隐函数定理及其应用

(2) 在 f (x) = x, g(x) = x2 , h(x) = x3 的情形下，上述条件相当于什么？ 11．设 x = u, y = u , z = u ，取 u, v 为新的自变量， w 为新的因变量，变
1+ uv 1+ uw
换方程
x2 ∂z + y2 ∂z = z2 . ∂x ∂y
§18.3 几何应用
10．设 (x0 , y0 , z0 , u0 ) 满足方程组 ⎧ f (x) + f ( y) + f (z) = F (u), ⎪⎨g(x, ) + g( y) + g(z) = G(u), ⎪⎩ h(x, ) + h( y) + h(z) = H (u).
这里所有的函数假定有连续的导数.
(1) 说出一个能在该点的邻域内确定 x, y, z 作为 u 的函数的充分条件；
2．求下列函数组的反函数组的偏导数：
(1) 设 u = x cos y , v = x sin y ，求 ∂x , ∂x , ∂y , ∂y ；
x
x ∂u ∂v ∂u ∂v
(2) 设 u = ex + x sin y, v = ex − x cos y ，求 ∂x , ∂x , ∂y , ∂y . ∂u ∂v ∂u ∂v
明：存在δ > 0 ，当 −δ < x < δ 时，存在唯一的可微函数 y = y(x) 满足方程 x = y + ϕ ( y) 且
y(0) = 0 .
§18.2 隐函数组
1．试讨论方程组
⎧⎪ x2 + y2 = 1 z2,
⎨
2
⎪⎩ x + y + z = 2
在点 P0 (1, −1, 2) 的附近能否确定形如 x = f (z) ， y = g (z) 的隐函数组.
3．设 u
=
x r2
，v
=
y r2
，w
=
z r2
，其中 r
=
x2 + yBiblioteka Baidu + z2 .
(1) 试求以 u, v, w 为自变量的反函数组；
(2) 计算 ∂(u, v, w) . ∂(x, y, z)
4．设 fi ,ϕi 连续可微，且 Fi (x1, " xn ) = fi (ϕ1(x1),ϕ2 (x2 ), " ϕn (xn )) (i = 1, 2, … n ) .
⎧u = f (x, y, z,t),
⎪ ⎨
g( y, z,t) = 0,
⎪⎩ h(z,t) = 0.
在什么条件下 u 是 x, y 的函数？求 ∂u , ∂u . ∂x ∂y
7．设函数 u = u(x) 由方程组
⎧u = f (x, y, z),
⎪ ⎨
g
(
x,
y,
z)
=
0,
⎪⎩ h(x, y, z) = 0
求
∂(F1, ∂ ( x1 ,
F2 ," x2 ,"
Fn ) xn )
.
5 ． 据 理 说 明 ： 在 点 (0,1) 附 近 是 否 存 在 连 续 可 微 函 数 f (x, y) 和 g(x, y) 满 足
f (0,1) = 1, g(0,1) = −1，且
6．设
[ f (x, y)]3 + xg(x, y) − y = 0, [g(x, y)]3 + yf (x, y) − x = 0.
1．求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程。
(1) x = a sin2 t, y = b sin t cos t, z = c cos2 t ,在点 t = π ； 4
(2) 2x2 + 3y2 + z2 = 9, z2 = 3x2 + y2 ,在点(1,-1,2)；
(3) x2 + y2 + z2 = 6, x + y + z = 0 ,在点(1,-2,1)； (4) x = t − cos t, y = 3 + sin2 t, z = 1+ cos 3t ,在点 t = π .
则可得到什么结论？试证明之.
2．方程 x2 + y + sin(xy) = 0 在原点附近能否用形如 y = f (x) 的方程表示？又能否用 形如 x = g( y) 的方程表示？
3．方程 F (x, y) = y2 − x2 (1− x2 ) = 0 在哪些点的附近可唯一地确定单值、连续、且有 连续导数的函数 y = f (x) .
第十八章 隐函数定理及其应用
§18.1 隐函数
1． 设函数 F (x, y) 满足 (1) 在区域 D : x0 − a ≤ x ≤ x0 + a ， y0 − b ≤ y ≤ y0 + b 上连续； (2) F (x0 , y0 ) = 0 ； (3) 当 x 固定时，函数 F (x, y) 是 y 的严格单调函数；
4．证明有唯一可导的函数 y = y(x) 满足方程 sin+ sinh y = x ，并求出导数 y' (x) ，其 中 sinh y = ey − e− y .
2 5．方程 xy + z ln y + exz = 1在点 P0 (0,1,1) 的某邻域内能否确定出某一个变量是另外两
个变量的函数.
2
2．求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程：
(1) y − e2x−z = 0 ，在点（1,1,2）；
(2)
x2 + y2 + z2 = 1 在点 ( a ,
a2 b2 c2
3
b, 3
c )； 3
(3) z = 2x2 + 4 y2 在点(2,1,12)；
(4) x = u cos v, y = u sin v, z = av 在点 P0 (u0 , v0 ) . 3．证明曲线 x = aet cos t, y = aet sin t, z = aet 在锥面 x2 + y2 = z2 的母线相交成同一角
6．设 f 是一元函数，试问 f 应满足什么条件，方程 2 f (xy) = f (x) + f ( y)
在点(1,1)的邻域内能确定出唯一的 y 为 x 的函数. 7．设有方程： x = y + ϕ( y) ，其中ϕ(0) = 0 ，且当 −a < y < a 时， ϕ '( y) ≤ k < 1 .证
所确定，求
du dx
,
d 2u dx2
.
8．设 z = z(x, y) 满足方程组
⎧ f (x, y, z,t) = 0,
⎨ ⎩
g(x,
y,
z,
t)
=
0.
求 dz .
9．设
⎧u = f (x − ut, y − ut, z − ut),
⎨ ⎩
g(x, y, z) = 0.
求 ∂u , ∂u .这时 t 是自变量还是因变量？ ∂x ∂y