损伤力学的基本原理

（ ．） ２３
式 ａ为Ｃ ｃ 应 张 。 此 见 这 损 变 的 义 含 一 假 ， 认 所 中 。 ａｈ 力 量 由 可 ． 种 伤 量 定 隐 了 个 设 即 为 有 ｕｙ
缺陷对拉伸和压缩的影响是相同的。 这使得其应用受到了一定的限制。
２１１ ．．． ２基于弹性模量定义的损伤变量
材料损伤通常导致材料中弹性刚度的降低， 弹性模量在材料损伤阶段亦随之降低。 于是
０ ｕ 一 １ ’一 ０） １
ｇ ０ ＿ ＞ Ｏ Ａａ １
（ ．３ ２１ ）
由 ｅＴ 任 性 则 损 材 的 构 系 于； 的 意 ． 得 伤 料 本 关 为 ，
Ｅｉ ｐ ｉ 蕊 ＝
种
（ ．４ ） ２１ａ
Ｉｉ 一ｐ二二ｅ ｉ＝ ｓ
＿娜
口 Ｕ９
中 ｅ Ｔ ＝ 一 ｓ （９ ２） ．
状态方程是描述应力、 广义力、 嫡与基本状态变量和内 变量之间关系的方程，又被称为 本构方程， 通常也将状态变量之间的关系称为本构关系。由于内变量可用于描述不可逆的耗
力学作用影响的内部状态
在外部因素 （ 如力、
等） 的作用下， 材料内部将形成一定的微观缺陷， 这些缺陷扩
展、 汇合将造成材料逐渐劣化甚至破坏。 从本质上讲， 这些微缺陷是离散的， 但作为一种简 单的近似， 在连续损伤力学中， 所有的微缺陷被连续化， 它们对材料的影响用一个或几个连 续的内 部场变量来表示， 这种变量被称为损伤变量。 损伤变量的 定义和量化是损伤力学中两 个重要的概念。 针对不同的问 对损伤变量的定义也不相同． 题， 如果不考虑损伤的各向 异性， 损伤变量是一个标量， 即在各个方向 的损伤变量的数值都相同， 没有方向 如果考虑到损 性。 伤的 各向异性， 损伤变量是一个矢量或者二阶张量甚至是更高阶的张量。 为了便于建立较合
变方程。Ｌｇ ｎｅ ａｒ ｇ 乘子ａ ａ 一般可由 下式的一致性条件确定．
广 ＝０
（ ．２ ２２）
２． ．４耗散势与正交法则 １
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从物理本质上讲， 耗散是过程相关的，因此不存在势。这里所提的耗散势其实是一种伪 势。 假设存在耗散势４ １ ，它是流动变量的连续正值函 数，并以 状态变量为参数。在流动变量
ｆＦ ， ｇ＝ （， 又，） ０ （Ｙ （．７ ２１）
引入 Ｌｇａｇ 乘子ａ ａｒｎｅ ，并令
Ｈ 二０ 由一久ｆ
二； “Ｙ －ｇ 。＋ 。ａ 争一 。、十 ． ｆ “ Ａ． ‘
根据最小耗散原理，由于各对偶力相互独立．则得
损伤可以用弹性模量的变化来描述。１ ８ Ｌｍ ｉ 和Ｃ ａ ｃ 以 ９ 年， ｅ ａｒ １ ｔ ｅ ｈ ｏｈ 一维问 ｂ ｅ 题为例，将有 效应力的概念应用于弹性应变 。 和名义应力。 下的损伤材料弹性变形，有
Ｅ ａ ＥＤ 二 ／ ａ （ Ｄ ＝ ／（） ３Ｅ＝ ／ １ ） ［ 一 Ｅ Ｄ＝ 一 （）Ｅ １ ＥＤ ／
波速和声辐射等。下面介绍一下关于损伤变量的两种定义。
第二章 混凝土材料的损伤理论
２１１１基于缺陷面积定义的损伤变量 ．．．
材料的一个代表性体积单元，设其在垂直于 ｎ方向的总截面面积为 Ａ由于微缺陷的 ， 存
在，导致实际的有效承载面积Ａ比Ａ小，即
Ａ从 一 ＡＤ
（ ．） ２１
式中 。 考 应 集 和 陷 互 用 后的 陷 积 在 同 的 设 ， 伤 Ａ 为 虑了 力 中 缺 相 作 之 缺 面 。 各向 性 假 下 损 变
内变量的数 目。
据此 （． ）式可简化为 ２３ １
ａｅ＋ ，ａ ＹＡ － ｅ ｊ ＋ ，， ； Ｙｍ
热耗散之间的耗散关系。
ｇ ０ ＿ ＞
（ ．５ ２１ ）
式 （． 为热力学第二定律的另一种表达形式， ２ 巧） 它表示材料损伤、 塑性、 粘性等过程与
２． ．３损伤演变方程 １
非平衡态热力学的最小嫡原理指出：一个线性非平衡区系统，随着时间的推移将总是朝 着使总嫡产生的减少方向进行，直至达到一个稳定态，并且在此稳定态的总嫡达到最小值。
任取其中的两个状态变量为自 变量，则可组成不同的 状态函数即能量函数
如Ｈｌｈｌ 由 度函 ｔ自 能密 数：中 中 ，， ｉ ｅ ｏｚ ｍ ＝ （ＴＡ） Ｅ （． ２） ７ 内 密 能 度函数：
这两个状态函数之间Ｅ ， （． ２） ８
和技巧性问题。
散 程 因 又 称 耗 变 · 变 分 为 性 变 ａ非 性 变 即 过 ， 而 可 为 散 量 应 可 解 弹 应 Ｅ 弹 应 弓， ｉ 和
。＝ ： “ 。 。十 忿
（ ．０） ２１
用 Ｄ表 损 变 （般 量 ， 他 量 （ 表 塑 粘 等 响 用Ａ 表 ， 示 伤 量一 变 ）其 变 如 示 性、 性 影 ） ： 示 则
（ ．３ ２２ ）
种
况ｉ ｊ
（ ．４） ２２
（ ．５ ２２ ）
由以 上的分析可以 看出： 引入热力学势的概念后， 可得到一个非常清晰的理论框架， 并 由 此可导出材料的 本构方程和演变方程。 这也正是不可逆热力学的优越之处。 然在假定热 当 力学势的时候， 必须仔细的推敲热力学变量的 选定， 此也便带来了 由 热力学势选取的主观性
适的 损伤模型 述受损材 力学 应， 此也 根据 来描 料的 效 因 可以 材料的损 伤将会引 起其微观结 构
和某些宏观物理性能变化的特点， 从微观和宏观两方面来选择度量损伤的基准。 例如： 从微
观方面， 可以 选用孔隙的数目、 长度、 面积、 体积或者裂隙的 张开、 滑移、闭 合等缺陷； 从 宏观方面， 选用弹性模聋、 可以 泊松比、 屈服应力、 拉伸强度、 伸长率、 密度、电 超声 阻、
ｈ 为热通量；９ 为温度梯度： 为单位质量含有的内能。
将微分式 ２ １ （． ）及式 （．）带入式 （． ）得 １ ２ ９ ２１ ２
（ｉ Ｐ ６一
种
，．０＋．ｉ 。 ＿神 六ｉ ＿Ｖ ＿＿一Ｎ二 －Ｌｉ一尸二丁 ｅａ一二 ‘ ＿ ８， Ｔ ｉｉ ｗ； ｈ ） ｓ Ｊ 二） ｚ 一、 Ｔ二 ｌ Ｖ ．ｉ 二 －ｔ
量 Ｄ不随截面方向而变化，即与 ｎ 无关，因此可以 定义损伤变量缺陷面积与总面积之比，
巨 口
Ｄ Ａ ＿ Ａ ＝ ｏ － Ａ
力张量可以表示为：
性
仃“ ＝ —
Ａ Ａ
（ ．） ２２
式中Ｄ 。 ＝ 对应于无损状态， ＝ 对应于材料的完全断裂。 Ｄｒ 在此损伤变量的定义下，有效应
ａ ｉ
１ 一Ｄ
Ｓ ［： ， ． ＝ＥＥ ］ （ ： 功一
２１ ．． ２状态函数与损伤本构关系
（６ ２） ．
一个系统的不可逆热力学状态由一组基本状态变量和内变量确定之后， 则应力张量与内
变量共扼的 广义力及内能密度均为基本状态变量和内 变量的函数。 对于任何一个经受热力学
过程的 逆系统， 不可 存在一个称为 状态变量， 且由 嫡的 并 嫡可以 推出自 能状态函数。自 由 由
（． ｂ ２１ ） ４
第二章 混凝土材料的损伤理论
Ｉ ，＝ 一ｐ丁 丁一
＿种 ，， ，．） （＝ ．３， ．ｎ ａ１ ２ 二．
口 八ａ
（． ｃ ２１ ） ４
上 中 ｕ损 能 释 率 ａ相 的 散 变 对 力 ｎ 除 伤 量 外 其 式 Ｙ为 伤 量 放 ：Ｙ为 应 耗 内 量 偶 ： 为 损 变 之 ， 他
空间的原点处，耗散势为零。
。（ｏ．；，， 一 ， ， ，Ｔ ，Ｃ １；Ａ） ｅｐ ．， ． Ａ． ｅ ， ｗ
，ｉ Ｔ Ｖ 式 ！ｉ ． Ｙ ｅｏ Ａ，为 变 。 甲ｅ６Ａ， ｉ ｝） ． 参 量 ，， 节为 Ｚ ） ｊ ） Ｍ
根据势函数中流动变量和相应的广义力之间的正交法则，得
ａ ＝ ｉ
ｈ ．＿ 、＿＿ ＿
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第二章 混凝土材料的损伤理论
夸． ２１损伤力学的基本原理
自 然界中的每一次物质运动或状态变化都是一个热力学过程． 可逆热力学过程是指过程
的每一步都可在相反的方向 进行而不在外界引 起其他变化。 当运动或状态改变并伴有能量耗 散时， 其热力学过程就是不可逆的。 尽管， 各种材料不同 情况下的损伤表现形式很多、 很复
少
（． ） ２４
（． ） ２５
这 ， 口） 分 是 伤 料 无 材 的 性 量 Ｓ 有 应 。 程２）损 变 里 宜 ， 别 损 材 和 损 料 弹 模 ，为 效 力 方 （ 是 伤 Ｅ ． ２
量 Ｄ的 一种定 将上述方 义。 法推广至三维问 题中， 果损 如 伤材料 损材料的四 性张 和无 阶弹
量 别 为ＥＤ 和Ｅ 方 （２ 可 广 分 记 （） ， 程 ２ ） 推 为 ．
杂， 但它们有一个共同的特点：即损伤是一个需要耗散能量的不可逆热力学过程。因此， 作
为含损伤（ 连续的 场） 缺陷 的连续介质，需要满足连续介质力学的基本方程 （ 质量守恒方程、 动量守恒方程、能量守恒方程） 。静载下发生的损伤仍然可认为是准静态的过程：即过程变
化的非常慢。以至于在极限意义下其每一时刻都可认为是平衡态。
（ ． ） ２１ ８
二 Ｅ 兰 ｉ、 ａ ｖ
ｍ“＝ 入． ， 二，
（ ． ） ２１ ９
劣
（．０ ２２ ）
ｂｌ ｙ
（ ２１ ２ ）
式 （． ） （． ， ２ ， ２） （． ）分别为非弹性变形、 ２９ ２０ ２ １ １ 损伤变量及其它可能引入的内变量的演
Ｈ ｌｈｌ 自由能可表示为 ｅ ｏｚ ｍ ｔ
中 ￥ ； Ａ， ＝ （ ，ｉ ａ ） Ｅ （， Ｔ Ｏ
热力学第二定律的表达式为：
ｐ ｓ 二· 一 ｐ 一 Ｙ ｉ ？ ｌ 一 ９ （ｅ （ｉｉ ｕ ｉ ） ｃ
１
（． ） ２１ １
＿． ｈ
（ ．２ ２１ ）
上式中大于０ 表示不可逆过程， 等于。 示可 过 式中Ｐ 物体 度： 为 对 表 逆 程， 为 密 Ｔ 绝 温度（ ） Ｋ，
２ １１ ． 损伤变量与热力学状态变量 ．
由连续损伤介质构成的集合体在热力学中 称为一个系统。 一个热力学系统中的 状态变量 是一种可以 直接或者间接测量的 物理量。 如果一个状态变量不是以 前所发现的那些状态变量 的函 它就被称为基本状态变量。 数， 例如， 应变是可测量的， 它反映了系统的畸变状态的程 度， 通过应变的变化可以 改变物体的内能， 因此人们认为应变张量是描述固体介质热力学状 态的基本状态量：当 应变保持为常值时，一个纯加热的热力学过程也可以改变固体的内 能， 因 而温度也是热力学系统中的一个基本状态变量。 通常温度、 应变这种基本状态变量又被称 为外部状态变量。 内部状态变量是一种不一定能够被直接测定， 但实际上又可以 像外部状态 变量一样处理、 与基本状态变量独立的 热力学变量． 它们与 基本状态变量一起唯一地决定一 个不可逆系统的状态。 损伤变量便是一种用于描述材料内部损伤状态变化发展及其对此材料
由 此可得， 一个线性非平衡系统中 发生的耗散过程，总是以 最小耗散能率方式进行。
设中为单位质量的耗散能率，则由式 （． ）可得 ２５ １
０＝ ； ＋ 。 ＹＡ － ａＥ Ｙ ｗ ，ａ ｉ ａ十 ａ
用对偶力形式表示为
（． ６ ２１）
对于不同的耗散过程，其相应的约束条件不同。 假设对于带损伤内 变量的约束条件，可
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能状态函数是指等温过程中可用于对外做功的内能部分。因 此一旦规定出状态变量之后， 就 可以 假定存在着某种热力学势，它是不同的独立状态变量的函数。 如选取基本状态变量为应
变 ｉ温 ． 其 关 量 对 力 嫡ｓ 在 起 这 个 态 量 有 个 独 的 Ｅ 度Ｔ 将 相 变 即 偶 和 加 一 ， 四 状 变 仅 两 是 立 。 和