离散数学---集合的基本运算
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A∪B={x-2＜x＜2或0≤x≤4,xR} ={x-2＜x≤4,xR} A∩B={x-2＜x＜2且0≤x≤4,xR} ={x0≤x＜2,xR}
集合的交并例题2
设A为奇数集合，B为偶数集合，求A∪B 和A∩B 。 解：A∪B={xx是偶数或x是奇数}=Z A∩B={xx既是偶数又是奇数}=
={x|(xA)∧(xB)∧(xC)}
={x|（xA)∧ (xB∨xC)}
E A B
广义的并集
集合的 并 (union) ：集合 A 和 B 的并 AB 定义 为：AB = {x | xA或者xB}，集合的并可 推广到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合，
它们的并定义为：
A1A2∪…An = {x | 存在某个i，使得xAi}
广义的交集
集合的 交 (intersection) ：集合 A 和 B 的并 AB 定义
从而， A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
利用谓词公式证明求证：A(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
证明：(A-B)∩(A-C)＝{x|x(A-B)∩(A-C)} ={x|x(A-B)∧ x(A-C)} ={x|xA∧(xB)∧(xA)∧(xC)}
={x|(xA)∧(xB)∧(xC)}
并集union
定义：设A，B是两个集合，所有属 于A或属于B的元素组成的集合，称为集合 A与B的并集，记作AB; AB={xxA xB}。
E
A
B
交集intersection
定义：A，B是两个集合，即属于A， 又属于B，称为集合A与B的交集，记为 AB。即AB={xxA xB}
定义：设A，B是两集合，集合（A-B）（B-A） 称为集合A，B的对称差，记作AB。 即AB={xxA且x BxB且x A}
={x(xA∧x B)(xB∧x A)}
AB=(AB)-(AB) E
A
B
对称差举例
例1、A={a,b,e} B={a,c,d} 解：B-A={c,d} A-B={b,e}， AB={c,d,b,e} 例2、A={xx-2,xR},E={xx≤2}求A， A A。 解：A= {xx-2}={x-2≤x≤2，xR} A-A= ∴AA=(A-A)(A-A)==
合的补集。全集U是所讨论的问题域中所有元素
所构成的集合。
显然，A=E-A。
可知：x∈∼A
E
x A x∈ A
A
求证A-B=AB
证明 A-B={x|xA-B} ={xxA∧xB} ={xxA∧xB}
A B E
=AB 当A，B不相交时，A-B=A，B-A=B
对称差
为：AB = {x | xA而且xB}，集合的交也可推广
到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合，它们的交
定义为：
A1∩A2∩…∩An = {x | 对所有的i，都有xAi}
集合的交并例题1
例如：集合A={x-2＜x＜2，xR}， B={x0≤x≤4,xR} 求A∪B，A∩B 。 解：
集合的差
设A，B是两集合，属于A而不属于B的元 素全体称为A与B的差集，记作A-B， 即A-B={xxA∧xB}。
E A B
补集(complement set)
集合A的补集，记为∼A，是那些不属于集合A的
元素所构成的集合，
即∼A={x | xA}。
通常来说，是在存在一个全集U的情况下讨论集
求证：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) 证明： x(A-B)∩(A-C)， 则x(A-B)∧ x(A-C)
（xA)∧(xB)∧(xA)∧(xC) （xA)∧(xB)∧(xC)
（xA)∧(xB)∧(xC)
（xA)∧ (xB∨xC) (xA)∧(xB∪C ) x A-(B∪C)
集合运算性质（运算律）
1、 交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A
2、 结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C） （A∩B）∩C=A∩（B∩ C）
3、 分配律
A∪（B∩C）=（A∪B）∩（ຫໍສະໝຸດ Baidu∪C） A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C)
4、幂等律 A∪A=A，A∩A=A
5、同一律 A∪=A,A∩E=A 6、零一律 A∩=，A∪E=E 9、 德摩根律（A∪B）=A∩B （A∩B）=A∪B
集合的交并例题3
设A1={1，{2，3}}，A2={2，{1，3}}，
A3={3，{1，2}}，
求A1∩A2，A1∩A3，A2 ∩ A3。
解：三个集合均有两个元素，其中一个元素是
数。另一元素是两个数组成的集合，三个集合没
有相同元素，∴A1∩A2=A2∩A3=A3∩A1=
不相交
如A∩B=称A，B不相交。
7、补余律 A∩A=，A∪A=E
8、吸收律 A∪（A∩B）=A A∩（A∪B）=A
10、双重否定律（A）=A
注：A-B=A∩B
集合相等的证明的方法
一、利用集合的定义证明； 二、利用集合等式证明；（常用） 三、利用谓词公式证明； 四、用集合成员表。（略）
证明：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） (1)xA(BC ) ,分两种情况 (a) 如xAxAB且x AC x(AB)(AC) (b) 如x A,则xBCxB且xC xAB且xAC x(AB)(AC) 任何情况下均有x(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC)
证明：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）(续)
(2)x(AB)(AC)xAB且xAC 分两种情况 (a) 若xA,则xA(BC) (b) 若x A， 由x A,xABxB, 由x A,xACxC xBCxA(BC) 任何情况均有xA(BC) (AB)(AC)A(BC) (1)(2)合并为 A（BC）=（AB）（AC）
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A∪B={x-2＜x＜2或0≤x≤4,xR} ={x-2＜x≤4,xR} A∩B={x-2＜x＜2且0≤x≤4,xR} ={x0≤x＜2,xR}
集合的交并例题2
设A为奇数集合，B为偶数集合，求A∪B 和A∩B 。 解：A∪B={xx是偶数或x是奇数}=Z A∩B={xx既是偶数又是奇数}=
={x|(xA)∧(xB)∧(xC)}
={x|（xA)∧ (xB∨xC)}
E A B
广义的并集
集合的 并 (union) ：集合 A 和 B 的并 AB 定义 为：AB = {x | xA或者xB}，集合的并可 推广到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合，
它们的并定义为：
A1A2∪…An = {x | 存在某个i，使得xAi}
广义的交集
集合的 交 (intersection) ：集合 A 和 B 的并 AB 定义
从而， A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
利用谓词公式证明求证：A(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
证明：(A-B)∩(A-C)＝{x|x(A-B)∩(A-C)} ={x|x(A-B)∧ x(A-C)} ={x|xA∧(xB)∧(xA)∧(xC)}
={x|(xA)∧(xB)∧(xC)}
并集union
定义：设A，B是两个集合，所有属 于A或属于B的元素组成的集合，称为集合 A与B的并集，记作AB; AB={xxA xB}。
E
A
B
交集intersection
定义：A，B是两个集合，即属于A， 又属于B，称为集合A与B的交集，记为 AB。即AB={xxA xB}
定义：设A，B是两集合，集合（A-B）（B-A） 称为集合A，B的对称差，记作AB。 即AB={xxA且x BxB且x A}
={x(xA∧x B)(xB∧x A)}
AB=(AB)-(AB) E
A
B
对称差举例
例1、A={a,b,e} B={a,c,d} 解：B-A={c,d} A-B={b,e}， AB={c,d,b,e} 例2、A={xx-2,xR},E={xx≤2}求A， A A。 解：A= {xx-2}={x-2≤x≤2，xR} A-A= ∴AA=(A-A)(A-A)==
合的补集。全集U是所讨论的问题域中所有元素
所构成的集合。
显然，A=E-A。
可知：x∈∼A
E
x A x∈ A
A
求证A-B=AB
证明 A-B={x|xA-B} ={xxA∧xB} ={xxA∧xB}
A B E
=AB 当A，B不相交时，A-B=A，B-A=B
对称差
为：AB = {x | xA而且xB}，集合的交也可推广
到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合，它们的交
定义为：
A1∩A2∩…∩An = {x | 对所有的i，都有xAi}
集合的交并例题1
例如：集合A={x-2＜x＜2，xR}， B={x0≤x≤4,xR} 求A∪B，A∩B 。 解：
集合的差
设A，B是两集合，属于A而不属于B的元 素全体称为A与B的差集，记作A-B， 即A-B={xxA∧xB}。
E A B
补集(complement set)
集合A的补集，记为∼A，是那些不属于集合A的
元素所构成的集合，
即∼A={x | xA}。
通常来说，是在存在一个全集U的情况下讨论集
求证：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) 证明： x(A-B)∩(A-C)， 则x(A-B)∧ x(A-C)
（xA)∧(xB)∧(xA)∧(xC) （xA)∧(xB)∧(xC)
（xA)∧(xB)∧(xC)
（xA)∧ (xB∨xC) (xA)∧(xB∪C ) x A-(B∪C)
集合运算性质（运算律）
1、 交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A
2、 结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C） （A∩B）∩C=A∩（B∩ C）
3、 分配律
A∪（B∩C）=（A∪B）∩（ຫໍສະໝຸດ Baidu∪C） A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C)
4、幂等律 A∪A=A，A∩A=A
5、同一律 A∪=A,A∩E=A 6、零一律 A∩=，A∪E=E 9、 德摩根律（A∪B）=A∩B （A∩B）=A∪B
集合的交并例题3
设A1={1，{2，3}}，A2={2，{1，3}}，
A3={3，{1，2}}，
求A1∩A2，A1∩A3，A2 ∩ A3。
解：三个集合均有两个元素，其中一个元素是
数。另一元素是两个数组成的集合，三个集合没
有相同元素，∴A1∩A2=A2∩A3=A3∩A1=
不相交
如A∩B=称A，B不相交。
7、补余律 A∩A=，A∪A=E
8、吸收律 A∪（A∩B）=A A∩（A∪B）=A
10、双重否定律（A）=A
注：A-B=A∩B
集合相等的证明的方法
一、利用集合的定义证明； 二、利用集合等式证明；（常用） 三、利用谓词公式证明； 四、用集合成员表。（略）
证明：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） (1)xA(BC ) ,分两种情况 (a) 如xAxAB且x AC x(AB)(AC) (b) 如x A,则xBCxB且xC xAB且xAC x(AB)(AC) 任何情况下均有x(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC)
证明：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）(续)
(2)x(AB)(AC)xAB且xAC 分两种情况 (a) 若xA,则xA(BC) (b) 若x A， 由x A,xABxB, 由x A,xACxC xBCxA(BC) 任何情况均有xA(BC) (AB)(AC)A(BC) (1)(2)合并为 A（BC）=（AB）（AC）