《数学分析》多元函数的极限与连续

第十六章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )

§1 平面点集与多元函数 ( 3 时 )

一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}.

1. 常见平面点集:

⑴ 全平面和半平面: }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,

}|),{(b ax y y x +≥等.

⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ⨯, 1|||| ),{(≤+y x y x }.

⑶ 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环. 圆的个部分. 极坐标表示, 特别是

}cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.

⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .

⑸ 简单域:-X 型域和-Y 型域.

2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.

空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集

}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-

二. 点集的基本概念:

1. 内点、外点和界点：集合E 的全体内点集表示为E int , 边界表示为E ∂.集合的内

点E ∈, 外点E ∉, 界点不定.

2. 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 .

例1 确定集} 4)2()1(1|

),( {22<++-≤=y x y x E 的内点、外点集、边界和聚点.

3. 开集和闭集: E int E =时称E 为开集,E 的聚点集E ⊂时称E 为闭集.存在非开非闭集.2R 和

空集φ为既开又闭集.

4. 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 .

5. 有界集与无界集:

6. 点集的直径)(E d ：两点的距离) , (21P P ρ.

7. 三角不等式：

||21x x -（或||21y y -）|||| )()(2121221221y y x x y y x x -+-≤-+-≤.

三. 点列的极限:设) , (n n n y x P =, ) , (000y x P =.

定义 0l i m P P n n =∞

→的定义 ( 用邻域语言 ) . 例2 ) , (n n y x → ) , (00y x ⇔0x x n →, 0y y n →, ) (∞→n .

例3 设0P 为点集E 的一个聚点. 则存在E 中的点列} {n P , 使0lim P P n n =∞

→. 四. 2R 中的完备性定理:

1. Cauchy 收敛准则:

先证{) , (n n y x }为Cauchy 列⇔} {n x 和} {n y 均为Cauchy 列.

2. 闭集套定理: [1]P 89.

3. 聚点原理: Weierstrass 聚点原理，列紧性.

4. 有限复盖定理:

五. 二元函数:

1. 二元函数的定义、记法、图象：

2. 定义域：

例4 求定义域：

ⅰ> ),(y x f 192222-+--=

y x y x ; ⅱ> ),(y x f )

1ln(ln 2+-=x y y . 3. 有界函数:

4. n 元函数:

Ex [1]P 92—93 1—8 .

§2 二元函数的极限 ( 3 时 )

一. 二元函数的极限:

1. 二重极限A P f D P P P =∈→)(lim 0的定义: 也可记为),(lim ),(),(00y x f y x y x →A =或

A y x f y y x x =→→),(lim 00

例1 用“δε-”定义验证极限 7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x . [1]P 94 E1.

例2 用“δε-”定义验证极限 0lim 2

22

0=+→→y x xy y x . 例3 设⎪⎩

⎪⎨⎧=≠+-=).0,0(),( , 0),0,0(),( ,),(222

2y x y x y x y x xy y x f

证明0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .(用极坐标变换 ) [1]P 94 E2.

Th 1 A P f D

P P P =∈→)(lim 0⇔对D 的每一个子集E ,只要点0P 是E 的聚点,就有A P f E P P P =∈→)(lim 0. 推论1 设D E ⊂1,0P 是1E 的聚点.若极限)(lim 10P f E P P P ∈→不存在, 则极限)(lim 0P f D

P P P ∈→也不存在. 推论2 设D E E ⊂21,,0P 是1E 和2E 的聚点.若存在极限1)(lim 10A P f E P P P =∈→,2)(lim 2

0A P f E P P P =∈→, 但21A A ≠,则极限)(lim 0P f D

P P P ∈→不存在. 推论3 极限)(lim 0P f D

P P P ∈→存在⇔对D 内任一点列} {n P ,0P P n →但0P P n ≠,数列)}({n P f 收敛 .

2 方向极限:

方向极限A y x f =+++→)sin , cos (lim 000

θρθρρ的定义. 通常为证明极限)(lim 0

P f P P →不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关; 或沿两条特殊的路径的极限存在而不

相等.但应注意, 沿任何方向的极限存在且相等 ⇒/ 二重极限存在 ( 以下例5 ).

例4 设⎪⎩

⎪⎨⎧=≠+=. )0,0(),( , 0),0,0(),( , ),(22y x y x y x xy y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在. (考虑沿直线kx y =的方向极限). [1]P 95 E3.

例5 设⎩⎨⎧+∞<<-∞<<=.

,0,0,1),(2其余部分时，当x x y y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在. [1]P 95 E4.