人教版高中数学选修2-3第二章2.1.1离散型随机变量

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思考
掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3，4，5，6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也
可以用数字来表示呢？
掷一枚硬币，可以出现正面向上、反面向上两种结果. 虽然这个随机试验的结果不是数字，但我们可以用数1和0分别表示正面向上和反面向上.
还可以用其他的数
来表示这两个试验的结
果吗？
正面向上
反面向上
1
在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.
这就是我们今天要学习的课题
——离散型随机变量
2.1.1离散型随机
变量
教学目标
知识目标
理解随机变量、离散型随机变量的概念.
能力目标
通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，发展学生的抽象、概括能力 .
情感目标
（1）通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受到生活与数学“零距离”;
（2）激发学生学习数学的热情，使学生获得良好的价值观和情感态度.
教学重难点
重点离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当地定义随机变量.
难点对引入随机变量目的的认识,了解什么样的随机变量便于研究.
随机变量是将随机现象的结果数量化，把对随机事件及概率的研究转化为对随机变量及概率的研究.
知识要点
1.随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.
随机变量常用字母X，Y，ε，η，…表示.
说明：
（1）一般地，一个试验如果满足下列条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不是一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验.
思考
随机变量和函数有类似的地方吗？
（2）ε，η为希腊字母，读音分别为
[ksai]，[i:te].
2.随机变量和函数的相同点
（1）随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映射为实数;
（2）在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域. 知识要点
例题1
任意掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上这两种结果，虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但仍可以用数量来表示它.通常我们用ε来表示这个随机试验的结果：
ε=0，表示正面向上;
ε=1，表示反面向上.
知识要点
3.离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能值只有有限多个或可列多个（所有值可以一一列出）则称之为离散型随机变量.
说明：
（1）离散型随机变量ε可能取的值为有限个或至多可列个，这里的“可列”不易理解，所以课本用比较浅显的语言“按一定次序一一列出”来描述比如ε取1，2，…，n，…
（2）教材中为了控制难度，所涉及到的离散型随机变量可能取的值的个数多数是有限的.
例题2
某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品数的结果.
解：
我们用η表示含有的次品数，则η是一个随机变量.
继续解答
η=0，表示含有0个次品；
η=1，表示含有1个次品；
η=2，表示含有2个次品；
η=3，表示含有3个次品；
η=4，表示含有4个次品.
例题3
从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数ξ；
解：ξ可取1，2， (10)
ξ＝1，表示取出第1号卡片；
ξ＝2，表示取出第2号卡；
……
ξ＝10，表示取出第10号卡片.
例题4
某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，… ，命中10环的结果.
解：
我们用ε表示射击的命中环数，则ε是一个随机变量.
继续解答
ε=0，表示射击命中0环；ε=1，表示射击命中1环；ε=2，表示射击命中2环；ε=3，表示射击命中3环；ε=4，表示射击命中4环；
……
ε=10，表示射击命中10环. ε<3表示什么意思？
思考
电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗？分析：
电灯泡的寿命X的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X不是离散型随机变量.
注意
在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当的定义随机变量.
例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否不少于1000小时，那么就可以定义如下的随机变量：
0，寿命<1000小时；
Y
1，寿命>=1000小时.
课堂小结
1.随机变量的概念
随机变量是随机事件的结果的数量化;随机变量ξ的取值对应于随机试验的某一随机事件.
2.离散型随机变量的概念
所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.
3.随机变量与函数的相同之处
（1）随机变量是随机试验的试验结果和实
数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的;
（2）随机变量与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量x是实数，而在随机变量的概念中，随机变量ε的自变量是
试验结果.
高考链接
1.(2007安徽理)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.
(1)写出ξ的分布列(不要求写出计算过程)；
(2)求数学期望Eξ；
(3)求概率P(ξ≥Eξ).
解：
以A 表示恰剩下k 只果蝇的事件（k=0,1,…,6）,可以有多种不同的计算P 的方法.
方法1（组合模式）：当事件A 发生时，第 8-k 只飞出的蝇子是苍蝇，且在前7-k 只飞出的蝇子中有1只苍蝇，所以
17-k ξ28C 7-k P(A )==C 28
方法2（排列模式）：当事件A 发生时，共飞走8-k 只蝇子，其中第8-k 只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不同可能.在前7-k 只飞出的蝇子
中有6-k 只是果蝇，有
种不同的选择可能，还需考虑这7-k 只蝇子的排列顺序.所以
.287)!7()(28
66
12k A k C C A P k
k k -=-∙=--k C -66
ξ
.
2)435261(282=⨯+⨯+⨯.2815
2812345)2()(=++++=≥=≥ξξξP E P （2）数学期望为E ＝ （
3）所求的概率
ξ所以， 的分布列为
课堂练习
1.填空
指出下列随机变量是离散型随机变量还是连续型随机变量：
（1）郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50米有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上电线铁塔的编号ξ.
解：是离散型随机变量.
因为铁塔为有限个，其编号从1开始可一一列出.
（2）江西九江市水位监测站所测水位在（0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.
解：是连续型随机变量.
因为水位在（0，29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出..
2.选择
（1）抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是____.
A.一颗是3点，一颗是1点
B.两颗都是2点
C.两颗都是4点
√
D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
（2）将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是_____.
A.两次出现的点数之和
B.两次掷出的最大点数
C.第一次减去第二次的点数差
√
D.抛掷的次数
3.解答题
（1）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ；
解：ξ可取0，1，2 , 3.
ξ＝０，表示取出０个白球；
ξ＝１，表示取出１个白球；
ξ＝２，表示取出２个白球；
ξ＝３，表示取出３个白球.
（2）用随机变量表示下列试验，写出它们的值域：
①掷一枚普通的骰子所得到的结果为1、2、
3、4、5、6；
②在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数.
解：
表示为：
①{1，2，3，4，5，6}
② {0，1，2，3，4}
（3）姚明每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？
投进零个球——— 0分
投进一个球——— 1分
投进两个球——— 2分
投进三个球——— 3分
（4）写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取值所表示的随机试验的结果.
①盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ；
②从4张已编号（1号~4号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ.
解：
①ξ可取0,1,2,3.
ξ=i表示取出i支白粉笔，3-i支红粉笔，其中i=0,1,2,3;
②ξ可取3,4,5,6,7.其中
ξ=3表示取出分别标有1,2的两张卡片；
ξ=4表示取出分别标有1,3的两张卡片；
ξ=5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；
ξ=6表示取出分别标有2,4的两张卡片；
ξ=7表示取出分别标有3,4的两张卡片.
习题解答
1.
（1）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.
（2）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为0，1，2，3，4，5.
（3）不能用离散型随机变量表示.
2.可以取的例子很多，这里给出几个例子：
例1 某公共汽车站一分钟内等车的人数；
例2 某城市一年内下雨的天数；
例3 一位跳水运动员在比赛时所得的分数；例4 某人的手机在一天内接收到电话的次数.。