《2.10第十节 函数模型及其应用》 学案

学习过程

一、复习预习

1.方程的根与函数零点有什么关系，函数零点的如何判断？

2.用二分法求函数零点时需要注意些什么？

3.涵数与方程的关系

二、知识讲解

考点1 几种常见的函数模型

考点2 三种函数模型性质比较

[探究] 1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？

提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．

三、例题精析

【例题1】

【题干】一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()

A．①B．①②

C．①③D．①②③

【答案】A

【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的1

2，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，

一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.

【例题2】

【题干】某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系式是p ＝⎩⎨⎧

t ＋20，0

－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *

，

且该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系式是Q ＝－t ＋40(0

【解析】设日销售金额为y (元)，则y ＝p ·Q ，

即y ＝⎩

⎨⎧

－t 2

＋20t ＋800，0

＝⎩⎨⎧

－(t －10)2

＋900，0

－900，25≤t ≤30，t ∈N . ②

由①知，当t ＝10时，y max ＝900； 由②知，当t ＝25时，y max ＝1 125. 由1 125>900，知y max ＝1 125， 即在第25天日销售额最大，为1 125元.

【例题3】

【题干】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．

(1)求y关于x的函数；

(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．

【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；

当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，

y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.

所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧

14.4x ， 0≤x ≤4

5，

20.4x －4.8， 45

3，

24x －9.6， x >43.

(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，

当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5.

所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨，付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．

【例题4】

【题干】(2011·山东高考)(本小题满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的

中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π

3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表

面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．

(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

(2)求该容器的建造费用最小时的r.

【解析】(1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝4πr 33＋πr 2l ，又V ＝80π3

，⇨(1分) 所以4πr 33＋πr 2l ＝80π3，解得l ＝803r 2－4r 3，⇨(2分)

由于l ≥2r ，因此0

⎪⎫803r 2－4r 3＝160π3r －8πr 23， 两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以建造费用y ＝160πr －8πr 2＋4πcr 2，定义域为(0,2]．⇨(4分)

(2)由(1)，得y ′＝－160πr 2－16πr ＋8πcr ＝

c －r 2·⎝ ⎛⎭

⎪⎫r 3－20c －2，03，所以c －2>0.

当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2.令 320c －2＝m ，则m >0. 所以y ′＝8π(c －2)r

2 (r －m )(r 2＋rm ＋m 2)．⇨(7分) ①当092时，当r ＝m 时，y ′＝0；

当r ∈(0，m )时，y ′<0；当r ∈(m,2)时，y ′>0，

所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．⇨(9分)