第3章 - 函数的数值逼近

nij0
xnn
点是互异的
为范德蒙行列式。只要插值节点互不相同，则系数矩阵非 奇异。故方程组解存在且唯一。
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说明：
1. 插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的 插值多 项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不同形式的插 值多项式，但它们之间可以相互转化，本质相同，当然误 差也一样。
2. n +1组节点只能确定一个不超过n次的多项式，若>n次，
构造法：
先求 插值基函数l k-1(x), l k (x), l k+1(x) (二次函数), 满足：
lk1(xk1)1, lk1(xk)lk1(xk1)0;
lk(xk)1,
lk(xk1)lk(xk1)0;
(4)
lk1(xk1)1, lk1(xk1)lk1(xk)0,
[y0 y1 y2] = [1 0 0]y0 + [0 1 0]y1+ [0 0 1]y2
近似 f ( x)
0 a=x0 x1 x2 x3
xn=b y
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研究问题：
（1）满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？ （2）若满足插值条件的P(x) 存在，如何构造P(x)？ （3）如何估计用P (x)近似替代 f ( x) 产生的误差？
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2、插值多项式的存在唯一性
定理 若插值结点 x0,x1,…, xn是(n+1)个互异点,则满足插值条件 P(xk)= yk (k = 0,1,…,n)
2 x ( x1 ( x0 x1)( x0
x2) x2)
,
l1 ( x )
2 x (x0 x2) ( x1 x0 )( x1 x2 )
L 1 ( x ) y k l k ( x ) y k 1 l k 1 ( x )
称为节点上线 性插值基函数
节点上的线性插值基函数：
l
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k
(
x
)
x xk 1 x k x k 1
l
k
1
(
x
)
x xk x k 1 x k
y
1
0 xk
lk(x) xk+1 x
满足
lk(xk)1, lk(xk1)0 lk1(xk)0, lk1(xk1)1
yL1(x)的几何意义——过两
点 (xk , yk) 与 (xk+1, yk+1) 的直线
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或
L1(x)yk yxkk 1 1 xykk (xxk)
L1(x)xxkxxkk11ykxkx1xkxk yk1
L1(x)是两个线性 函数的线性组合
线性函数
lk(x)xxk xxkk 11, lk1(x)xk x1 xk xk
y
y
y
1
1
1
0 xk-1 xk
xk+1 x
0 xk-1 xk xk+1 x
0 xk-1
xk xk+1 x
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二次插值的应用一例——极值点近似计算
二次插值函数: L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，
d d x[l0(x )y 0 l1 (x )y 1 l2(x )y 2] 0
l 0 ( x )
的n次插值多项式 P(x)=a0 + a1x +……+ anxn
存在且唯一。
证明：由(1)式
a0 a0
a1 x0 a1 x1
an x0n y0 an x1n y1
(2)
a0 a1 xn an xnn yn
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其系数行列式 ：
1 x0 | A| 1 x1
1 xn
x0n x1n (xi xj)0
第3章 - 函 数的数值
逼近
若P ( x ) 是次数不超过n 的实系数代数多项式, 即
P(x) = a0 + a1 x + ⋯ + an xn
则称P( x)为n 次插值多项式. 相应的插值法称为多项式插 值法(代数插值法)。
x
y = f (x) •
(xi, yi)
y = P(x) 曲线 P ( x)
L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，
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求 lk-1(x): lk 1(x)A (x xk)(x xk 1 ),
由(4)式
A
(xk1xk
1 ) (xk1xk1)
插值条件 L2( x j ) = y j , j = k-1, k, k+1 .
l k 1( x )
(x xk ) ( x xk1) ( xk 1 xk ) ( xk 1 xk 1)
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L2 ( x ) y k 1
( x xk ) ( x xk 1) ( xk 1 x k ) ( x k 1 x k 1)
L2(x)是三个二次函 数的线性组合
yk
( x xk 1) ( x xk 1) ( xk x k 1) ( x k x k 1)
y k 1
( x xk 1) ( x xk ) ( xk 1 x k 1) ( x k 1 x k )
lk(x)
(x xk 1) ( x xk 1) ( xk xk 1) ( xk xk 1)
l k 1( x )
(x xk1) ( x xk ) ( xk 1 xk 1) ( xk1 xk )
再构造插值多项式
L 2 ( x ) y k 1 l k 1 ( x ) y k l k ( x ) y k 1 l k 1 ( x )(5)
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§2 代数多项式插值
一、线性插值与抛物线插值
1. 线性插值(n =1)
设已知区间[ xk , xk+1]端点处的函数值yk= f (xk)，yk+1 = f (xk+1)，
求线性插值多项式L 1(x ) ，使其满足
L1 ( xk ) yk
L1
(
xk
1
)
yk 1
x 0 xk
y = L1(x) xk+1 y
y
1
lk+1(x) 0 xk
xk+1 x
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2. 抛物插值法 (n =2 时的二次插值)
设插值节点为：xk-1, xk, xk+1 , 求二次插值多项式L2(x)，使得
L2( x j ) = y j , j = k-1, k, k+1 .
几何意义:过三点(xk-1, yk-1), (xk , yk) 与(xk+1, yk+1)的抛物线
如设为n+1(x)，则有n+2有待定参数a0,a1,…,an, an+1需确定，
而n +1个组节点，只构成n +1个插值条 件，即构成n+1个方 程，只能确定n+1个变量的方程组。 3. 上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即 以通过解 线性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计算量偏大， 计算步骤较多，容易使舍入误差增大。因此实际计算中需 要用其它方式进行。