人教版高一数学必修一1.1.1《集合的含义与表示》ppt

[解析] ①能构成集合，其中的元素需满足三条边相 等；
②不能构成集合，因为“比姚明篮球打的好的人”的标 准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；
③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下 的学生”；
④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原 点距离等于1的点”；
⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确 定的，故不能构成集合；
2．元素与集合的关系用符号 ∈、∉ 表示． 通过以上所学，完成下列练习． 用符号∈或∉填空． (1) 设 A 是 正 整 数 集 合 ， 则 0________A ， 2 ________A,2________A； (2)设 A 为所有中国的河流组成的集合，则 长江________A，尼罗河________A， 亚马孙河________A，黄河________A.
(2)如何应用元素分析法解决有关集合问题？ ①分析元素的性质，即确定性、互异性、无序性； ②由元素所具有的性质转化为相关问题的性质，如本例 由a、b、c互异转化为△ABC三边长互不相等．
[例2] (2012－2013学年重庆市风鸣山中学)若一个集合 中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不 是( )
规律总结：由集合相等求参数，应从集合相等的概念 入手，寻找元素之间的关系，若集合中的未知元素不止一 个，需进行分类讨论．注意利用集合中元素的互异性对得到 的结果进行取舍．
若将上式中的集合A改为{a，
b a
，1}，B改为{a2，a＋
b,0}，其他条件不改变，怎样求a2 013＋b2 013的值．
[解析] 方法一：∵{a，ba，1}＝{a2，a＋b,0}， 又∵a≠0,1≠0，∴ba＝0，∴b＝0， ∴{a,0,1}＝{a2，a,0}， ∴a2＝1，即a＝±1， 又当a＝1时，A＝{1,0,1}不满足集合中元素的互异性， 舍去，∴a＝－1，即集合A＝{－1,0,1}， 此时a＝－1，b＝0，
[分析] 根据集合相等的概念可知x、y与0、x2分别对应 相等，解方程并根据集合中元素的互异性可求得x、y的值．
[解析] 因为A、B相等，则x＝0或y＝0. (1)当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的 互异性，故舍去． (2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知x＝0应舍 去． 综上知：x＝1，y＝0.
[答案] (1){－1,1，－4,2} (2){－2,4} (3){－2，－1,0,1,2}
6．用集合所含元素的 共同特征 表示集合的方法，称作 描述法．
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素 的 一般符号及取值(或变化)范围 ，再画一条竖线，在这条竖 线后面写出这个集合中元素所具有的 共同特征．它的一般形 式是{x∈A|p(x)}或{x|p(x)}．“ x ”为代表元素，“ p(x) ”为元素 x 必须具有的共同特征，当且仅当“x”适合条件“p(x)”时，x 才是 该集合中的元素，此法具有抽象概括、普遍性的特点，当元 素个数较多时，一般选用此法．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素所属范围为实数 集时可以省略．
通过以上所学，完成下列练习． 试用描述法表示下列集合： (1)方程 x2－3x＋2＝0 的解集为________． (2)不等式 3x＋2>0 的解集为________． (3)大于 1 小于 5 的整数组成的集合为________．
[答案] (1)∉ ∉ ∈ (2)∈ ∉ ∉ ∈
[解析] (1)若 A 是正整数构成的集合，则 0 和无理数 2不 是 A 中的元素.2 是正整数，是 A 中的元素．
(2)长江在中国境内，故长江∈A；尼罗河不在中国境内， 故尼罗河∉A；亚马孙河也不在中国境内，故亚马孙河∉A；黄 河在中国境内，故黄河∈A.
学法指导：1.判断一组对象能否组成集合，关键看对 象的标准是否明确．如果此组对象的限定范围满足确定性， 就可组成集合；否则，不能组成集合．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入 同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．
[例1] 下列所给的对象能构成集合的是________． ①所有的正三角形； ②比姚明篮球打的好的人． ③某校高一年级16岁以下的学生； ④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合； ⑤参加第30届奥运会的年轻运动员； ⑥ 2的近似值的全体．
(3)若构成两集合的元素是一样的，则称两集合 相等 ，若 集合{1,2}与集合{a,1}相等，则 a＝ 2 .
4．常见的数集符号：自然数集： N ；正整数集： N＋ ； 整数集： Z ；有理数集： Q ；实数集： R .
通过以上所学，完成下列练习． 下列关系中正确的有________ ①0∈N*；②－32∈Q；③π∉Q；④0∉N；⑤ 2∈R；⑥－3 ∈Z；⑦0∈Z；⑧0.9∈R.
自主预习 1．我们在初中接触过“正数的集合”、“负数的集合” 等，集合的含义又是什么呢？ ①解不等式 2x－1＞3 得 x＞2，所有大于 2 的实数集在一 起称为这个不等式的解集． ②平面几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
③自然数的集合 0,1,2,3，… ④高一(5)班全体同学组成一个集合． 请你想一想，集合这个概念应该怎样描述？ 一般地，我们把所研究的对象如点、自然数、高一(5)班 的同学统称为 元素 ，把一些 元素 组成的总体叫做集合， 通常用大写拉丁字母 A、B、C，…表示．
(2012－2013学年度河北冀中学高一年级教学质量调研题)
下列对象中不可以构成集合的是( )
A．接近0的数
B．等于2的数
C．所有的正数 D．不等于0的偶数
[答案] A
[解析] 因为“接近0的数”的接近程度不明确很难判定 一个数是不是与0接近，所以不能构成集合．选A.
2 集合中元素特性的考查
学法指导：(1)什么是元素分析法？ 解决集合问题的关键是能否把用集合语言描述的问题转 化为数学问题，而集合离不开元素，因此分析元素是解决集 合问题的核心，这种抓住元素进行分析的方法称为元素分析 法．
[ 答 案 ] (1){x|x2 － 3x ＋ 2 ＝ 0} (2){x|3x ＋ 2>0} (3){x∈Z|1<x<5}
7．在平面上，到一个角的两边距离相等的点的集合是 这个角的________
[答案] 平分线
8．点、直线等非常基本的概念被称为不定义概念或称 为描述性定义．
思路方法技巧
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1 集合概念的考查
A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 [分析] 欲判断四边形的形状，需判断四边形的四条边 之间的关系．
[答案] D
[解析] 由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b， c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．
规律总结：解答本题应抓住集合的元素具有“互异 性”这一特征，由a，b，c，d互异转化为四边形的四条边互 不相等.
第一章 集合与函数概念
第一章
1.1 集 合
第一章 1.1.1 集合的含义与表示
课前自主预习
温故知新 1．自然数的集合包含：零和 正整数 ；有理数的集合 包含：整数和 分数． 2．在平面上，到一个定点的距离等于定长的点的集合 是圆．
3．到一条线段的两个端点距离相等的点的集合是这条 线段的 垂直平分线．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 [分析] 欲判断三角形的形状，需判断三边关系或三角 关系．由于已知条件涉及三边，故考虑三边之间的关系．
[解析] 由于集合中元素具有互异性，即a、b、c互不相 等，因此△ABC一定不是等腰三角形．
[答案] D
a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为 边长构成的四边形可能是( )
[答案] ②③⑤⑥⑦⑧
[解析] 0 不属于正整数集，属于自然数集，也属于整数 集，故①④错误，⑦正确；－32是分数，属于有理数集，故② 正确；π 是无理数，不属于有理数集，故③正确； 2是无理数， 属于实数集，故⑤正确；－3 是负整数，属于整数集，故⑥正 确；0.9 是小数，属于实数集，故⑧正确．
(2)元素与元素之间用“，”分隔开． (3)x 与{x}的含义不同，x 表示元素，而{x}表示只含一个 元素 x 的集合．
通过以上所学，完成下列练习． 用列举法表示下列集合： (1)方程(x2－1)(x2＋2x－8)＝0 的解集为________． (2)方程|x－1|＝3 的解集为________． (3)绝对值小于 3 的整数的集合为________．
3．集合中元素的性质(或称三要素)： 确定性 、互异性 、 无序性．
(1)给定的集合中的元素必须是确定的． “我国的小河流”能不能组成一个集合，你能用集合的 知识解释吗？
答案：“我国的小河流”不能组成一个集合．因为集合 中的元素必须是确定的，而在我国的河流中到底多大才算小 河流并无具体的标准．
(2)集合中的元素必须是互不相同的，由 1，－1,1,3 组成 的集合为 {1，－1,3} ；若 a∈{a2,1}则 a＝ 0 .
5．把集合中的元素一一列举出来．并用花括号“{}” 括起 来表示集合的方法叫做 列举法 ，如大于－1 且小于 10 的偶 数构成的集合可表示为 {0,2,4,6,8}．
【思维拓展】 (1)适用范围：有限集或元素间存在明显 规律的无限集．在此需要说明的是，对于有限集，由于元素 的无序性，集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，两者的表 述无差异．但具有一定规律的无限集{1,2,3,4，…}就不能写成 {2,1,4,3，…}了．
2．实数的分类：
有理数整数自负然整数数
实数
分数正负分分数数
无理数正负无无理理数数
⑥不能构成集合，因为“ 2 的近似值”不明确精确到什 么程度，因此很难断定一个数是不是它的近似值，所以不能 构成集合．
[答案] ①③④
规律总结：判断每个对象是否具有确定性是判断其能 否构成集合的关键，而判断一个对象是不是确定的，关键就 是要找到一个明确的衡量标准，同时还要注意集合中的元素 的互异性、无序性．
新课引入 有一位牧民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的 意义，于是他请教一位数学家：“尊敬的先生，请你告诉我 集合是什么？”集合是不定义的概念，数学家很难回答．一 天，他看到牧民正在向羊圈里赶羊，等到牧民把羊全赶进羊 圈并关好门．数学家突然灵机一动，高兴地告诉牧民：“这 就是集合”．你能理解集合了吗？集合就是把需要的东西拿 到一起．
【思维拓展】 (1)写清楚该集合中的代表元素． (2)集合与它的代表元素所采用的字母名称无关，只与集 合中元素的共同特征有关．例如，{x∈R|x<1}也可以写成{y ∈R|y<1}．
(3)所有描述的内容都要写在集合符号内．例如，{x∈Z|x ＝2k}，k∈Z，这种表述方式不符合要求，需将 k∈Z 也写进 大括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
此时a＝－1，b＝0， 故a2 013＋b2 013＝(－1)2 013＋02 013＝－1＋0＝－1.
方法二：∵{a，ba，1}＝{a2，a＋b,0}，
∴aa＋·ba·ba1＋＝1a＝2aa＋2＋b·a0＋b＋0 解得a＝±1，b＝0， 由集合中元素的互异性知a≠1， ∴a＝－1，b＝0. ∴a2 013＋b2 013＝(－1)2 013＋02 013＝－1＋0＝－1.
4 元素与集合关系的考查
学法指导： 1．对于元素与集合关系的两点认识： (1)a∈A与a∉A取决于a是不是集合A中的元素，根据集合 中元素的确定性可知，对于任何a与A，a∈A或a∉A这两种情 况必有一种且只有一种成立． (2)符号“∈”“∉”表示元素与集合的从属关系，不能 用来表示集合与集合之间的关系，这一点要牢记．
3 集合相等的考查
学法指导：(1)两个集合是否相等，不能从集合的形式 上看，而应该判断出这两个集合的所有元素，再根据集合相 等的定义进行判断．
(2)利用集合相等求表达形式不同的两个集合中某个参 变量的数值时，必须同时注意检验元素是否满足互异性．
[例3] 设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若集合A、B相 等，求实数x、y的值．