第3讲 映射的定义和性质
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• 编写C语言程序主要就是编写函数: 从main 开始.
• Def 任意给定两个集合A和B, 若存在对应法 则f, 使得对于任意 xA, 均存在唯一的yB 与它对应, 则称f是集合A到B的映射, 或称其 为A到B的函数, 记为 f : A B
f
y
A
x
B
• 为何讨论映射? • 集合之间的对应关系.
• 其他理解方式:
x
f
y
• 映射的两个特点:
– (1)全函数. – (2)唯一性.
• 注意区别函数 f 与 f(x). • y = f(x)?
• 函数符号的选取:
– f, g,…, – F,G,…,
– ,,…,
– sin, exp, main, – add, average, hanoi, delete_string, …
离散数学
第3讲 映射的定义和性质
第1章 集合、映射与运算
1.2 映射的有关概念
本讲内容
1
映射的定义
2
映射的性质
1.2 映射的有关概念
• 1. 映射的定义 • 映射(mapping) = 函数(function).
• y = f(x) = x2 , ceiling function x , floor function x , …
• 例1-8
f :ZN
Z :...,3,2,1,0,1,2,3,...
N : 0,1,2,3,4,5,6,...
• 例1-9
f : (0,1) R
x tan x 1 π. 2
O
1
• Def 1-11 有限集合A上自身的双射称为A上 的置换(permutation).
A
A
• 例1-10
1
fห้องสมุดไป่ตู้
• A = {1, 2, 3, 4}上的所有置换有多少个? • 4!
• 重要应用: 置换加密.
小结与作业
映射(函数)的定义 单射
满射
双射(一一对应)
作业
习题1.2 1, 2, 3
Any Questions
?
x1, x2 A, f (x1) f (x2 ) x1 x2.
f
A
B
• 例1-6 设f: N N, f(x) = 2x, 则f是N到N的单 射, 试证明之.
• Proof 对任意x1, x2 A, 由f(x1) = f(x2), 可得 出2x1= 2x2, 进而x1= x2.
N
f
N
0
0
1
1
2
2 3
3
4
5
6
• (2) 满射(surjection)
y B,x A, y f (x).
ran f B.
A
f
B
• 例1-7 说明 f (x) | x |是Z到N的满射, 但不是
Z到Z的满射. Z
N
2 1
||
0 1
0
2
-1
3
-2
Z
2 1
||
0
-1
-2
Z
2 1 0 -1 -2
• (3) 双射(bijection, one-to-one correspondence) • 双射又称为一一对应:既单又满.
x1
x2
f
y
xn
• float average(float array[], int n)
• n = 0: C语言中的无参函数?
本讲内容
1
映射的定义
2
映射的性质
• 2. 映射的性质 f : A B • (1) 单射(injection)
x1, x2 A, x1 x2 f (x1) f (x2 ).
1
2
2
3
3
• 第一种方式:
p1 11
2 2
33,
1 p2 2
2 1
33, p3 13
2 2
13,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
p4 1 3 2, p5 2 3 1, p6 3 1 2.
• 第二种方式:
p1 (1)(2)(3), p2 (12)(3), p3 (13)(2), p4 (1)(23), p5 (123), p6 (132).
• 例1-5 写出所有A到B的映射.
A
B
x1
y1
x2
y2
x3
• n元函数(n 1): f : A B, A A1 A2 ... An,
f
A
B
A A1 A2 ... An x A x (x1, x2,..., xn ) A1 A2 ... An ,
y f (x) f ((x1, x2,..., xn )) f (x1, x2,..., xn )
• Def 任意给定两个集合A和B, 若存在对应法 则f, 使得对于任意 xA, 均存在唯一的yB 与它对应, 则称f是集合A到B的映射, 或称其 为A到B的函数, 记为 f : A B
f
y
A
x
B
• 为何讨论映射? • 集合之间的对应关系.
• 其他理解方式:
x
f
y
• 映射的两个特点:
– (1)全函数. – (2)唯一性.
• 注意区别函数 f 与 f(x). • y = f(x)?
• 函数符号的选取:
– f, g,…, – F,G,…,
– ,,…,
– sin, exp, main, – add, average, hanoi, delete_string, …
离散数学
第3讲 映射的定义和性质
第1章 集合、映射与运算
1.2 映射的有关概念
本讲内容
1
映射的定义
2
映射的性质
1.2 映射的有关概念
• 1. 映射的定义 • 映射(mapping) = 函数(function).
• y = f(x) = x2 , ceiling function x , floor function x , …
• 例1-8
f :ZN
Z :...,3,2,1,0,1,2,3,...
N : 0,1,2,3,4,5,6,...
• 例1-9
f : (0,1) R
x tan x 1 π. 2
O
1
• Def 1-11 有限集合A上自身的双射称为A上 的置换(permutation).
A
A
• 例1-10
1
fห้องสมุดไป่ตู้
• A = {1, 2, 3, 4}上的所有置换有多少个? • 4!
• 重要应用: 置换加密.
小结与作业
映射(函数)的定义 单射
满射
双射(一一对应)
作业
习题1.2 1, 2, 3
Any Questions
?
x1, x2 A, f (x1) f (x2 ) x1 x2.
f
A
B
• 例1-6 设f: N N, f(x) = 2x, 则f是N到N的单 射, 试证明之.
• Proof 对任意x1, x2 A, 由f(x1) = f(x2), 可得 出2x1= 2x2, 进而x1= x2.
N
f
N
0
0
1
1
2
2 3
3
4
5
6
• (2) 满射(surjection)
y B,x A, y f (x).
ran f B.
A
f
B
• 例1-7 说明 f (x) | x |是Z到N的满射, 但不是
Z到Z的满射. Z
N
2 1
||
0 1
0
2
-1
3
-2
Z
2 1
||
0
-1
-2
Z
2 1 0 -1 -2
• (3) 双射(bijection, one-to-one correspondence) • 双射又称为一一对应:既单又满.
x1
x2
f
y
xn
• float average(float array[], int n)
• n = 0: C语言中的无参函数?
本讲内容
1
映射的定义
2
映射的性质
• 2. 映射的性质 f : A B • (1) 单射(injection)
x1, x2 A, x1 x2 f (x1) f (x2 ).
1
2
2
3
3
• 第一种方式:
p1 11
2 2
33,
1 p2 2
2 1
33, p3 13
2 2
13,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
p4 1 3 2, p5 2 3 1, p6 3 1 2.
• 第二种方式:
p1 (1)(2)(3), p2 (12)(3), p3 (13)(2), p4 (1)(23), p5 (123), p6 (132).
• 例1-5 写出所有A到B的映射.
A
B
x1
y1
x2
y2
x3
• n元函数(n 1): f : A B, A A1 A2 ... An,
f
A
B
A A1 A2 ... An x A x (x1, x2,..., xn ) A1 A2 ... An ,
y f (x) f ((x1, x2,..., xn )) f (x1, x2,..., xn )