傅里叶变换与数字图像处理

傅里叶变换与数字图像处理

(2012-05-24 20:06:24)

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傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦和/余弦和的形式。傅里叶变换是数字图像处理技术的基础，其通过在时域和频域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析。

一维傅里叶变换及其反变换

单变量连续函数，f(x)的傅里叶变换F(u)定义为等式：

u=0，1，2，…，M一

1

同样，给出F(u)，能用反DFT来获得原函数：

其中，u=0，1，2，…，M一1。因此，我们看到傅里叶变换的每项[即对于每个u 值，F(u)的值由f(x)函数所有值的和组成。f(x)的值则与各种频率的正弦值和余弦值相乘。F(u)值的范围覆盖的域(u的值)称为频率域，因为u决定了变换的频率成分(x 也作用于频率，但它们相加，对每个u值有相同的贡献)。F(u)的M项中的每一个被称为变换的频率分量。使用术语“频率域”和“频率成分”与“时间域”和“时间成分”没有差别，如果x是一个时间变量，可以用它来表示f(x)的域和值。

二维DFT及其反变换

一维离散傅里叶变换及其反变换向二维扩展是简单明了的。一个图像尺寸为M×N 的函数f(x，y)的离散傅里叶变换由以下等式给出：

像在一维中的情形一样，此表达式必须对u值(u=0，1，2，…，M-1)和v值(v=0，1，2，…，N-1)计算。同样，给出F(u,v)，可以通过反傅里叶变换获得，f(x，y)，由表达式给出：

其中，x=0，1，2，…，M-1，y=0，1，2，…，N-1。变量u和v是变换或频率变量，x和y是空间或图像变量。正如在一维中的情形那样，常量1／MN的位置并不重要，有时它在反变换之前。其他时候，它被分为两个相等的常数1/根号MN，分别乘在变换和反变换的式子前。

定义傅里叶谱、相角和频率谱：

并且其功率谱为：

其中，R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部。

通常在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y乘以输入的图像函数。由于指数的性质，很容易看出:

其中Ζ[·]表示引文中的傅里叶变换。这个等式说明f(x,y)(-1)x+y傅里叶变换的原点[即F(0,0)]被设置在u =M／2和v=N/2上。换句话说，用(-1)x+y乘以f(x,y)将F(u,v)原点变换到频率坐标下的(M／2；N/2)，它是二维DFT设置的M×N区域的中心。我们将此频率域的范围指定为频率矩形，它从u=0到u=M-1从v=0到v=N-1(u和v是整数)。为了确保移动后的坐标为整数，要求M和N为偶数。当在计算机中使用傅里叶变换时，总和的范围为u从1到M，v从1到N。实际的变换中心将为u=(M／2)+1和v=(N／2)十1。

当(u,v)=(0,0)时的变换值为：

即f(x,y)的平均值。换句话说，如果f(x,y)是一幅图像，在原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度级。因为在原点处常常为零，F(0，0)有时称做频率谱的直流成分。了解了傅里叶变化，下面看看为什么要在频率域研究图像增强。

1.可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。

2.滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质。

3.可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导。

4.一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在空间域进行。

在冈萨雷斯版<数字图像处理>里面的解释就非常的形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。

傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法，比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用：

1.图像增强与图像去噪

绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘；

2.图像分割之边缘检测

提取图像高频分量

3.图像特征提取：

形状特征：傅里叶描述子

纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征

其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性4.图像压缩

可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；

5.信号在频率域的表现

在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化快慢。高频分量解释信号的突变部分，而低频分量决定信号的整体形象。

在图像处理中，频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程度，也就是图像灰度的变化速度，也就是图像的梯度大小。对图像而言，图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分则为低频分量。也就是说，傅立叶变换提供另外一个角度来观察图像，可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。书面一点说就是，傅里叶变换提供了一条从空域到频率自由转换的途径。对图像处理而言，以下概念非常的重要：

图像高频分量：图像突变部分；在某些情况下指图像边缘信息，某些情况下指噪声，更多是两者的混合；

低频分量：图像变化平缓的部分，也就是图像轮廓信息

高通滤波器：让图像使低频分量抑制，高频分量通过

低通滤波器：与高通相反，让图像使高频分量抑制，低频分量通过

带通滤波器：使图像在某一部分的频率信息通过，其他过低或过高都抑制

还有个带阻滤波器，是带通的反。

6.图像去噪

图像去噪就是压制图像的噪音部分。因此，如果噪音是高频额，从频域的角度来看，就是需要用一个低通滤波器对图像进行处理。通过低通滤波器可以抑制图像的高频分量。但是这种情况下常常会造成边缘信息的抑制。常见的去噪模板有均值模板，高斯模板等。这两种滤波器都是在局部区域抑制图像的高频分量，模糊图像边缘的