数学模型在经济学中的应用_李海维

数学模型在经济学中的应用

摘要：本文在阐述了数学建模的基本概念及相关理论知识基础上，分析了数学模型的合理性，实用性、严密性、抽象性与趣味性。当代西方经济认为,经济学的基本方法是分析经济变量之间的函数关系,建立经济模型,从中引申出经济原则和理论进行决策和预测。本文从“运用数学模型解决经济最优化问题”，“数学模型对经济预测的指导”，以及“数学模型对经济政策的指导三个方面”阐明了数学模型在经济学中的应用。最后阐述了正确认识数学方法和数学模型在经济学研究运用中的重要的意义。

关键词：经济学数学模型应用最优化预测指导

引言

随着科学技术对所研究客观对象的日益精确化、定量化和数学化，以及电子计算机技术的广泛应用，“数学模型”已成为处理科技领域中各种实际问题的重要工具，并在自然科学、工程技术科学与社会科学的各个领域中得到了广泛的应用，诸如经济、管理、工农业，甚至社会学领域

等[1]。

当今“数学模型”这一词汇越来越多地出现在成产、工作和生活中，通过建立数学模型来解

决实际问题是社会各个领域的常用而有效的方法[2]。作为城市规划者需要建立一个包括人口、

经济、交通、环境等大系统的数学模型，为领导层对城市发展规划的决策提供科学依据；作为企业管理者如果能够根据产品的需求状况、生产条件和成本、贮存费用等信息，策划出一个合理安排生产和销售的数学模型，将有利于获得较大的经济效益；而作为学校领导若能对学校的学生人数、学校的软硬件设施，教师的人数和水平等建立数学模型，就能给学校的发展规划决策提出科学依据；政策制定者若能对效益的分配方案建立数学模型，就会获得合理的分配方案。由此可见，通过建立数学模型，来解决实际问题，已成为解决重大问题的重要手段和方法。同时对科学技术工作者和应用数学工作者来说，建立数学模型是沟通数学工具与实际问题之间的一座不可缺少的桥梁。所以，研究数学模型在实际生活中的应用是非常有必要的。

马克思说过，“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。可以说数学在各门学科中被应用的水平标志着这门学科发展的水平。当实际问题需要研究时，那么就要对所研究的现实对象提供分析、预测、决策、控制等方面的定量结果，这就离不开数学的应用，而建立数

学模型是整个研究问题中的关键环节[3]。

1数学模型概述

根据对研究对象所观察到的现象及实践经验，归结成的一套反映其内部因素数量关系的数

学公式、逻辑准则和具体算法。用以描述和研究客观现象的运动规律。

1.1 数学的应用与数学建模

从初等数学、高等数学到现代数学，数学作为一门自然科学学科为我们所熟悉、所了解，数学尤其是现代数学中的许多理论分支从来都给人以抽象的印象，似乎是数学研究得越深入离现实生活及实际工作就越遥远。但是，近半个世纪以来，数学的形象发生了重大的变化，数学已不仅仅是数学家、物理学家等的专利，除了传统的物理学、天文学、力学等学科与数学密不可分之外，在工程技术、社会生活、信息技术等诸多领域，数学发挥着越来越重要的作用，各种途径表明数

学正在广泛地应用于各个领域[1]。

1.1.1 数学的应用

在数学应用于各个领域的过程中，数学已经由一门自然科学学科发展成为一门数学技术，在控制科学、信息科学、计算机科学、管理科学等学科中，数学技术的应用必不可少。同时，一些新的数学分支不断涌现，比如，生物数学、经济数学、金融数学、数理医药学等，又促使数学的应用更深入、更广泛。

数学是研究数量关系的科学，应用数学知识解决各个领域中实际问题主要是研究实际问题中的数量关系，而在很多实际问题中各个量之间的关系非常复杂，很难用数量关系将它们联系起来，有时即使找到了数量关系又会由于其太复杂而不能用现有的数学方法进行处理，或者量与量之间就没有明显的数量关系，不能用现有的数学理论、数学公式去套用。因此，数学在其他领域中的成功应用不仅仅需要掌握大量的数学知识，还需要对实际问题有充分的了解，并能从众多的事物和复杂的现象中找到共同的本质的东西，抓住问题的本质，然后通过大量的定性和定量分析，寻

找并发现量与量之间的数量关系，再用数学的理论与方法加以解释，并最后应用于实际问题。【4】1.1.2 数学建模

根据研究目的，对所研究的过程和现象(称为现实原型或原型)的主要特征、主要关系、采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构，所谓“数学化”，指的就是构造数学模型．通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称为数学模型方法．简称为MM方法。数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。数学模型有广义和狭义两种解释．广义地说，数学概念、如数、集合、向量、方程都可称为数学模型，狭义地说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方数学模型大致可分为二类：(1)描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代效方程、微分方程、积分方程和差分方程等，（2）描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。在体育实践中常常提到优秀运动员的数学模型。如经调查统计．现

.1米左右、体重70公斤左右，100米成绩10秒左右或更代的世界级短跑运动健将模型为身高80

好等。

用字母、数字和其他数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述系统的特征及其内部联系或与外界联系的模型。它是真实系统的一种抽象。数学模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础。数学模型的种类很多，而且有多种不同的分类方法：

1静态和动态模型

静态模型是指要描述的系统各量之间的关系是不随时间的变化而变化的，一般都用代数方程来表达。动态模型是指描述系统各量之间随时间变化而变化的规律的数学表达式，一般用微分方程或差分方程来表示。经典控制理论中常用的系统的传递函数也是动态模型，因为它是从描述系统的微分方程变换而来的。

2分布参数和集中参数模型

分布参数模型是用各类偏微分方程描述系统的动态特性，而集中参数模型是用线性或非线性常微分方程来描述系统的动态特性。在许多情况下，分布参数模型借助于空间离散化的方法，可简化为复杂程度较低的集中参数模型。

3连续时间和离散时间模型

模型中的时间变量是在一定区间内变化的模型称为连续时间模型，上述各类用微分方程描述的模型都是连续时间模型。在处理集中参数模型时，也可以将时间变量离散化，所获得的模型称为离散时间模型。离散时间模型是用差分方程描述的。

4随机性和确定性模型

随机性模型中变量之间关系是以统计值或概率分布的形式给出的，而在确定性模型中变量间的关系是确定的。

5参数与非参数模型

用代数方程、微分方程、微分方程组以及传递函数等描述的模型都是参数模型。建立参数模型就在于确定已知模型结构中的各个参数。通过理论分析总是得出参数模型。非参数模型是直接或间接地从实际系统的实验分析中得到的响应，例如通过实验记录到的系统脉冲响应或阶跃响应就是非参数模型。运用各种系统辨识的方法，可由非参数模型得到参数模型。如果实验前可以决定系统的结构，则通过实验辨识可以直接得到参数模型。

6线性和非线性模型

线性模型中各量之间的关系是线性的，可以应用叠加原理，即几个不同的输入量同时作用于系统的响应，等于几个输入量单独作用的响应之和。线性模型简单，应用广泛。非线性模型中各量之间的关系不是线性的，不满足叠加原理。在允许的情况下，非线性模型往往可以线性化为线性模型，方法是把非线性模型在工作点邻域内展成泰勒级数，保留一阶项，略去高阶项，就可得到近似的线性模型。[6]

1.2 数学建模的基本问题

数学建模有很多理论上的基本问题，其中有数学建模方法和数学建模的基本过程。

1.2.1 数学建模的方法

数学建模面临的许多问题是多种多样的，问题中所给出的已知信息也各不相同，有的是一组实测数据或模拟数据，还有的是对问题的定性描述，不同的信息将用不同的方法去处理，从而得到不同的模型。即使面对相同的已知信息，由于建模的目的不同、分析的方法不同、采用的数学工具不同，所以得到的模型也不同。因此，数学建模的方法及数学模型的分类都只是从一般意义

上区分[2]。