正切函数图象

1. 正切函数的图像
sin(x )
sin x
(1)根据 tan(x+ n )= cos(x ) = cosx=tanx
(其中X M k n + 2 ,k € Z)推出正切函数的周期为n .
sin x
⑵根据tanx= cosx ,要使tanx有意义，必须 cosx M 0,
从而正切函数的定义域为{x | X M k n + 2 ,k € Z}
(3)根据正切函数的定义域和周期，我们取 x € (- 2 , 2 ).利用单位圆中的正切线，通
过平移，作出y=tanx,x € (- 2 , 2 )的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x M k n + 2 (k € Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示.
2. 余切函数的图像如下:
3. 正切函数、余切函数的性质:
正切函数
正切函数y=tanx
定义域{x | x € R且x M k n ,k € z}
值域周期性奇偶性单调性{x | x € R 且x M k n + 2,k € Z} R
n
奇
每个区间(k n - 2 ,k n +2 ) 上递
增(k € Z)
R
n
奇
每个区间(k n ,(k+1) n )上递减
(k € Z).
k n ,k n + 2 )(k € Z);单调减区间为(k n - 2 ,k
注：正切函数在每一个开区间(k n - 2 ,k n + 2 )(k € Z)内是增函数，但不能说成在整个定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此
【重点难点解析】
本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用•正切函数的图像一般用单位圆中的正切
线作.因y=tanx定义域是{x | x € R,x M k n + 2 ,k € Z},所以它的图像被平行线x=k n + 2 (k € Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的
1.正切函数应注意以下几点：
(1)正切函数y=tanx的定义域是{x | x M k n + 2 ,k € Z},而不是R,这点要特别注意：⑵
正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(k n - 2 ,k n + 2 )(k € Z)上是连续的；(3) 在每一个区间(k n - 2 ,k n + 2 )(k € Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数
2.解正切不等式一般有以下两种方法：
图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用
不等式正确表示区域.
例1作出函数y= | tanx |的图像，并根据图像求其单调区间.
分析：要作出函数y= | tanx |的图像，可先作出 y=tanx的图像，然后将它在 x轴上方的图像保留，而将其在 x轴下方的图像向上翻(即作出关于x轴对称图像)，就可得到y= | tanx |的图像.
解: 由于 y= | tanx | = tanx,x € Z[k n ,k n + 2 ]
-tanx,x € (k n
- 2 ,k n )(k €
Z)
所以其图像如图所示，单调增区间为】n] (k € Z).
tanx > 2cosx+ .3
说明：根据图像我们还可以发现：函数
y I tanx 丨的最小正周期为n . 一般地，y=A |
tan( 3 x+ $ ) |的最小正周期与 y=Atan( w x+ $ )的最小正周期相同，均为
例2 求函数y=lg(tanx- - 3)+ .2cosx 3
的定义域. 解：欲使函数有意义，必须
X M k n + 2 (k € Z)
由此不等式组作图
.•.函数的定义域为(k n + 3 ,k n + 2 ).
评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法 .图像法即先画出函数图
像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合 .三角函数线法则是先在单位圆中
作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域
.要特别
注意函数的定义域.
例3 求函数y=tan(2x-
3 )的单调区间
解：y=tanx,x € (- 2 +k n , 2 +k n )(k € Z)是增函数.
••• - 2 +k nV 2x- 3 V 2 +k n ,k € 乙
_ L 乞
k_
即-12 + 2v x v 12 + 2, k€ Z
k 5 k
函数y=ta n(2x- 3)的单调递增区间是(-12+ 2, 12 + 2 ).(k € Z)
例4 求函数f(x)=tan(2x+ 3)的周期.
解：因为 tan(2x+ 3 +n )=tan(2x+ 3 )
即 tan [ 2(x+ 2)+3 ] =tan(2x+ 3 )
tan(2x+ 3 )的周期是2 .
例5求函数y=3tan(2x+ 3 )的对称中心的坐标.
k_
分析：y=tanx是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(2,0)(k € Z).函数y=Atan( w
x+0 )的图像可由y=tanx经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰
好为图像与x轴交点.
k
解：由 2x+ 3= 2 ,(k € Z)得
k_
x= 4 - 6 (k € Z)
k _
.•.对称中心坐标为(4-6 ,0)(k € Z)
注意：函数y=Atan( w x+ $ )(A >0, w>0)的图像及性质可与函数y=Asin( w x+ $ )(A > 0, w>0)的图像及性质加以比较研究.
【难题巧解点拔】
例判断函数f(x)=tan(x- 4 )+tan(x+ 4 )的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间.
分析：奇偶性的判断必须考虑①定义域是否关于原点对称.②是否对任意x有
f(-x)=-f(x) ，或f(-x)=f(x) 成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求.
解：此函数的定义域为｛X | x € R且X M k n + 4 ,k € Z｝它是关于原点对称.
又 f(-x) =ta n(-x+ 4 )+ta n(-x- 4)
=-tan(x- 4 )-tan(x+ 4 )=-f(x)
故此函数是奇函数.
.同时要求同学们
y=Ata n( w x+ $ )(A 丰0)的周期为T= y=tan(x- 4)+tan(x+ 4)
=tan [(x- 4 )+(x+ 4)] [ 1-tan(x- 4 )tan(x+ 4)]
=tan2x [ 1+cot(x+ 4 )tan(x+ 4 ) ] =2tan2x
■/ sin( 2 -a)=cosa
cos( 2 -a)=sina
••• tan( 2 -a)=cota
cot( 2 -a)=tana
故 tan [ 2 -(x+ 4 ) ] =cot(x+ 4 )
即-tan(x- 4 )=cot(x+ 4 )
周期为2
当 k n - 2
V 2x V k n + 2
k x k_ _
2 - 4 V x V 2 + 4 (k € Z)
J _ L _
即x € ( 2 - 4, 2 + 4)时，原函数是增函数.
评析：此题的难点在于通过三角恒等化简，将函数化为一个三角函数 必须熟悉正切函数的性质•
J ig [口 9cos(x —)]
例2 已知： 2
6
<1,求函数y=cot 2
x-2cotx+5的值域.
分析：从已知条件的不等式中解出
cotx 的范围，然后在此条件下求被求函数的值域
11
解：由已知条件，可得 0<lg : 2 -9cos(x+ 6 ) ]<1.
得-2 <cos(x+ 6 ) <2
• k n + 3W x+ 6W k n + 3 ,k € 乙
2 - a€ (0,
2 )
k n + 6
W x W k n + 2
,k € Z.
/. 0W cotx W •、3 y=cot 2
x-2cotx+5=(cotx-1) 2
+4
•••当x=k n + 4 ,k € Z 时，y 取最小值4.
当x=k n + 2 ,k € Z 时，y 取最大值5. 从而函数y=cot 2
x-2cotx+5 的值域是]4,5 ].
【典型热点考题】
例1 满足tan a>cot a 的角的一个取值区间是
()
A.(0 , 4)
B. :0, 4 :
C. : 4 , 2 :
D.( 4 , 2) 分析：本考查正切函数单调性，应化同名函数，再化角为同一单调区间内 解：由选择项，可以考虑a€ (0,
2 )的性况.
•' tan a>tan( 2 - a ),且 a .•a 》2 - a , • 4 WaV 2 .
故选C.
1 tan
2 2x
2
例2函数y= 1 tan 2x 的最小正周期是()
A. 4
B. 2
C. n
D.2 n 解法1:将四个选项分别代入函数式验算，可知 B 正确.
•应选B.
1 ta n 22x
2
解法 2： y= 1 tan 2x =cos4x
2
••• T= 4=2 •应选B.
j
2 lo
g 1 X ——
例3函数y=
2
+ - tan x 的定义域是
.
厂 1
解：x 应满足 2+log 2
x>0
① J x >0 ② ]tanx >0
③
x 丰k n + 2 ,k € Z
由①②得0 V X W 4 ⑤
由③④并注意到⑤得
-0 V x <4
1_3
0 <x V 2 或nW x v 2
/• 0v X V 2 或nW x W 4.
•••应填(0 , 2 ) U [ n, 4]
例4 如果a 、B€ ( 2 , n ),且tan aV cot 3 ,那么必有()
3
3
A. aV 3
B. 3 V a
C. a + 3V 2
D.
a + 3> 2
解
tan aV cot 3V 0,二 ta n
a tan 3>1.
tan
tan
有 tan( a +
3 )=
:1 tan tan
>0
3
3
有
a + f
Y ( n, 2 ) •- -a + 3 ；V
2 .
•应选C.
2
说明：本题也可采取化为同名函数的方法，或都取特殊值比如取a =3 = 3 ,可排除A 、
B D.
【同步达纲练习】
-、选择题
1.下列不等关系中，正确的是 A. c ot3 >cot4 >cot5 B. cot4 >cot5 >cot3 ()
B.cot4 >cot3 >cot5
D.cot5 >cot4 >cot3
2.卜列不等式中，止确的是
(
)
4 3 13 12
A.tan 7 n>tan 7 n
B.tan(- 4 n ) >tan(- 5 n )
C.cot4 V cot3
D.cot281 ° V cot665 °
3.观察正切曲线，满足条件丨
tanx I W 1的x 的取值范围是(其中k € Z)()
A.(2k n - 4 ,2k n + 4 )
B.(k n ,k n + 4 )
3
C.(k n - 4 ,k n + 4 )
D.(k n + 4 ,k n + 4 )
4.函数y=tanx-cotx 的奇偶性:
是(
是 ( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数，也是偶函数
D.非奇非偶函数
B.(k n - 2 ,k n ),k € Z
D.以上均不正确
B.在y=cotx 中，x 越大，y 反而越小 D.以上均不正确.
5.如果4 vBv 2，贝U sin 0 ,cos 0 ,tan B 的大小关系是（） A.sin 0v cos 0v tan 0 B.cos 0v sin D.cos 0v tan 0v tan 0 0v sin 0
C.tan 0v sin 0v cos 0 6.y=ta nx+cotx 的最小正周期是（ )
A. n
B. 2
C. 4
D.以上均不正确
7•将函数y=tan2x 的图像向右平移 4个单位后得到的图像的解析式为 （）
A.y=tan （2x+ 4 ）
B.y=tan （2x- 4 ）
C.y=cot2x
D.y=-cot2x
8.若tan （2x- 3 ） <1,则x 的取值范围是（
k
k 7 A. 2 -12 <x <2 +
24 (k €
Z)
k k 7 B. 2 -12 v x <2 + 24 (k € Z)
7
C.k
n - 12 <x v k n + 24 (k € Z)
7
D.k n - 12 v x v k n + 24 (k € Z)
9.函数 f(x)= 1
cotx cotx 的定义域为（）
A.(k n ,k n + 2 ),k € Z C.(k n ,k n + n ),k € Z
10.下列命题中正确的是() A.y=tanx 在
第一象限单调递增
C.当 x>0 时，tanx >0. 丄 _
11.函数y=tan （ 2 x- 3）在一个周期内的图像是（）
y
C
D
cos2x sin 2x
12.函数f(x)= cos2x sin2x 的最小正周期是()
A.4 n
B.2 n
C. n
D. 2
二、填空题
1. 使函数y=tanx 和y=cosx 同时为单调递增函数的区间是
2. 满足tan aV cot a 的角a 的范围是 ____ .
丄 _
3. 函数y=3tan( 2 x- 4 )的定义域是 ________ ，值域是
4.
函数
y=sinx+cotx 的图像关于
对称.
三、解答题：
1.求下列函数的定义域
:
.2cosx 1
lg(tan x 1)
tan(x
) 3
、「3 cot x
⑶y 八
2
(1)y= 1 2sinx
(2)y=
2
sec
tan
2
2.求函数y= sec
tan 的值域
3. 求函数y=-2tan(3x+ 3 )的定义域、值域，并指出它的周期性，奇偶性和单调性
4.已知 f(x)=tan(2x-b
1
n )的图像的一个对称中心为(3 , 0)，若I b |v 3，求b的值.
【素质优化训练】
1.解不等式3tan 2(2X- 4 )-(3- '3 )tan(2x- 4 )- • 3 W 0.
2. 已知函数f(x)=tan( 3 x+0 ),且对于定义域内任何实数x，都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),
比较 tan( 3 a+ +3w )与 tan( 3 a+ $ -3 3 )的大小.
3. 已知有两个函数 f i(x)=asin(kx+ 3 ),f 2(x)=bsin(kx- 3 )(k >0)它们的最小正周期
之和为 2 n,且 f i( 2 )=f 2( 2 ),f i( 4 )=- .3f2(4 )+1,求 a、b、k 之值.
4. 已知关于x的一元二次方程 4x2+5x+k=0的两根分别为 sin 0>cos 0 ,(1)求k.(2)求
以tan 0、cot 0为两根的一元二次方程.
5. 求证：函数 y=Atan( 3 x+ $ )(A 3工0)为奇函数的充要条件是$ =k n (k € Z).
答案：
【同步达纲练习】
一、1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.D 11.A 12.D
二、1. : 2k n - n ,2k n - 2 )和(2k n - 2 ,2k n ](k € Z)
_ _ 3_
2. (k n ,k n + 4 ) U (k n + 2 ,k n + 4 )(k € Z)
3
3. {x I x 工 2k n + 2 ,k € Z}
4. (k n ,0)(k € Z)
3 _
三、1.(1)(2k n - 4 n ,2k n - 2 )(k € Z)
(2){x I 2k n - 3 W x v 2k n + 3 ,且 x 工 2k n - 6 ,k € Z}
⑶{x | 2k n + 3 W x V 2k n +2n ,k € Z}
1
2. 3 W y W 3
k
3. 定义域{x | X M 3 +18 ,k € Z}
值域R,周期3，非奇非偶函数
k 5 k
在区间(3-18, 3 +18 )(k € Z)上是单调减函数
4. b=- 3
【素质优化训练】
k k
1. {k | 2+24 <x<2 +4 ,k € Z}
2. 相等
3.a=- 3-1,b= 3 +1,k=2
9 32
2
4. (1)k= 8 (2)x - 9 x+ 仁0
5. 略。