常规控制图的作法和应用

广濑拓普康（）电子
常规控制图的作法及其应用
一、各类常规控制图的使用场合
1．X-R控制图
用于控制对象为长度、重量、强度、纯度、时间、收率和生产量等计量值的场合。

X控制图主要用于观察正态分布的均值的变化，R控制图主要用于观察正态分布分散或变异情况的变化，而X-R控制图则将二者联合运用，用于观察正态分布的变化。

2．X-s控制图
与X-R图相似，只是用标准差（s）图代替极差（R）图而已。

3．Me-R控制图
与X-R图也很相似，只是用中位数（Me）图代替均值（X）。

4．X-Rs控制图
多用于对每一个产品都进行检验，采用自动化检查和测量的场合。

5．p控制图
用于控制对象为不合格品率或合格品率等计数质量指标的场合，使用p图时应选择重要的检查项目作为判断不合格品的依据；它用于控制不合格品率、交货延迟率、缺勤率、差错率等。

6．np控制图
用于控制对象为不合格品数的场合。

设n为样本，p为不合格品率，则np为不合格品数。

7．c控制图
用于控制一部机器，一个部件，一定长度，一定面积或任何一定的单位中所出现的不合格数目。

焊接不良数/误记数/错误数/疵点/故障次数
8．u控制图
当上述一定的单位，也即n保持不变时可以应用c控制图，而当n有变化时则应换算为平均每项单位的不合格数后再使用u控制图。

二、应用控制图需要考虑的一些问题
1．控制图用于何处？对于所确定的控制对象——统计量应能够定量，这样才能够应用计量控制图；如果只有定性的描述而不能够定量，那就只能应用计数控制图。

所控制的过程必须具有重复性，即具有统计规律。

2．如何选择控制对象？一个过程往往具有各种各样的特性，在使用控制图时应选择能够真正代表过程的主要指标作为控制对象。

3．怎样选择控制图？选择控制图主要考虑以下几点：首先根据所控制质量特性的数据性质来进行选择，如数据为连续值的应选择X-R图，X-s图，X-Rs图等；数据为计件值的应选择p或np图；数据为计点值的应选择c图或u图。

最后，还需要考虑其他要求；如样本抽取及测量的难易和费用高低。

4．如何分析控制图？如果在控制图中点子未出界，同时点子的排列也是随机的，则认为生产过程处于稳定状态或统计控制状态。

如果控制图点子出界或界点排列非随机，就认为生产过程失控。

注：对于应用控制图的方法还不够熟悉的工作人员来说，即使在控制图点子出界的场合，也首先应该从下列几个方面进行检查：样本的抽取是否随机？测量有无差错？数字的读取是否正确？计算有无错误？描点有无差错？然后再来调查过程方面的原因，经验证明这点十分重要。

5．对于点子出界或违反其他准则的处理。

若点子出界或界点排列非随机，应立即查明原因并采取措施尽量防止它再次出现。

6．控制图的重新制定。

控制图是根据稳态下的条件（人员、设备、原材料、工艺方法、环境、测量，即5M1E）来制定的。

如果上述条件变化，控制图也必须重新加以制定；由于控制图是科学管理生产过程的重要依据，所以经过相当时间的使用后应重新抽取数据，进行计算，加以检验。

7．计量控制图和计数控制图可分为未给定标准值和给定标准值两种情形，两种情形不能混淆。

8．控制图的保管问题。

控制图属于技术资料，应加以妥善保管，这些资料对于今后在产品设计和制定规方面都是十分有用的。

三、X-R控制图
（一）、X-R控制图的特点：
（1）适用围广
（2） 灵敏度高 （二）、X-R 图的作法：
表1-
为了求出估计值，需要收集预备数据如表1- 。

从表1- 的数据可求得： 总平均值为： 极差为：
R i=X i max-X i min
平均极差值为：
于是X 图的中心线及控制限为：
UCL x
=X+A 2R
CL x =X
LCL x =X - A 2R
式中，，参见表2-
表2- 系数A 2
R 图的中心线及控制限为：
式中，系数D 3、D 4分别为：
D 3=1-3d 3/d 2 D 4=1+3d 3/d 2 D 3、D 4为样本量n 有关的系数，参见表3-
注：1．在许多控制图中，正如X-R 图，在确定中心线及控制限时，需要抽取多个样本，在标准中，这样的样本也称为子组，因而n 也称为子组大小，而m 称为子组数。

2．表中的0表示LCL 为负值，但R 不可能为负，故LCL=0仅表示为R 的自然下界，而
非下控限。

为了更清晰地表示这一点。

可将下控制限写成：LCL=—。

在X-R 图中，我们应该先作哪一个图？
（1） 如果先作X 图，则由于这时R 图还未判稳，R 的数据不可用，故不可行。

（2） 如果先作R 图，则由于R 图中只有R 一个数据，可行。

等R 图判稳后，再作X 图。

故作X-R 图应倒过来作，先作R 图，R 图判稳后，再作X 图。

若R 图未判稳，则不能开始作X 图。

国标GB/T 4091-2001也规定了在X-R 图中心须先作R 图。

不但如此，注意，所有正态分布的控制图都必须倒过来作。

（三）、X-R 控制图的操作步骤
步骤1：确定控制对象，或称统计量。

这里要注意下列各点：
（1）选择技术上最重要的控制对象。

（2）若指标之间有因果关系，则宁可取作为因的指标为统计量。

（3）控制对象要明确，并为大家理解与同意。

（4）控制对象要能以数字来表示。

（5）控制对象要选择容易测定并对过程容易采取措施者。

步骤2：取预备数据（Preliminary data）。

（1）取25个子组。

（2）子组大小取为多少？国标推荐样本量为4或5。

（3）合理子组原则。

合理子组原则是由休哈特本人提出的，其容是：“组差异只由偶因造成，组间差异主要由异因造成”。

其中，前一句的目的是保证控制图上、下控制线的间隔距离6σ为最小，
从而对异因能够及时发出统计信号。

由此我们在取样本组，即子组时应在短间隔取，以避免异因
进入。

根据后一句，为了便于发现异因，在过程不稳，变化激烈时应多抽取样本，而在过程平稳
时，则可少抽取样本。

如不遵守上述合理子组原则，则在最坏情况下，可使控制图失去控制的作用。

步骤3：计算Xi，Ri。

步骤4：计算X，R。

步骤5：计算R图控制线并作图。

步骤6：将预备数据点绘在R图中，并对状态进行判断。

若稳，则进行步骤7；若不稳，则除去可查明原因后转入步骤2重新进行判断。

步骤7：计算X图控制线并作图。

将预备数据点绘在X图中，对状态进行判断。

若稳，则进行步骤8；若不稳，则除去可查明原因后转入步骤2重新进行判断。

步骤8：计算过程能力指数并检验其是否满足技术要求。

若过程能力指数满足技术要求，则转入步骤9。

步骤9：延长X-R控制图的控制线，作控制用控制图，进行日常管理。

上述步1~步骤8为分析用控制图。

上述步骤9为控制用控制图。

（四）、X-R控制图示例
[例1]某手表厂为了提高手表的质量，应用排列图分析造成手表不合格品的各种原因，发现“停摆”占第一位。

为了解决停摆问题，再次应用排列图分析造成停摆的原因，结果发现主要是由于螺栓松动引发的螺栓脱落造成的。

为此厂方决定应用控制图对装配作业中的螺栓扭矩进行过程控制。

分析：螺栓扭矩是一计量特性值，故可选用基于正态分布的计量控制图。

又由于本例是大量生产，不难取得数据，故决定选用灵敏度高的X-R图。

解：我们按照下列步骤建立X-R图：
步骤1：取预备数据，然后将数据合理分成25个分子组，参见表3- 。

步骤2：计算各组样本的平均数Xi。

例如，第一组样本的平均值为，其余参用表中第（7）栏：
步骤3：计算各级样本的极差R。

例如第一组样本的极差为R1=max{x1j}-min{x1j}=174-154=20 表3- [例1]的数据与X-R图计算表
步骤4：计算样本总均值X 与平均样本极差R 。

由于∑X i =4081.8, ∑R=357,故：
X=163.272，R=14.280
步骤5：计算R 图的参数。

先计算R 图的参数。

从本节表3- 可知，当子组大小n=5，D 4=2.114，D 3=0，代入R 图的公式，得到：
UCL R =D 4R=2.114х14.280=30.188 CL R =R =14.280 LCL R =D 3R= —
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
0.000 14.280
30.188
均值控制图
171．512
图1- [例1]的第一次X-R图
参见图1-。

可见现在R图判稳。

故接着再建立X图。

由于n=5，从表2- 知A2=0.577,再将
X=163.272,R=14.280代入X图的公式，得到X图：
UCLx=X+A2R=163.272+0.577×14.280≈171.512
CLx=X=163.272
LCLx=X-A2R=163.272-0.577×14.280≈155.032
因为第13组X值为155.00小于UCLx，故过程的均值失控。

经调查其原因后，改进夹具，然后去掉第13组数据，再重新计算R图与X图的参数。

此时，
代入R图与X
图的公式，得到R图：
从表3- 可见，R图中第17组R=30出界。

于是，舍去该组数据，重新计算如下：
R图：
从表3- 可见，R图可判稳。

于是计算X图如下：
X图：
将其余23组样本的极差与均值分别打点于R图与X图上，见图2- 此时过程的变异与均值均处于稳态。

步骤6：与规进行比较。

对于给定的质量规T L=140，T U=180，利用R和X计算C P。

极差控制图
13.435
28.402
图2- [例1]的第二次X-R图
由于X=163.670与容差中心M=160不重合，所以需要计算Cpk。

可见，统计过程状态下的Cp为1.16>1,但是由于μ与M偏离，所以Cpk<1。

因此，应根据对手表螺栓扭矩的质量要求，确定当前的统计过程状态是否满足设计的、工艺的和顾客的要求，决定是否以及何时对过程进行调整。

若需调整，那么调整数应重新收集数据，绘制X-R图。

步骤7：延长统计过程状态下的X-R图的控制限，进入控制用控制图阶段，实现对过程的日常控制。

四、X-s图
[例2]为充分利用子组信息，对[例1]选用X-s图。

解：步骤如下：
步骤1：依据合理分组原则，取得25组预备数据，参见表4- 。

表4- 手表的螺栓扭矩
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
均值控制图
155．918
163．670
171．422
X
1
X 2
X 3
X 4
X 5
1154174164166162164.07.2112166170162166164165.6 2.9663168166160162160163.2 3.6334168164170164166166.4 2.6085153165162165167162.4 5.5506164158162172168164.8 5.4047167169159175165167.0 5.8318158160162164166162.0 3.1629156162164152164159.6 5.36710174162162156174165.68.05011168174166160166166.8 5.02012148160162164170160.88.07513165159147153151155.07.07114164166164170164165.6 2.60815162
158
154
168
172
162.87.294
16158162156164152158.4 4.77517151158154181168162.412.21918166166172164162166.0 3.74319170170166160160165.2 5.02020168160162154160160.8 5.02021162164165169153162.6 5.94122166160170172158165.2 6.09923172164159165160164.0 5.14824174164166157162164.6 6.22925
151160164158170160.6
7.057
直 径
平均值Xi
标准差Si
子组号
步骤2：计算各子组的平均值Xi 和标准差Si 。

各子组的平均值见表4- （与表3-相同），而标准差需要利用有关公式计算，例如，第一子组的标准差为：
其余参见表4- 中的标准差栏。

步骤3：计算所有观测值的总平均值X 和平均标准差s 。

得到X=163.256 s=5.644 步骤4：计算s 图的控制限，绘制控制图。

先计算s 图的控制限。

当子组大小n=5时，B 4=2.089,B 3=0,代入s 图公式，得到：
相应的s 控制图见图3- 。

可见，s 图在第17点超出了上控制限，应查找异常的原因，采取措施加以纠正。

为了简单起见，我们将第17子组剔除掉。

利用剩下的24个子组来重新计算X-s 控制图的控制限。

得到
X=163.292,s=5.370
B4=2.089,B3=0,代入s 图的控制限公式，得到： UCLs=B 4s=2.089×5.370=11.218
1
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 标准差控制图
0.000
5．644
11．790
CLs=s=5.370 LCLs=B 3s=—
参见图4- 的标准差控制图。

可见，标准差s 控制图不存在变差可查明原因的八种模式，那么，可以利用s 来建立X 图。

由于子组大小n=5，A 3=1.427，将X=163.292,s=5.370代入X 图的控制限公式，得到：
UCLx=X+A 3s=163.292+1.427×5.370≈170.955 CLx=X=163.292
LCLx=X-A 3s=163.292-1.427×5.370≈155.629 相应的均值控制图见图4- 。

图4- 剔除第17子组后得到的X-s 控制图
由图4- 的均值控制图可知，第13组X 值为155.00小于LCLx ，故过程的均值失控。

调查其原因发现是夹具松动造成的，已经很快进行了纠正，在采集第14个子组的数据时，该问题已获解决。

故可以去掉第13子组的数据，重新计算S 图与X 图的参数。

此时，
X=163.617,s=5.265
代入与s 图的控制限公式，得到： s 图：
UCLs=B 4s=2.089×5.265=10.999 CLs=s=5.265 LCLs=B 3s=—
参见图5- 的标准差控制图。

可见，标准差s 控制图不存在变差可查明原因的八种模式，那么，可以利用s 来建立X 图。

由于子组大小n=5，从表4- 可知，A 3=1.427,将X=163.617,s=5.265代入X 图的控制限公式，得到：
UCLx=X+A 3s=163.617+1.427×5.265≈171.131 CLx=X=163.617
LCLx=X-A 3s=163.617-1.427×5.265≈156.104 参见图5- 的均值控制图。

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 标准差控制图 0.000
5．370 11．218 均值控制图 155．629
163．292 170．955 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
标准差控制图
0.000
5．265 10．999
图5- 再去掉第13个子组后得到的X-s 控制图
由图5- 的均值控制图可知，没有出现变差可查明原因的八种模式。

即标准差控制图和均值控制图都没有出现可查明原因的八种模式，说明装配作业中螺栓扭矩的生产过程处于统计控制状态。

步骤5：与容差限比较，计算过程能力指数。

已知手表螺栓扭矩的容差限为：T L =140，Tu=180。

利用得到的统计控制状态下的X=163.617，s=5.265来计算过程能力指数：
由于X=163.617与容差中心M=（Tu-T L ）/2=160不重合，所以，有必要计算有偏移的过程能力指数，
可见，统计控制状态下的过程能力指数为1.19，大于1，但是，由于存在分布中心与容差中心的偏移，故有偏移的过程能力指数不足1。

因此，应该根据对手表螺栓扭矩的质量要求，确定当前的统计控制状态是否满足设计的、工艺的、顾客的要求，决定是否以及何时对过程进行调整。

若需进行调整，那么调整后，应重新收集数据，绘制X-s 控制图。

由于X-R 控制图以平均极差点R 为σ的估计值，X-s 控制图以平均子组标准差s 为σ的估计值，所以，运用X-R 控制图与运用X-s 控制图分析同一个问题，得到的过程能力指数一般略有不同。

因为子组极差R 只利用了子组中的最大值和最小值的信息，而子组标准差s 充分利用了子组中所有的信息，所以，当X-R 控制图与X-s 控制图的分析结果不同时，尽管R 图计算上比s 图简单，但仍建议以X-s 控制图的结果为准。

五、X-Rs 图
[例3]表5- 给出了连续10批脱脂奶粉的样本“水分含量百分比”的实验室分析结果。

将一个样本的奶粉
作为一批的代表，在实验室对其成分特性进行分析测试，如脂肪、水分、酸度、溶解指数、沉积物、细菌、以及乳清蛋白。

希望将该过程的产品水分含量控制在4%以下。

由于发现单批的抽样变差可以忽略，因此决定对每批只抽取一个观测值，并以连续各批的移动极差作为设置控制限的基础。

表5- 连续10批脱脂奶粉样本的水分含量百分比
批号12345678910X ：%水分含量 2.9
3.2 3.6
4.3 3.8 3.5 3.0 3.1 3.6 3.5R ：移动极差
0.3
0.4
0.7
0.5
0.3
0.5
0.1
0.5
0.1
X=3.45% R=0.38%
移动极差（R ）控制图：
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 均值控制图
156．104
163．617 171．131
CL=R=0.38
UCL=D 4R=3.367×0.38=1.24
LCL=D 3R=0×0.38(因为n 小于7，故不标出LCL)
系数D 3和D 4的值由表5- 中按n=2行查得，由于该移动极差图已呈现出统计控制状态，于是可进行单值控制图的绘制。

单值X 控制图： CL = X =3.45
UCL = X+E 2R=3.45+(2.66×0.38)=4.46 LCL = X-E 2R=3.45-(2.66×0.38)=2.44
系数E 2的值由表5- 中n=2时的A 3给出。

控制图绘制于图6- 中。

该控制图表明过程处于统计控制状态。

图6- 表5- 数据的单值X 控制图
六、Me-R 图
[例4] 某机器生产电子盘片。

规定的厚度为0.007~0.016cm 。

每隔半小时抽取样本量为5的样本（子组），
记录其中心厚度（cm ），如表6- 所示。

拟建立一个中位数图以达到控制质量的目的。

中位数值和极差值也一并在表6- 中给出。

表6- 云母片厚度的控制数据 单位0.001cm
水分含量 百分比X
5 4．
4 3．3 2．2
UCL=4.46
X=3.45
LCL=2.44
移动极差R
1.41.21 0.80.60.4
UCL=1.24
LCL=0.38
批号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X1X2X3X4X5
114812128126
2111013810105
3111216149127
41612171513155
5151214107128
613815158137
71412131016136
8111081610108
914101297107
101210121410124
11101281012104
1210108810102
1381210810104
14138111412126
1578141311117
厚度
子组号I中位数Mei极差Ri
子组的中位数平均值和极差平均值计算如下：
极差图计算如下：
R图：
CL = R =5.73
UCL = D4R=2.114×5.73=12.11
LCL = D3R=0×5.73（由于n小于7；故不标出LCL）
系数D3和D4的值可从计量控制图系数表中查得n=5。

由于该极差图已呈现出统计控制状态，于是能按此求出中位数控制图的控制了限。

中位数控制图：
CL = Me =11.47
UCL = Me+A4R=11.47+（0.69×5.73）=15.42
LCL = Me-A4R=11.47-（0.69×5.73）=7.52
系数A4=m3A2，其值由计量控制图系数表中查得n=5，中位数图如图7- 所示，从图中显然可见，该过程呈现了统计控制状态。

17
15
13
11
9
7
中
位
数
Me
UCL=15.42
Me=11.47
LCL=7.52
图7- 表6- 数据的Ｍe 图与R 图
七、p 图
（一） p 控制图的统计控制状态是指过程的不合格品率为一常数p ，且各个产品的生产是独立的。

p 图的
统计基础是二项分布。

若过程的参数P 未知，则需对其估计由第一章知
（公式一）
式中m 是子组数，ni 是第I 个子组的大小，di 为第I
个样本的不合格数，P 为P 的估计值，P 为样本不合格品率的平均值。

于是P 控制图的控制线为：
（公式二）
（二） 关于ni 的两点说明
（1）
公式一中，若每个子组大小ni 都相等，将其记为n ，若P 0（给定标准值）或p （未给定标准值）很小，则要选样本量充分大，使得每个子组平均有一个不合格品，通常取
（公式三）
（2）
公式一中，若ni 不全相等，则p 控制图的LCLp 和UCLp 是凹凸状，对此GB/T4091-2001给出两种解决方法。

方法 1 如果ni 变化不大，则采用单一的等于平均子组大小的一组控制线。

实际上，当ni 变化在其目标值20%以，可采用该方法。

方法 2 当ni 变化较大时，可采用标准化变量的方法。

例如不点绘p 值，而改为点绘标准化Zi 值，当给定标准值p0时：
（公式四）
而当未给定标准时： （公式五） 这样，中心线和控制线与ni 无关，即： UCL =3
CL =0
LCL =-3 （公式六）
后一种方法与国所用的通用控制图在指导思想和结果的表达形式上是一致的。

极差R
14 12 10 8 6 4 2
子组号
1 3 5 7 9 11 13 15 UCL=12.11
R=5.73
[例5]在一个生产收音机晶体管的制造公司，决定建立不合格品率p图。

已经收集和分析了1个月的数据。

每天生产结束后，在当天的产品中随机抽取一个样本，并检验其不合格数。

数据如表7- 所示。

表7- 收音机晶体管的p图（初始数据）
表7- 给出了每个子组的不合格品率。

月平均不合格率计算如下：
由于子组大小各不相同，故对每个子组根据下式分别计算其UCL和LCL：
式中：ni为子组大小。

表7- 也给出了这些数值。

可以看出，为每个子组标绘其UCL和LCL是相当耗时的工作。

但是，从表7- 中能观察到，子组号17和26的不合格品率已超出了相应的上控制限。

应当将这两个子组从数据据中剔除，并及时查找导致这两组数据值偏大的原因，以便采取纠正措施防止其再次发生。

此后根据保留下来的24个子组计算出修正后的平均不合格品率：
利用修正后的P值，计算每个子组的修正后的UCL和LCL值，于是可以发现，所有的不合格品率都位于其相应的控制限以。

因此，修正后的P值就可作为建立控制图的标准不合格品率。

即P0=0.054。

正如上面所提及的，对子组大小各异的每个子组标绘其上、下控制限的是费时而枯燥的过程。

但是由于各子组大小对平均子组大小的偏离并非很大，而平均子组大小为150，所以可以用子组大小n=150作为平均子组大小，来标绘修正后的P图（用P0=0.054）的上控制限。

于是，修正后的P图控制线计算如下：
由于LCL 不可能为负数，故不标出。

修正后的P 图见图8-
图8- 表7- 数据修正后P 图
八、c 图
[例6] 一录像带制造商希望控制录像带中的不合格疵点数。

录像带按4000m 的长度生产，连续对来自某
个过程的20卷录像带（每卷长350m ）进行表面检查，得出不合格疵点数的数据。

对此生产过程的一个终端进行了研究。

为了控制该生产过程，打算用c 图点绘不合格疵点数。

表8- 给出20 卷录像带的有关数据，作为建立c 图的预备数据。

表8- 录像带的预备数据 盘号1234567891011121314151617181920总计不合格疵点数
7
1
2
5
6
2
4
4
6
3
3
1
6
3
1
3
5
6
65
下面计算中心线和控制限，并将结果标绘于图9- 中。

图9- 表8- 的数据的c 图
2 4 6 8 10 12 14 16 19 21 2
3 25
不合格率
0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0
子组号
UCL=0.109
P 0=0.054
5 10 15 20 不合格品数 10 8
6 4 2 0
盘号
UCL=8.9
c=3.4
（由于下控制限不可能为负值，故不标出下控制限。

）
九、u图
[例7] 在某轮胎生产厂，每半小时抽检15个轮胎，记录下总不合格数和单位产品不合格数。

决定建立u 图（单位产品不合格数图）来研究过程的控制状态。

表9- 给出了有关数据。

表9- 轮胎厂的单位产品不合格数（每个子组检查的单位产品数n=15）
子组号1234567891011121314总计c：不合格数4536215624752355 u：单位产品不
合格数
0.2700.3300.2000.4000.1300.0700.3300.4000.1300.2700.4700.3300.1300.200
根据表9- ，按以下方式计算u值的平均值。

用总不合格数（表9- 中c值行）除以被检产品总数（如14×15）：
（由于下控制限不可能为负数，故不标出下控制限。

）
图10- 中标绘出了数据点和控制线。

此控制图表明过程处于统计控制状态。

注意，由于子组大小为常数，故这里也可采用c图代替u图。

图10- 表9-数据的u图
单
位
产
品
不
合
格
数
0．
0．
0．
0．
0．
0．
0．
UCL=0.65
u=0.26
子组号。