勾股定理求最短距离的问题专题课

归纳 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图 形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最
短确定最短路线.
典例精析
例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正
好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知
油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）?
B
B
B'
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A
A'
解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.
在Rt△A′DB中，由勾股定理得
A′
北 东
A′B 152 82 17.
牧童A C
小屋B
归纳 求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和 的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的 对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长， 以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角 三角形，再运用勾股定理求最短路径.
专题课：利用勾股定理求最短距离
问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选 择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也 懂数学？
C
A
B
AC+CB >AB（两点之间线段最短） 思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？
问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西
B
时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的
A
10
6
例2 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他 正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到 小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最 短路程是多少？
解：如图，作出点A关于河岸的对称点
A′，连接A′B则A′B就是最短路线.
由题意得A′C=4+4+7=15(km)，BC=8km.
别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相
对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食
物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线
路是多少？
A
A
B
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得 C
B
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329, ∴AB=73cm.
∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,
∴AB'=13. 即梯子最短需13米.
数学思想： 立体图形
转化 展开
平面图形
【变式题】看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲 儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂 蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠 粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？
B
牛奶盒
能力提升：
例3 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形 灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知 圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表 面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
解：如右下图，在Rt△ABC中， ∵AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)． 由勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452， ∴AB＝45cm， ∴整个油纸的长为45×4＝180(cm)．
A 10cm
8cm 6cm
B3
B1 B
解：由题意知有三种展开 方法，如图.由勾股定理得 AB12 =102 +（6+8）2 =296， AB22= 82 +（10+6）2 =320，
AB32= 62 +（10+8）2 =360， B2 ∴AB1＜AB2＜AB3.
8
∴小蚂蚁完成任务的最短 路程为AB1，长为 2 74 .
练一练
1.如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处
有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食
物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少.
B
B
1
A
A
2
解：由题意得AC =2，BC=1,
C
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AB²= AC²+ BC²=2²+1²=5
∴AB= 5 ，即最短路程为 5 .
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分
蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B
处，蚂蚁怎么走最近？
A
蚂蚁A→B的路线
A' d B A'
B
OB
B
A
A
A
A
想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3.
A' 3 O
B
A' 3π B
12
侧面展开图 12
A
A
解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得
AB AA′2 BA′2 122 3 32 15.