高考数学提分秘籍 必练篇 解析几何

高考数学提分秘籍 必练篇 解析几何
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．点P (－2,1)到直线2x ＋y ＝5的距离为( ) A.
255 B.855 C.25D.8
5
解析：点P 到直线的距离d ＝|－2×2＋1－5|22
＋1＝855. 答案：B
2．若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是( )
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2，πC.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－π，－π2 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π
2，0
解析：k PQ ＝1
b 1a
＝a b ，∵ab <0，∴a
b
<0，即k <0，
∴直线PQ 的倾斜角的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π.
答案：B
3．若双曲线x 2a
2－y 2
＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( )
A.
255 B.32C.23
3
D ．2 解析：由题意知a 2
＋1＝4，∴a ＝3，∴e ＝c
a
＝23
＝
23
3
. 答案：C
4．直角坐标平面内过点P (2,1)且与圆x 2＋y 2
＝4相切的直线( ) A ．有两条 B ．有且仅有一条 C ．不存在 D ．不能确定
解析：∵22
＋12
>4，∴点P 在圆外，故过点P 与圆相切的直线有两条． 答案：A
5．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π
2所得的直线方程是( )
A ．－x ＋2y －4＝0
B ．x ＋2y －4＝0
C ．－x ＋2y ＋4＝0
D ．x ＋2y ＋4＝0
解析：由题意知，两直线垂直，且已知直线过点(0，－2)，所求直线斜率为－1
2，∴所
求直线方程为y ＋2＝－1
2x ，即x ＋2y ＋4＝0.
答案：D
6．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA ＝AP ，则点P 的轨迹方程为( )
A ．y ＝－2x
B ．y ＝2x
C ．y ＝2x －8
D ．y ＝2x ＋4 解析：设点P (x ，y )，R (x 1，y 1)，∵AP ＝RA ， ∴(1－x 1，－y 1)＝(x －1，y )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1－x 1＝x －1，－y 1＝y ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝2－x ，
y 1＝－y .
又点R 在直线l 上，∴－y ＝2(2－x )－4， 即2x －y ＝0为所求． 答案：B
7．过点(0,1)的直线与x 2
＋y 2
＝4相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 B ．23C ．3 D ．2 5
解析：当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时，|AB |最小值为2 3. 答案：B
8．如右图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的
两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆 与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形， 则双曲线的离心率为( ) A. 3 B.5C.
5
2
D ．1＋ 3 解析：连结AF 1，则∠F 1AF 2＝90°，∠AF 2B ＝60°， ∴|AF 1|＝1
2|F 1F 2|＝c ，
|AF 2|＝
3
2
|F 1F 2|＝3c ， ∴3c －c ＝2a ，∴e ＝c a
＝2
3－1
＝1＋ 3. 答案：D
9．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( )
A ．(0,4)
B ．(0,2)
C ．(－2,4)
D ．(4，－2)
解析：直线l 1恒过定点(4,0)，点(4,0)关于点(2,1)对称的点为(0,2)，由题意知l 2恒过点(0,2)． 答案：B
10．抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线经过等轴双曲线x 2
－y 2
＝1的左焦点，则p ＝( ) A.
2
2
B.2C ．2 2 D ．4 2 解析：双曲线x 2
－y 2
＝1的左焦点为(－2，0)，故抛物线的准线为x ＝－2，∴p
2
＝2，
p ＝2 2.
答案：C
11．若直线ax ＋by ＋1＝0(a 、b >0)过圆x 2＋y 2
＋8x ＋2y ＋1＝0的圆心，则1a ＋4b
的最小值
为( )
A ．8
B ．12
C ．16
D ．20
解析：由题意知，圆心坐标为(－4，－1)，由于直线过圆心，所以4a ＋b ＝1，从而1
a
＋
4
b
＝(1a ＋4b )(4a ＋b )＝8＋b a ＋16a
b
≥8＋2×4＝16(当且仅当b ＝4a 时取“＝”)．
答案：C
12．过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点F 的
直线l 交抛物线于点A 、B (如图所示)，交其准线于点C ， 若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( ) A ．y 2
＝9x B ．y 2
＝6x C ．y 2
＝3x D ．y 2
＝3x
解析：点F 到抛物线准线的距离为p ，又由|BC |＝2|BF |得点
B 到准线的距离为|BF |，则
|BF ||BC |＝1
2
，∴l 与准线夹角为30°， 则直线l 的倾斜角为60°.由|AF |＝3，如图连结AH ⊥HC ，
EF ⊥AH ，则AE ＝3－p ，
则cos60°＝3－p 3，故p ＝3
2.
∴抛物线方程为y 2
＝3x . 答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)
13．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离
心率等于________．
解析：直线过点(2,0)和(0,1)，即为椭圆的一个焦点和一个顶点，又a >b >0，∴焦点在x 轴上，
∴c ＝2，b ＝1，a ＝22＋12
＝5，∴e ＝255.
答案：255
14．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x ·sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y ·sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________． 解析：在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b
sin B ，
∴a sin B －b sin A ＝0， ∴两直线垂直． 答案：垂直
15．已知圆O ：x 2
＋y 2
＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
解析：依题意过A (1,2)作圆x 2
＋y 2
＝5的切线方程为x ＋2y ＝5，在x 轴上的截距为5，在y 轴上的截距为52，切线与坐标轴围成的面积S ＝12·52·5＝25
4.
答案：25
4
16．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2
的两条切线，切点分
别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________． 解析：∵∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°. 在Rt△OAF 中，|OA |＝a ，|OF |＝c ，
∴e ＝c a ＝|OF ||OA |＝1cos60°
＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线x ＋y －7＝0及x ＋y －5＝0上，求AB 中点M 到原点距离的最小值． 解：设AB 中点为(x 0，y 0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0
＝x 1
＋x 2
2，y 0
＝y 1
＋y
2
2
.
又∵⎩⎪⎨
⎪⎧
x 1＋y 1－7＝0，x 2＋y 2－5＝0，
∴(x 1＋x 2)＋(y 1＋y 2)＝12， ∴2x 0＋2y 0＝12， ∴x 0＋y 0＝6.
∴原点到x 0＋y 0＝6距离为所求，即d ＝
62＝3 2.
18．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；
(2)圆O 与x 轴相交点A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，求
PA ·PB 的取值范围．
解：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝4
1＋3
＝
2.
得圆O 的方程为x 2
＋y 2
＝4.
(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1＜x 2. 由x 2
＝4即得A (－2,0)，B (2,0)．
设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，得 (x ＋2)2
＋y 2
·(x －2)2
＋y 2
＝x 2
＋y 2
， 即x 2
－y 2＝2.
PA ·PB ＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2
＝2(y 2
－1)．
由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
＋y 2
＜4，x 2－y 2
＝2.
由此得y 2
＜1.
所以PA ·PB 的取值范围为[－2,0)．
19．(本小题满分12分)已知点(x ，y )在曲线C 上，将此点的纵坐标变为原来的2倍，对应的横坐标不变，得到的点满足方程x 2
＋y 2
＝8；定点M (2,1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两个不同点． (1)求曲线C 的方程； (2)求m 的取值范围．
解：(1)在曲线C 上任取一个动点P (x ，y )， 则点(x,2y )在圆x 2
＋y 2
＝8上． 所以有x 2
＋(2y )2＝8.
整理得曲线C 的方程为x 28＋y 2
2
＝1.
(2)∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m ， 又k OM ＝1
2
，
∴直线l 的方程为y ＝1
2x ＋m .
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝1
2x ＋m ，x 2
8＋y 22＝1.
得x 2＋2mx ＋2m 2
－4＝0
∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点， ∴Δ＝(2m )2
－4(2m 2
－4)>0， 解得－2<m <2且m ≠0.
∴m 的取值范围是－2<m <0或0<m <2.
20．(本小题满分12分)(2010·诸城模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为
22
，且椭圆过圆C ：x 2＋y 2
－4x ＋22y ＝0的圆心C . (1)求椭圆的方程；
(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程． 解：(1)圆C 的方程化为：(x －2)2
＋(y ＋2)2
＝6. 圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6.
设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)．
则⎩⎪⎨
⎪⎧
4a 2
＋2b 2＝11－(b a )2
＝(22
)2
⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝8
b 2
＝4，
所以所求椭圆的方程是x 28＋y 2
4
＝1. (2)由(1)得椭圆的左右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2(2,0)， |F 2C |＝(2－2)2
＋(0＋2)2
＝2<r ＝6，
F 2在圆C 内，故过F 2没有圆C 的切线，
设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0. 点C (2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋2k |
1＋k 2
， 由d ＝6，即|2k ＋2＋2k |
1＋k 2
＝6， 化简得5k 2
＋42k －2＝0， 解得k ＝
2
5
或k ＝－2， 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.
21．(本小题满分12分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0,2)，离心率e ＝6
3
.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l ：y ＝kx －2(k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，且满足MP ＝PN ，
AP ·MN ＝0，求直线l 的方程．
解：(1)设c ＝a 2
－b 2
，依题意
得⎩⎪⎨⎪
⎧
b ＝2，e ＝
c a
＝a 2－b 2a ＝6
3，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
b ＝2，6a 2＝9a 2－9b 2
，
∴a 2
＝3b 2
＝12，即椭圆方程为x 212＋y 2
4＝1.
(2)∵MP ＝PN ，AP ·AP ＝0，∴AP ⊥MN ，
且点P 是线段MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －2，x 212＋y
2
4
＝1，
消去y 得x 2
＋3(kx －2)2
＝12， 即(1＋3k 2
)x 2－12kx ＝0，(*)
由k ≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k )2
＝144k 2
>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根． 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，线段MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝12k 1＋3k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝6k
1＋3k 2.
∴y 0＝kx 0－2＝6k 2
－2(1＋3k 2
)1＋3k 2＝－2
1＋3k
2，
即P ⎝
⎛⎭
⎪
⎫6k 1＋3k 2，－21＋3k 2.
∵k ≠0，
∴直线AP 的斜率为
k 1＝－2
1＋3k 2－26k 1＋3k 2
＝－2－2(1＋3k 2
)6k
.
由MN ⊥AP ，得－2－2(1＋3k 2
)
6k ·k ＝－1，
∴2＋2＋6k 2
＝6，解得k ＝±33
， 故直线方程为y ＝±
3
3
x －2. 22．(本小题满分14分)抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB |＝86
11.
(1)求抛物线的方程；
(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设所求抛物线的方程为y 2
＝2px (p ＞0)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
＝2px ，x ＋y －1＝0，
消去y ，得x 2
－2(1＋p )x ＋1＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2(1＋p )，x 1·x 2＝1. ∵|AB |＝8611
，
∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2]＝8611，
∴121p 2
＋242p －48＝0. ∴p ＝211或－24
11(舍)．
∴抛物线的方程为y 2
＝411x .
(2)设AB 的中点为D ，则D (
1311，－2
11
)． 假设x 轴上存在满足条件的点C (x 0,0)，
∵△ABC 为正三角形，∴CD ⊥AB ，∴k CD ＝1， ∴x 0＝1511
.
∴C (1511，0)，∴|CD |＝2211.
又∵|CD |＝
32|AB |＝122
11
，故矛盾， ∴x 轴上不存在点C ，使△ABC 为正三角形．。