第14章结构动力学

代入方程：
[2C1 (2 2 )C2 ]cost
[( 2
2 )C1
2C2 ]sint
F m
sin t
对于任意的t上式均成立，一定有相应系数相等：
2
C1
2 2
C2 0
2 2
C1
2 C2
F m
可解：
F
2 2
C1 m 2 2 2 4 22 2
C2
F m
2 2 2 2 4 22 2
第十四章 结构动力学
§14－1 概述
一、结构动力计算的内容与目的 静力荷载——施力过程缓慢，忽略惯性力 的影响。
静力荷载作用——大小、方向、作用点确定 ——结构处于平衡状态 ——内力、变形、位移确定（不随时间变化）
动力荷载的特征：
荷载的大小、方向（作用位置*）随时间而变化 荷载变化较快，使结构产生不容忽视的加速度
自由振动——结构受外部因素干扰发生振动，
而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用。 初始干扰：初始位移——强迫偏离，突然放松；
初始速度——瞬时冲击
1、不考虑阻尼时的自由振动
（图14 –5）质量——弹簧模型
——静平衡位置为坐标原点，向下为正
弹簧的刚度k11 ：弹簧发生单位位移所需加的力 弹簧的柔度δ11 ：单位力作用下产生的位移
ln yn ——振幅对数递减量
yn1
相隔j个周期：
1 ln yn 2 j yn j
若 0.2,
1 1 ln yn
2 j yn j
（2） 1
（大阻尼）， 此时特征根r1、r2为一对重根（负实数）， 通解为：
y et (C1ch 2 1t C2sh 2 1t)
这是非周期函数，故不发生振动， 且受初始干扰偏离平衡位置后 返回中心位置更慢
（3） 1 （临界阻尼）
特征方程根
微分方程解 y et C1 C2t
t0
y y0 C1 y0
y C2et C1 C2t et |t0
C2 C1 y0 C2 y0 y0
y(t) y0 1 t y0t et
y(t) y0 1 t y0t et
重物落在结构上（突然加载和突然卸载）
④快速移动荷载——高速通过桥梁的火车、汽车
⑤随机荷载——地震的激振、风力脉动作用
荷载变化极不规律，只能用概率方法求其统计规律
周期荷载（简谐）
周期荷载（非简谐）
冲击荷载（急剧增大、急剧减少）
随机荷载
内容：自由振动
无阻尼 单、多自由度
强迫振动
有阻尼 无限多自由度
动力计算：
考虑惯性力－达朗贝尔原理（动力－静力平衡） 内力、位移、荷载均为时间的函数 （瞬间(t)的平衡）
按动力荷载变化规律分类：
①周期荷载
简谐荷载
例：偏心质量产生的离心力
非简谐荷载
②冲击荷载——急剧增大，
作用时间很短即行消失：桩锤作用；车轮撞击轨道接头
——急剧减少——爆炸荷载，
③突加荷载——加载：
3
EI
＝ l3 3 192 EI
1
1
m 1
48EI ml 3
2
768 EI 7ml 3
3
192 EI ml 3
计算 δ
1 2 3 1 2 3 1 1.51 2 （ ）k
T1
2 1
2
ml 3
48EI T3 2
ml 3 192EI
T2 2
7ml 3 768EI
（2）刚度法 a. 加链杆约束——约束动力自由度； b. 给单位位移； c. 求约束力——刚度k。
§14－4 单自由度结构在简谐荷载 作用下的强迫振动
强迫振动（受迫振动）－结构在动荷载作用下的振动
一、振动方程建立
刚度法：取m隔离体，由动力平衡得：
I R S P(t) 0
my y k11 y P(t)
y
2
y
2y
1 m
P(t )
➢ 微分方程的解：y = y0 + y
➢ 其中齐次方程通解：
y0cost
y0
sint
➢ 初位移：y0 ——正弦规律 ➢ 初速度：ỳ0 ——余弦规律 ➢ 叠加——
令
y0
asin
y0
acos
则 y(t)= a sin(ωt+φ) ỳ(t) = aωcos(ωt+φ)
a
y02
2 0
2
tg y0
y0
a —— 振幅：质点最大位移；φ——初相角
（三）结构自振同期
C2
B2
y0
y0 '
F
m '
2
2 22
2
2
4
2 2 2
全解： y(t) et B1Cos 't B2Sin 't
C1 sint C2 cost
自由振动：频率ω’，振幅衰减； B1、B2由初始条件确定
强迫振动：频率θ，C1、C2与F有关
设初始条件: t = 0, y = y0、ỳ = ỳ 0
B1
y0
F m
2
2 2 2 4 2 2 2
y0
2、考虑阻尼作用时的自由振动
阻尼（力）：振动过程中各种阻力的作用
使自由振动逐渐衰减而不能无限延续 共振时振幅并非无限大 （外部介质）空气和液体的阻力、支承的摩擦 （内部作用）材料分子之间的摩擦和粘着性
阻尼的种类： （1）粘滞阻尼力 R = -βỳ （线性阻尼）
两个物体的相对滑动面之间有一层连续油膜存在时 或物体以低速在粘性液体内运动
W mg — —重力
st W — —重力静位移
（14－8）
T 2 m 2 m 2 W st
k
g
g
周期Ｔ的重要性质：
（1）Ｔ只与结构本身的性质 m、k有关 ——结构固有的动力特性，与外界干扰无关 ——外界干扰只能影响振幅和初相角；
（2）Ｔ∝ m．1
kห้องสมุดไป่ตู้
（3）T－结构动力性能的一个重要数量标志
y(t) et B1cost B2sint
设初始条件: t = 0, y = y0、ỳ = ỳ 0
B1
y0 , B2
y0
y0
y0 e0 B1cos0 B2sin0
y(t) et B1cost B2sint
et B1sint B2cost
y0 B1 B2
B2
y0 y0
y – t 曲线－仍是有衰减性质 ， 但不具有波动性质 （如图）
ỳ0
φ y0
试题
由： 2 令 1
m
cr 2m 2 mk11
——临界阻尼系数
——使运动不再具有波动性质
所对应的阻尼系数最小值
阻尼比：
——反映阻尼情况的基本参数
cr
实测相隔j个周期的振幅——计算ξ：
yn ,
yn j
1
2
j
ln
yn yn j
my y k11 y 0
令 2 k11 , 2 2k 即：
m
m
2m
y 2 y 2 y 0 （16－9）*
y 2 y 2 y 0
设解 y(t) Cert Cr2ert 2 Crert 2 Cert 0
r2 2r 2 Cert 0
特征方程
r2 2r 2 0
（2）流体阻尼 R = - cv2
固体以较大速度在流体介质内运动 （例3m/s以上）
（3）摩擦力 R ＝ kN
两个干燥的平滑接触面之间的摩擦力
（4）结构阻尼 材料之间的内摩擦
粘滞阻尼力计算简单，其余的可化为等效粘滞阻尼力 考虑阻尼的振动方程
I+R+S=0 其中：R = -βỳ
有阻尼的自由振动微分方程
k
ξ↑→ω’↓ 1 2
ξ↑→T’↑
T T
T
1 2
0.2
T T
0.2, 1 0.22
0.96 0.98
b、阻尼对振幅的影响
bet ——振幅随时间逐渐衰减
一周期 T 2 后
yn yn1
betn betn T
eT
取对数：
ln
yn yn1
T
2
2
1 ln yn 2 yn1
自由振动——结构受外部因素干扰发生振动，
而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用。
强迫振动（受迫振动）——结构在动荷载作用下的振动
（在振动过程中不断受到外部干扰力作用）
目的：
①结构的动力特性（周期T，频率f(ω)、振型、阻尼） —— 避免共振；地震的主要周期 例：步兵过桥——齐步走 美国悬索大桥——风振作用，突然垮塌
振动微分方程
k11
1
11
——位移及各量随时间变化的规律
两个基本方法：
刚度法——列动力平衡方程
柔度法——列位移方程
（一）建立自由振动微分方程
（1）刚度法－动力平衡方程（达朗贝尔原理）
质点m （图16
—– —5b）任一时刻t有位移y(t)，
S ky ——弹性恢复力，与位移y方向相反
I my ——惯性力，与加速度方向相反
my ky 0 达朗伯尔原理 隔离体平衡方程
微分方程
y 2y 0
k 1 m m
（2）柔度法——列位移方程 ——弹性体系（非隔离体）（图14 – 5c）
运动过程，质量只受惯性力——按静力荷载考虑， I my
m在时刻 t 的位移等于惯性力作用下的静力位移
即 y my
单自由度体系 m y y 0
②动力反应 动内力/位移随时间变化的规律 ——最大值——设计依据
§14－2 结构振动的自由度
振动自由度
——为了确定全部质量位置所需的独立几何参数的数目
集中质量法：突出主要质量——静力等效
单自由度结构
多自由度结构
确定结构振动的自由度：（图14 – 2） 注意： ①自由度数n随计算简图而异
（a、b、f-无限多自由度） ②自由度数与质量数目可能不同
y(t )
et ( y0
cos t
y0
y0
sint)
写成 y(t) bet sin(t )
其中 b
y02
(
y0
y0
)2
tg y0 y0 y0
式（14－12）的位移－ 时间曲线如（图14－9） 所示：
低阻尼体系自由振动y-t 曲线——逐渐衰减的正 弦（波动）曲线
(14-12)
阻尼比——阻尼的基本参数： a.阻尼对频率（周期）的影响
（c、d-e几何构造分析方法确定） ③自由度数与静定或超静定及超静定次数无关
实际结构的简化（图14 – 3） （a）块式基础——垂直振动 （b）水塔——顶部水池较重，水平振动 （c）楼房——楼板较重，水平振动
§14－3 单自由度体系的自由振动
单自由度——实际的问题或简化的模型（图14 – 4）
多自由度体系动力分析的基础
[例2] 刚架，梁质量m，刚度∞； 柱(忽略质量)刚度EI，高h。 试求自振频率ω和周期
k 2 12i 24EI
h2
h3
k m
24EI mh3
T 2 mh3
24EI
计算 k * （计算δ）
[例3] 例2中，若初始位移△，初始速度ν0 试求振幅值及 t=1s时的位移值
解：上例已计算
24 EI
结构
形状相似，周期相差很大－动力性能相差很大 形状不同，周期相近－动力性能相近
（4）ω ∝ 1/Δst ， 质点放在结构上产生最大位移处， 可以得到最小频率和最大周期
[例14－1]三种支承情况的梁，忽略梁本身质量， 求自振频率与周期（图14 - 7）
[解]（1）柔度法
＝
1
l 48
3
EI
＝
2
7l 768
mh 3
y(t) a sin(t )
a
y02
y0
2
2
v02
2
y(t )
y0cost
y0
sint
y( t 1)
Cos
0
Sin
➢ 作业： ➢ 14－1 √ （振动自由度） ➢ 14－2a*、b（振动微分方程） ➢ 14－3 a √、b、c √、d ； ➢ 4、5、6 √ （频率） ➢ 14－7 √ （振幅、位移）
周期运动 y( t + T ) = y( t )
y(t) asint 2
asin
t
2
y(tT )
自振周期 频率
T＝ 2
每隔一段时间就重复原来运动 单位：秒（S）
f 1 T 2
单位时间内的振动次数 ， 单位： 1／秒（1/S）
园频率（频率）＝2 ＝2f
T
2π秒内完成的 振动次数
＝ k 1 g g m m W st
r1,2 2 1
（1） 1 （小阻尼） 令
有阻尼的自振频率 1 2 （16—10）
r1、2 i r1,2 2 1
y(t) b1er1t b2er2t b1eit b2eit
et b1eit b2eit
y(t) et B1cost B2sint
1
k
即， my ky 0
与刚度法相同
（二）自由振动微分方程的解
常系数线性齐次微分方程
通解 y = C1 cosωt + C2 sinωt 速度（对时间取一阶导数）
ỳ = -ωC1 sinωt + ωC2cosωt
初始条件：t = 0， y（0） y0 y(0) y0
C1 y0
C2
y0
y(t )
y（0t） et B1cost B2sint
➢ 与干扰力P(t)相应的特解,则与干扰力的形式有关
二、简谐荷载 P(t)=Fsinθt （14—17）
y 2y 2 y F sint （14－18）
m
特解： y C1 sint C2 cost
y C1 cost C2 sint
y 2C1 sint 2C2 cost