单元质量评估(三)
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单元质量评估(三)
第三章 三角恒等变形 (120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知cos(π+x)=35
,x ∈(π,2π)，则sinx=( )
(A)35 (B)4
5
(C)35 (D)45
2.(2011·福建高考)若tan α=3,则2sin2
cos
的值等于( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
3.函数y=sin 2x+sinxcosx 的最小正周期T=( ) (A)π (B)2π (C)2 (D)3
4.已知tan θ=4
3，则sin cos
sin cos
的值为( )
(A)13 (B)1
3
(C)7 (D)-7 5.已知α是第二象限角，且sin α=3
5
，则tan2α=( )
(A)247 (B)724 (C)724 (D)247
6.设2
1
3
2tan13
a
cos6sin6,b 221tan 13, 1cos50
c 2
则有( ) (A)a>b>c (B)a 7.(2011·辽宁高考)设1 sin() 43 ，则sin2θ=( ) (A)7 9(B)1 9 (C)1 9 (D)7 9 8. 已知cos2θ= 3 ，则sin4θ+cos4θ的值为( ) (A)13 18(B)11 18 (C)7 9 (D)-1 9.设cos(x+y)sinx-sin(x+y)cosx=12 13，且y是第四象限角，则y tan 2 的值是( ) (A)2 3(B)3 2 (C)3 2 (D)2 3 10.函数y=sin(3x+ 3)·cos(x- 6 )+cos(3x+ 3 )·cos(x+ 3 )的一条对称轴是 ( ) (A)x= 6 (B)x= 4 (C)x= 6 (D)x= 2 11.已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=( ) (A)4 5 (B)5 4 (C)3 4 (D)4 3 12.已知函数1cos2x x x f x asin cos() 22 4sin(x) 2 ( 其中a≠0)的最大值为2，则常数a的值为( ) (C) ±(D) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上) 13.函数y=2cos2x+sin2x的最小值是________. 14.已知3x x3x x f x cos cos sin sin2sinxcosx 2222 ，当x∈［ 2 ,π］时f(x)的零点为______. 15.已知α是第二象限的角，tan(π+2α)=4 3 ，则tanα=______． 16.关于函数，下列命题： ①若存在x1,x2有x1-x2=π时，f(x1)=f(x2)成立； ②f(x)在区间［, 63 ］上单调递增； ③函数f(x)的图象关于点( 12 ,0)成中心对称图形； ④将函数f(x)的图象向左平移5 12 个单位后将与y=2sin2x的图象重合．其中正确的命题序号是__________ (注：把你认为正确的序号都填上). 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2011·保定高一检测)化简1sinx cosx sin2x 1sinx cosx ,并求出其最大值. 18.(12分)已知1 tan() 42，试求式子2 sin22cos 1tan 的值． 19.(12分)已知函数f(x)=2sinxcosx-2cos2x+1，(1)求f(x)的最大值及相应的x的值； (2)若f(θ)=3 5，求cos2( 4 -2θ)的值． 20.(12分)(2011·邯郸高一检测)已知向量a=(sinx,1),b=(cosx,1 2 ) (1)当a b时，求|a b|的值； (2)求函数f(x)=a·(2b-a)+cos2x的单调增区间. 21.(12分)(2011·徐州高一检测)已知cosα=1 7,cos(α-β)=13 14 ， 且0<β<α< 2 . (1)求tan2α的值； (2)求β的值. 22.(12分)(2011·北京高考)已知函数f(x)=4cosxsin(x+ 6 )-1. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间［, 64］上的最大值和最小值. 答案解析 1.【解析】选B.∵cos(π+x)= 35，∴-cosx=35 ， 即cosx= 3 5 ；又x ∈(π,2π)， ∴24 sinx 1cos x 5. 2.【解析】选D. 22 sin22sin cos 2tan 6cos cos . 3.【解析】选A. 21cos2x 1 y sin x sinxcosx sin2x 22 1 12 1sin2x cos2x sin(2x ) 2 2 2 4 2 , ∴最小正周期T=π. 4.【解析】选C. 4 1sin cos tan 1374sin cos tan 1 13 . 5.【解析】选D.由α是第二象限角且sin α=35 得cos α= 45 ； ∴sin2α=2sin αcos α=2425 ， cos2α=cos 2α-sin 2α=725 ； ∴sin224tan2 cos2 7 ． 6.【解析】选C.a=sin30°cos6°-cos30°sin6°=sin24°,b=sin26°, c=sin25°,根据正弦函数的单调性知选C. 7.【解析】选A.sin2θ=-cos(2 +2θ)=-cos2(4 +θ)=2sin 2(4 +θ)-1= 79 . 8.【解析】选B.sin 4θ+cos 4θ=(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=1-12 sin 22θ =1-12 (1-cos 22θ) = 11 18 . 9.【解析】选D.由cos(x+y)sinx-sin(x+y)cosx=1213 得sin ［x-(x+y)］=-siny=1213 ， 又∵y 是第四象限角， ∴cosy= 5 13 ，∵y 1cosy tan 2siny 51213123 13 . 10.【解析】选D.y=sin(3x+3 )·cos(x-6 )+cos(3x+3 )·cos(x+3 ) =sin(3x+3)cos(x-6 )-cos(3x+3 )sin(x-6 ) =sin(2x+2 )=cos2x, 其对称轴为x= k 2(k ∈Z)，当k=1时x=2 . 11.【解析】选A.sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ 2 2 22sin sin cos 2cos sin cos 22tan tan 24224tan 1 41 5 . 12.【解析】选C. 22cos x x x 1 a f x asin cos cosx sinx 4cosx 2222 2 1a sin(x)4 4 ,(其中tan =1 a ); ∴ 24 4 ,∴a= 13.【解析】sin(2x+ 4 )+1，所以最小值为. 答案： 14.【解析】 cos(2x+4 ), 令f(x)=0 cos(4 +2x)=0， 又∵x ∈［2 ,π］， ∴5 9 2x 444 ， ∴ 3 2x 4 2 ， ∴x= 58，即函数f(x)的零点是58. 答案: 5 8 15.【解析】由tan(π+2α)= 4 3 得tan2α= 43 ， 又2 2tan 4 tan21tan 3 ， 解得tan α=1 2 或tan α=2， 又a 是第二象限的角，所以tan α=1 2 . 答案：1 2 16.独具【解题提示】先利用三角恒等变换将函数f(x)化为f(x)=Asin(ωx+ )+k 的形式，再判断其命题的真假. 【解析】∵sin2x=2sin(6 -2x) =2sin(2x+ 56)=2sin2(x+5 12 )， ∴周期T=π，①正确；∵递减区间是5 32k 2x 2k 2 6 2 (k ∈Z)，解 之为k x k 6 3 (k ∈Z)，②错误；∵对称中心的横坐标为 5k 5 2x k x 6 212 ，当k=1时，得③正确；应该是向右平移，④不正确． 答案：①③ 17.【解析】原式= 1sin2x sinx cosx 1sinx cosx 2 sinx cosx sinx cosx 1sinx cosx =sinx-cosx 2sin(x ) 4， . 18.【解析】 2 2sin22cos 2cos (tan 1) 1tan 1tan =2cos 2α·tan(α- 4 ) 22cos ()1cos2242 2sin ( )2 41 (1cos2) 22cos2 tan()44tan( )4 2 2sin( 2)22 1tan () 414()222 .15 1( ) 2 ［］［］ 19.【解析】(1)f(x)=sin2x-(2cos 2sin(2x-4 ). ∴当2x-4 =2k π+2 ，即x=k π+38 π(k ∈Z)时， f(x)； (2)由f(θ)=sin2θ-cos2θ，及f(θ)= 3 5 得： sin2θ-cos2θ=3 5 ， 两边平方得1-sin4θ=9 25，即sin4θ=16 25 ； ∴cos2( 4-2θ)=cos( 2 -4θ)=sin4θ=16 25 . 20.独具【解题提示】先根据向量的相关知识转化成三角关系式，然后再利用三角恒等变换研究相关问题. 【解析】(1)当a b时，a·b=0， ∴|a b|=22 a2a b b 2213 sin x1cos x 42 . (2)f(x)=2a·b-a2+cos2x=2sinxcosx-1-sin2x-1+cos2x sin(2x+ 4 )-2, 当2kπ- 2 ≤2x+ 4 ≤2kπ+ 2 (k∈Z)时f(x)单调递增, 解得kπ-3 8 ≤x≤kπ+ 8 (k∈Z), ∴函数f(x)的单调增区间为［kπ-3 8 ,kπ+ 8 ］,(k∈Z) 21.【解析】(1)cosα=1 7 ,0<α< 2 ， 得22 143 sin1cos1() 77 , ∴sin43 tan743 cos7 , 于是 22 2tan24383 tan2 1tan1(43) . (2)由0<β<α< 2 ，得0<α-β< 2 , 又∵cos(α-β)=13 14 ， ∴22 1333 sin()1cos()1() 14 , ∴cosβ=cos［α-(α-β)］ =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) 11343331 7147142 , 又0<β< 2 , ∴β= 3 . 22.【解析】(1)因为f(x)=4cosxsin(x+ 6 )-1 sinx+1 2 cosx)-1 sin2x+2cos2x-1 sin2x+cos2x =2sin(2x+ 6 ). 所以f(x)的最小正周期为π. (2)因为x 64,所以2 2x 663 , 于是,当2x 62,即x= 6 时，f(x)取得最大值为2; 当2x 66,即x=- 6 时，f(x)取得最小值为-1. 独具【方法技巧】三角函数最值的求法： (1)利用单调性,结合函数图象求值域,如转化为y=asin(ωx+)+b型的值域问 题. (2)将所给的三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域,如转化为 y=asin2x+bsinx+c型的值域问题. (3)换元法,出现sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx时常令t=sinx+cosx,转化为二次函数值域的问题.换元前后要注意等价.