶宽 10.0m，坝体标准横剖面如图 1 所示。坝体主要堆石材料分区为 3 种，分别为 3B Ⅰ区（70% 微 、 弱 风 化 花 岗 岩 +30% 云 母 片 岩）、 主 堆 石 3BⅡ 区（砂 砾 石）和 次 堆 石 3C 区（70% 强 风 化 花 岗 岩 +30% 弱 风 化 片 岩）。 堆 石 体 分 15 个 月 施 工 ， 半 年 后 浇 筑 混 凝 土 面 板 并 蓄 水 。 设 计 正 常 蓄 水 位为 2 005.0m，作用水头大小为 130m，下游无水。
2 邓肯-张 E-B 模型基本原理
目前，面板堆石坝应力变形数值计算中常采用邓肯-张 E-B 模型描述堆石料，该模型将总变形中
收稿日期：2012-12-24 基 金 项 目 ： 国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目（5 1 0 0 9 1 1 6）； 国 家 教 育 部 博 士 点 基 金 项 目（2 0 1 2 6 1 1 8 1 2 0 0 1 5）； 中 央 财 政 支 持 地 方 高 校 发
2013 年 7 月 文 章 编 号 ：0559- 9 3 5 0（2 0 1 3）0 7- 0 8 7 3- 0 7
水利
SHUILI
学报
XUEBAO
第 44 卷 第 7 期
基于正交试验法的邓肯-张 E-B 模型参数敏感性分析研究
李炎隆 1，李守义 1，丁占峰 2，涂 幸 1
（1. 西安理工大学 陕西省西北旱区生态水利工程重点实验室，陕西 西安 710048； 2. 中国市政工程西北设计研究院有限公司 陕西分院，陕西 西安 710075）
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正交表用 L（n tc）表示，其中：L 为正交表的代号；n
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为总共试验次数；t 为因素的水平数；c 为正交表
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Байду номын сангаас
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列数，即可以安排的最多的因素个数。
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正交表是正交试验设计的关键，它必须满足