工程断裂力学第三章new

x
r 2 u K II ( 1) 2 cos 2 sin 2 2 2 r 2 v K II ( 1) 2 sin 2 cos 2 2 2
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III型裂纹的应力场和位移场
x
多，因而可以忽略 。
I型裂纹的应变场
从上式可见，裂端区应力场的形式恒定，其强度完全由KI值的 大小来决定，因此就称KI为I型裂纹的应力强度因子。裂端区的应 变场可以由弹性力学公式求得为：
ij
KI f ij ( ), i, j x, y 2r
我们的兴趣不在于得到精确的应变场形式，而在于知道应变
三种基本裂纹型裂端区某点的应力值、应变值、 位移值和应变能密度值都由应力强度因子及其位置来 决定。因此，只要知道应力强度因子，裂端区的应力、
应变、位移和应变能密度就都能求得。由于有这一特
点，应力强度因子可以作为表征裂端应力应变场强度 的参量。近代断裂力学，就是Irwin在五十年代中期提 出了应力强度因子的概念，认识到它的意义后才开始 发展起来的。
I型裂纹的应力场
由弹性力学（椭圆孔口问题）的解析解，得裂端的应力场恒为
KI 3 cos 1 sin sin 2 2 2 2r KI 3 y cos 1 sin sin ＋高次项 2 2 2 2r KI 3 xy sin cos cos 2 2 2 2r 在裂端区，即r足够小的情形下，式中r的高次项比首项小得
裂纹基本型
第 三 种 裂 纹 型 称 为 反 平 面 剪 切 型 （ anti—plane shear mode），简称III型。裂纹面上下表面的位移方 向也是刚好相反，但一个向正 z 方向，另一个向负 z 方
向。这里的z方向是板厚方向，属弹性力学空间问题。
除了这三种基本型外，尚有复合型裂纹（ mixed mode crack），它是两种以上基本型的组合。
是最危险的裂纹类型。
裂纹基本型
第二种裂纹型称为同平面剪切型（in—plane shear mode）或者滑移型（sliding mode），简称II 型。裂纹上下表面的位移方向刚好相反，一个向正x方
向，另一个向负x方向。在板厚均匀和裂纹贯穿板厚的
情况下，此裂纹问题也是二维的，属弹性力学平面问 题。
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圆孔萌生的单边裂纹—工程近似解的应力强度因 子
无限大平板的圆孔萌生了一条穿
透板厚的裂纹，裂长为 L 。若平板受 到无穷远处的均匀拉伸，当L<<R时，
应力强度因子的上限为:
K 1.12(3 ) L
若裂纹较长，则下限用 :
K ( R L / 2)
圆孔萌生的双边裂纹—工程近似解的应力强度因 子
接触断裂力学的读者来说，是比较困难的。因此，本章只 给出一些主要的概念和结果，并介绍一些工程近似方法。
3-1 裂纹的基本型
一般将裂纹问题分为三种基本型，如图所示
张开型
滑移型
撕裂型
裂纹基本型
第一种称为张开型（opening mode）或拉伸型（tension
mode），简称I型。其裂纹面的位移方向是在使裂纹张开的裂纹面
曲率半径是为零的；在不受力的情况下，上下两个裂 纹面是互相接触的。因此，裂纹即裂端曲率半径趋于 零时的椭圆孔，其裂端有无限大应力。
应力是看不见的，它是个抽象的概念，然
而位移过程是可以看到的。物体上个别点（无 限远处除外）具有无限大的应力并不会使该点 的位移趋于无限。因此，裂端具有无限大应力 是允许的。同时可以证明，这并不影响裂端区 应变能的有界。
知。对于椭圆孔，应力集中仍发生A点和B点，其应力集中系数为：
Kt 1 2
a
源自文库
a为椭圆的长半轴，ρ为椭圆长轴端点的曲率半径。
应力奇异性
由于a大于ρ，所以Kt恒大于3，即椭圆应力集中的 程度比圆孔问题严重。若是短轴长趋于零，则ρ也将 趋于零，此时应力集中系数 Kt 将趋于无限大。在没有
特别说明的情况下，断裂力学所指的裂纹，其裂端的
半椭圆形表面裂纹
F a KA
a 1.8 a a 5a / c c 1 . 10 5 . 2 ( 0 . 5 ) ( ) 当 0 B c F 1.12 0.23( a ) 10.6( a ) 2 21.71( a ) 3 30.38( a ) 4 B B B B
a 当 0 c
形状因子
从上述例子可见，强度因子总是与载荷成正比 （这里指单向加载的拉伸应力或集中力），而且在均 匀拉伸下，恒有 K Y a 的形式。这里Y是与载荷
无关，而与几何变数（裂纹长度或位置、物体形状等）
有关的量，故称为几何因子或形状因子（ geometric factor）。
3-5 叠加原理及其应用
这里 u和 v分别为 x和 y方向的位移分量，μ是剪切模量，κ与
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泊松比ν的关系为：
3 4 3 1
平面应力 平面应变
II型和III型裂纹
对于 II 型和 III 型裂纹，裂端 区的应力场和位移场的形式也是恒 定的，而且其表达式与 I 型裂纹相 似。 II 型和 III 型裂纹的应力强度
K
2

a
椭圆裂纹的应力强度因子
K
a

a 2 sin c 2 cos
2 2
1/ 4
Φ为第二类椭圆积分：

/2
0
c a 2 sin d 1 2 c
2 2
1/ 2
在短轴的端点，K有最大值。在长轴的端点，K有最小值。
3-3 应力奇异性和应力强度因子
三种基本裂纹型的裂端区应力场给出的裂端区应 力场有一个共同的特点，即r→0时，即在裂纹端点， 应力分量均趋于无限大。这种特性称为应力奇异性
（stress singularity）。
为何会出现应力奇异性呢？这是因为裂纹端点是 几何上的不连续点的缘故。
应力奇异性
图示带有圆孔、椭圆孔和裂纹的无限大平板。它们分别受到无穷 远处y方向的均匀拉应力的作用。对于圆孔，此时A和B两点有应力集 中现象，其应力集中系数(stress concentration factor)已广为人
因子分别用 KII和KIII表示。由于II
型裂纹也是平面问题，可采用上面 的坐标系来描述，而且只有应力分
量σx 、σy 和τxy 存在。 III 型裂
纹问题是反平面剪切问题，位移分 量仅有 z 方向的 w ，应力分量仅有 τxz 和τyz 。
II型裂纹的应力场和位移场
K II 3 sin 2 cos cos 2 2 2 2r K II 3 y sin cos cos 2 2 2 2r K 3 xy II cos 1 sin sin 2 2 2 2r
K ( R ( L1 L2 ) / 2)
圆裂纹的应力强度因子
又称为钱币裂纹（pennyshaped crack），是三维的I 型裂纹问题，裂纹表面呈圆形。 假设受到垂直裂纹表面的拉伸 应力，当弹性体的体积远大于 圆裂纹尺寸，且拉伸应力为均 布时，圆周上每一点的应力强 度因子（精确解）为 ：
第三章
应力强度因子
断裂发生时在裂纹端点要释放出多余的能量，因此， 裂端区的应力场和应变场必然与此裂端的能量释放率有关。 若裂端应力应变场的强度（intensity）足够大，断裂即可
发生，反之则不发生。因此，得到裂端区应力应变场的解
析解是个关键。 近代断裂力学是用弹性力学的解析方法来完成这一工
作的，而这些解析法需要用高深的数学工具，这对于初次
习题
当应力奇异性是由r-n来决定时，n就称为应力奇异 性的指数。当线弹性体的裂纹端点具有指数n为1/2的 应力奇异性时，试由量纲分析着手，证明裂端区的应
变能将是有界的。若要裂端区的应变能有界，能否反
过来从数学上证明应力奇异性指数不得大于或等于1？
3-4 常见裂纹的应力强度因子
应力强度因子可以用来表征裂纹端点区应力应变场强 度的参量，因此，在工程应用前，首先要计算应力强度因 子。计算应力强度因子有解析法和数值法两种，前者包括
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有限宽的长条板有单边裂纹，受到无穷远处的纯 弯曲的应力强度因子
设 则
6M / h 2
a K a f h
a a a a a f 1.12 1.40 7.33 13.08 14.0 h h h h h a h K 1.12 a
法线方向(y方向)。它通常发生在载荷和几何形状对称于裂纹平面 的情形，例如Griffith裂纹是I型裂纹，其裂纹的扩展方向是正前
方（x方向）。若物体是均匀厚度的平板，裂纹贯穿板厚，则问题
是二维的（平面问题）；若物体不是平板或者裂纹没有贯穿板厚， 则是三维问题。许多工程上常见的断裂都是I型裂纹的断裂，这也
应力函数法、积分变换法、契合问题解法等等；后者包括
有限单元法、边界元法、边界配置法等。 从五十年代中期以来，已建立了许多的计算应力强度
因子的方法，对很多常见裂纹问题的应力强度因子已汇集
成手册。因此，可以根据手册的结果，作一定的简化和近 似后，来解决工程问题。
裂纹的应力强度因子
应力强度因子的值由载荷、裂纹数目、长度和位置 以及物体的几何形状等共同决定。它的单位是 [ 力 ]•[ 长 度 ]-3/2 。 常 用 单 位 为 制 的 百 万 牛 顿 • 米 3/2(MN/m3/2)或用公制的公斤力•毫米-3/2。
K III xz sin 2 2r K III zy cos 2 2r
2 K III r w 2
1/ 2
sin

2
思考题
如图所示的坐标系， I 型和 II 型裂纹的裂端 区应力场在裂纹表面有
何特点？在裂纹正前方
又分别有何特点？裂端 区位移分量在裂纹表面 和正前方又有何特点？
3-2 裂端的应力场和位移场
下面考虑二维的I型裂纹 问题。图给出一个以裂纹端点为 原点的坐标系，此坐标系x方向 是裂纹正前方，y方向是裂纹面 的法线方向，z方向则是离开纸 面的方向。考虑一个离裂端很近， 位置在极坐标(r，θ）的单元， 其应力状态可以用σx、σy和 τxy三个应力分量来表示。
裂纹前沿的应力应变 场究竟是怎样的？
P KA a P KB a ab a b a b ab
有限宽的长条板有中心裂纹，受到无穷远处的均 匀拉伸的应力强度因子
a K a sec h
有限宽的长条板有单边裂纹，受到无穷远处的均 匀拉伸的应力强度因子
a K a f h a a a a a f 1.12 0.23 10.6 21.71 30.38 h h h h h a h K 1.12 a
分量也只由应力强度因子来确定。
I型裂纹的位移场
通过应变一位移关系，经过复杂的计算，可以得到裂端区的 位移场为：
r 2u K I ( 1) 2 sin 2 cos 2 2 2 r 2v K I ( 1) 2 cos 2 sin 2 2 2
线弹性力学的本构关系是线性的，因此，
由于I型裂纹是最主要的裂纹型，下面介绍一些标 准裂纹问题，给出实验室常用试件和工程零构件最常 见I型裂纹的应力强度因子（用K表示）。
Griffith裂纹的应力强度因子
K a
无限大平板有中心裂纹，裂纹表面受到均匀拉伸 应力作用的应力强度因子
K a
无限大平板有中心裂纹，裂纹表面某处受到一对 集中拉力P（单位厚度集中力）作用 的应力强度 因子