常微分方程的基本概念

第十三章 常微分方程简介
本章介绍微分方程的有关概念及某些简单微分方程的解法。

微分方程是包含未知函数及其导数的方程。

由微分方程能够求出未知函数的解析表达式，从而掌握所研究的客观现象的变化规律和发展趋势。

因此，掌握这方面的知识，用之分析解决问题是非常重要的。

由于在大多数情况下，微分方程很难求出初等解（即解的形式是初等函数）。

那么，就需要研究解的存在理论，借助计算机求出微分方程的数值解。

本章的内容，仅仅包含常微分方程的一些最初步的知识，特殊的一阶和部分二阶微分方程的初等解法；最后一节讨论微分方程的简单应用。

§1 常微分方程的基本概念
像过去我们研究其他许多问题一样，首先通过具体实际例子来引入微分方程的概念。

1.1 两个实例
例1.1 设某一平面曲线上任意一点),(y x 处的切线斜率等于该点处横坐标x 的2倍，且曲线通过点)2,1(，求该曲线的方程。

解 平面上的曲线可由一元函数来表示
设所求的曲线方程为)(x f y =，根据导数的几何意义，由题意得 x dx
dy
2=（这是一个含未知函数)(x f y =的导数的方程）。

另外，由题意，曲线通过点)2,1(，所以，所求函数)(x f y =还满足2|1==x y 。

从而得到 1
2
(1.1)|2(1.2)
x
dy
x dx
y ，。

为了解出)(x f y =，我们只要将(1.1)的两端积分，得
⎰+=+==C x C x xdx y 22
2
22，
我们说 C x y +=2对于任意常数C 都满足方程(1.1)。

再由条件(1.2)，将2|1==x y 代入C x y +=2，即 C +=2121=⇒C 。

故所求曲线的方程为12+=x y 。

再看一个例子：
例1.2 设质点以匀加速度a 作直线运动，且0=t 时0,0v v s ==。

求质点运 动的位移与时间t 的关系。

解 这是一个物理上的运动问题。

设质点运动的位移与时间的关系为
)(t s s =。

则由二阶导数的物理意义，知a t
d s d =22
，这是一个含有二阶导数的方程。

再由题意
00
|0|t t
s v
v ，因此，)(t S S =应满足问题
22
000 (1.3)
|0|(1.4)
t t d s a dt s v v ，，。

要解这个问题，我们可以将(1.3)两边连续积分两次，即
1C at dt
ds
+=， (1.5) ⎰⎰++=21C dt C tdt a s ，即 2122
C t C t a s ++=， (1.6) 其中21,C C 为任意常数。

由条件(1.4)，因为0|0==t s ，代入(1.6)，得02=C ；
再由00|v v t ==，代入(1.5)，得01v C =。

故得 t v t a s 02
2
+= 为所求。

下面我们将通过分析这两个具体的例子，给出微分方程的一些基本概念。

1.2 微分方程的基本概念
总结所给出的两个具体的例子，我们看到：
(1) 例1.1的)1(式和例1.2 的)1(式都是含有未知函数的导数的等式（例1含一阶导数，例2含二阶导数）；
(2) 通过积分可以解出满足这等式的函数；
(3) 所求函数除满足等式外，还满足约束条件（例1中的)2(式和例2 中的)2(式）
（初始条件：例1有一个初始条件，例2有两个初始条件）。

由此，我们得到如下的概念。

1 微分方程的概念
定义1.1 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。

未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。

注 (1) 方程中强调含有未知函数的导数。

因此，它是反映未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程在微分方程中未知函数几自变量可以不单独出现，但必须出现未知函数的导数。

(2) 微分方程中的自变量由问题而定。

如x dx dy 2=的自变量是x ，2at dt
ds
=的自变量是t ，
y x dy
dx
+=的自变量是y 。

(3) 微分方程中只含一个自变量的叫常微分方程。

例如，2233x y x y x y x ='+''+'''是常微分方程；x xe y =不是微分方程；
022222=∂∂+∂∂+∂∂z
u
y u x u 是偏微分方程（本章不研究）。

2 微分方程的阶
定义1.2 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶。

例如，
x dx
dy
2=是一阶微分方程； a dt s
d =2
2是二阶微分方程； 2233x y x y x y x ='+''+'''是三阶微分方程； n x y ='是一阶微分方程；
一般地，0),,(='y y x F 是一阶微分方程的一般形式是
0),,,,()(='n y y y x F ， (1.7) 其中F 是个2+n 变量的函数。

这里必须指出，在方程(1.7)中，)(n y 是必须出现的，而)1(,,,,-'n y y y x 等变量则可以不出现。

例如n 阶微分方程
01)(=+n y
中，除)(n y 外，其他变量都没有出现。

如果能从方程(1.7)中解出最高阶导数，得微分方程
()
(1)(,,,
,)n n y f x y y y 。

(1.8)
以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且(1.8)式右端的函数f 在所讨论的范围内连续。

3 微分方程的解
定义1.3 如果把某函数)(x y ϕ=代入微分方程，能使方程成为恒等式，那么称此函数为微分方程的解。

确切地说，设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，[,(),(),
,
()]0n
F x x x x ，那么函数)(x y ϕ=就叫做微分
方程(1.7)在区间I 上的解。

例如 ① C x y +=2是
x dx dy
2=的解； ② 12+=x y 也是x dx
dy
2=的解；
③ 2122C t C t a s ++=是2at dt ds
=的解；
④ t v at s 022+=也是2at dt
ds
=的解。

定义1.4(通解、特解) 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。

确定了通解中任意常数，就得到了微分方程的特解。

如 ①，③是通解。

②，④是特解。

注 (1) 微分方程的解有三种形式：显式解 )(x f y =或)(y g x =；隐式解 由方程0),(=y x ϕ确定的函数关系（通积分）；参数方程形式的解
()()
x t y
t 。

(2) 微分方程的通解：是指含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同的解。

(3) 微分方程的通解也不一定能包含它的一切解。

如0122=-+'y y 的通解为)sin(C x y +=，但1±=y 也是微分方程的解，但它不包含在通解中，因为无论
C 取何值都得不到1±=y 。

4 微分方程的初始条件
在例1.1中，当1=x 时2=y ，通常记为2|1==x y 或2)1(=f ； 在例1.2中，当0=t 时0=s 即0|0==t s ，当0=t 时0v dt
ds
=即00|v s t ='= 这些用来确定任意常数的条件为初始条件。

一般来说，一阶微分方程0),,(='y y x F 有一个初始条件00|y y x x ==； 二阶微分方程0),,,(='''y y y x F 有两个初始条件00|y y x x ==与10|y y x x ='=；
…………
n 二阶微分方程0),,,,()(='n y y y x F 有n 个初始条件。

5 初值问题
求微分方程满足初始条件的特解，称为初值问题。

如例1.1中的⑴、⑵；例1.2中的⑴、⑵。

一般一阶微分方程的初值问题记作
00
(,,)0
|x x F x y y y y ； (1.9)
二阶微分方程的初值问题记作
00
01
(,,,)0
||x x x
x F x y y y y y y
y 。

(1.10)
6 微分方程解的几何意义
常微分方程的特解的图形为一条曲线，叫做微分方程的积分曲线； 微分方程的通解的图形是以C 为参数的曲线族，且同一自变量x 对应的曲线上的点处处切线的斜率相同。

初值问题(1.9)的解的几何意义是微分方程通过点),(00y x 的那条积分曲线。

初值问题(1.10)的解的几何意义是微分方程通过点),(00y x 且在该点的斜率为
1y 的那条积分曲线。

例1.3 验证：函数
kt C kt C x sin cos 21+= (1.11)
是微分方程
0222=+x k dt
x
d (1.12)
的解。

解 求出所给函数(1.10)的导数
,cos sin 21kt kC kt kC dt
dx
+-= (1.13)
)sin cos (sin cos 212
22122
2kt C kt C k kt C k kt C k dt
x d +-=--= 把 22dt
x
d 及 x 的表达式代入方程(1.11)得
)sin cos (212kt C kt C k +-+)sin cos (212kt C kt C k +0≡
函数(1.10)及其导数代入方程(1.11)后成为一个恒等式，因此函数(1.10)是微分方程(1.11)的解。

例1.4 已知函数(1.10)当 0k ≠ 时是微分方程(1.11)的通解，求满足初始条件
00
|,
0t t dx
x A dt ==== 的特解。

解 将条件“0t = 时，x A =”代入(1.10)式得
1C A =。

将条件“0t = 时，
0dx
dt
=”代入(1.12)式，得 20C =。

把12,C C 的值代入(1.10)式，就得所求的特解为
cos x A kt =。

练习13.1
1．选择题：
（1）微分方程
2
2
2e x
d y dy
y
dx
dx
++=是____________。

（A）齐次的；（B）线性的；（C）常系数的；（D）二阶的。

（2）微分方程
2
2
d y
y
dx
+=的通解是______________。

（A ）sin y A x =； （B ）cos y B x =； （C ）sin cos y x B x =+； （D ）sin cos y A x B x =+。

（3）下列方程中是一阶微分方程的有___________。

（A ）2()20x y yy x ''-+=； （B ）2457()5()0y y y x '''+-+= （C ）2222()()0x y dx x y dy -++=； （D ）0xy y y '''++=。

（4）下列等式中是微分方程的有___________。

（A ）()u v uv uv '''+=； （B ）e sin x y x '=+；
（C ）(e )e x x
dy d y dx dx
++=； （D ）340y y y '''++=。

2．填空题：
（1）方程2()369y y '++=是__________阶微分方程。

（2）方程ln xy y y '=的通解是_____________________。

（3）方程348y y y '''--=的通解是____________________。

（4）方程sin y x x ''=+的通解是_________________________。

（5）设1e x y =，2e x y x =+是线性微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解， 则该方程的通解为____________________。

（6）函数21e x y =，22e x y x =所满足的二阶常系数齐次线性微分方程为________。

3．指出下列微分方程的阶数：
（1）02)(2=+'-'x y y y x ； （2） 0)(5)(6543=+-'+''x y y y ； （3） 022=+''+'''y x y y x ； （4） 0)()(2222=++-dy y x dx y x 。

4．验证微分方程后所列的函数是否为微分方程的解，是否是通解． （1） y y x 2='，25x y =； （2） 0)(2=+'-'-'y y x y y ，cx y =；
（3） 0=+''y y ，x x y cos 4sin 3-=； （4） 02=+'-''y y y ，x x y e =； （5） y x y y x -='-2)2(,c y xy x =+-22。

5．列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度
2/4.0s m -。

问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶
了多少路程？
6．确定函数关系式21
2()x y
C C x e 中所含的参数，使其满足初始条件
(0)
0y ，(0)
1y 。

7．设曲线上点(,)P x y 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分，试确定该曲线满足的微分方程。

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